1、 平行四边形一、 基础知识平行四边形平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形定义有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。两腰相等的梯形是等腰梯形。性质1、对边平行且相等。2、对角相等，邻角互补。3、对角线互相平分1、四个角都是直角。2、对角线相等。1、四条边都相等。2、两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。1、两腰相等两底平行2、同一底上的两角相等3、两条对角线相等判定1、定义：2、判定定理：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2、。（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。1、定义：2、判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。（2）有三个角是直角的四边形是矩形。1、定义：2、判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。1、先证明是矩形再证明一组邻边相等。2、先证明是菱形再证一个角是直角。1、定义：先判断是梯形在证明两腰相等。2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。3、对角线相等的梯形是等腰梯形。对称性 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形二、1、三角形中位线定理：三角形的中
3、位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三、例题例 1、如图 1，平行四边形 ABCD 中，AEBD，CFBD，垂足分别为 E、F. 求证：BAE =DCF.例 2、如图 2，矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点，BE AC 于 E，CF BD 于 F.求证：BE = CF. 例 3、已知：如图 3，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB = DC，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 BE = 2EA，CF = 2FD. 求证： BEC =CFB.（图1）CABDEFOAB CDE F（图 2）
4、AB CD图 3E F例 4、如图 6，E、F 分别是 ABCD 的 AD、BC 边上的点，且 AE = CF.（1）求证：ABECDF；（2）若 M、N 分别是 BE、DF 的中点，连结 MF、EN，试判断四边形 MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论. 例 5、如图 7 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 E，F. ，求证：四边形 AFCE 是菱形.例 6、如图 8，四边形 ABCD 是平行四边形，O 是它的中心，E、F 是对角线 AC 上的点.（1）如果 ，则DEC BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件） ；（2）证明你的结论.例 7、如图 9，
5、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，AB = DC，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，E 是 BC 边上一个动点（点 E 不与 B、C 两点重合） ，EF BD 交 AC 于点 F，EGAC 交 BD 于点 C.（1）求证：四边形 EFOG 的周长等于 2OB；（2）请你将上述题目的条件“ 梯形 ABCD 中，ADBC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论， “四边形 EFOG的周长等于 2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.例 8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分） ，试设计两种方案（平分方案画在备用图
6、 13(1)、(2) 上） ，并给予合理的解释.A DB CEF(图 6)MN备用图（1） 备用图（2）图 13图 7AB CDEFO图 8BCDAE FAB CD图 9EG OFRPDCBAEF第 12 题图四、练习 一、选择题 1.下列命题正确的是（ ）(A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 (B)、对角线相等的四边形一定是矩形(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则AC的取值范围为( )A. 6AC10； B. 6AC16； C. 10AC16
7、； D. 4AC163.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）44延长平形四边形 ABCD 的一边 AB 到 E，使 BEBD，连结 DE 交 BC 于 F，若DAB120,CFE135，AB1，则 AC 的长为（ ） （A）1 （B）1.2 （C） （D）1.55若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE1cm，则BD的长是（ ）（A）1cm （B）2cm （C）3cm （D）4cm6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( )（A）互相垂直 （B）相等 （C）互相平分 （D）互相垂直且相等7. 如
8、图，等腰ABC 中，D 是 BC 边上的一点，DEAC，DFAB，AB=5 那么四边形 AFDE 的周长是 （ ）（A）5 （B）10 （C）15 （D）20(第7题） （第8题） （第9题） （第10题）8.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）（A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm9. 如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AC 将梯形分成两个三角形，其中ACD 是周长为 18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )(A)9 cm (B)12cm (c) cm (D)
9、18 cm2910.如图，在周长为20cm的ABCD中，ABAD，AC、BD相交于点O，OEBD交AD于E，则ABE的周长为（ ）(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm11. 如图 2，四边形 ABCD 为矩形纸片把纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF若 CD6，则 AF 等于 （ ）（A） （B ） （C） （D） 342412.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是 （ )A、线段EF的长逐渐增大 B、线段EF的长逐渐减小
10、 C、线段EF的长不变 D、线段EF的长与点P13. 在梯形 ABCD 中，AD/BC，对角线 ACBD，且 ， BD=12c m，则梯形中位线cAC5的长等于（ ）A. 7.5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cmABCDOEAB CDEF图 2黄蓝紫橙红绿AGE DHCFB第 14 题ABCDEFO第 10 题图DA B CPM N（1 ） （2 ）图 9A BC DE FO图814. 国家级历史文化名城金华，风光秀丽，花木葱茏某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图） ，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫 6 种颜色的花如果有 ， ，那么下列说法中错误的是（ ）ABEFDC BG
11、HAD A红花、绿花种植面积一定相等 B紫花、橙花种植面积一定相等C红花、蓝花种植面积一定相等 D蓝花、黄花种植面积一定相等2、填空题1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为形。 2.若正方形的对角线长为2 cm，则正方形的面积为。3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是4.已知：平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，BD相交于点O，AOB的周长比BOC的周长长5cm ，则这个平行四边形的各边长为。5. 已知：平行四边形 ABCD 中， AEBC 交 CB 的延长线于点 E，AFCD 交 CD 的延长线于点F，ABBCCDDA32c
12、m，BC AB，EAF2C，则 BE 长为，则C.356. 在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别是 A(2，5)，B(3，1)，C(1，1)，在第一象限内找一点 D，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点 D 的坐标是 7.已知：如图8，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，若AE4cm，DF3cm，且OEOF，则EF的长为 。8 如图 9（1)是一个等腰梯形，由 6 个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图 10(2)所示的一个菱形对于图 10(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论： 9如图，在四边形 ABC中，
13、 P是对角线 BD的中点， EF， 分别是 ABCD， 的中点， 18ABCPEF， ，则 PFE的度数是 10如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、 N 分别是边 AB、 BC 的中点，则 PM+PN的最小值是_11. 如图，在四边形 ABCD 中， E、 F、 G、 H 分别是 AB、 BD、 CD、 AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形 ABCD 还应满足的一个条件是 。（12题） （13题） （14题）12、 如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分ADC交AC于E，BC于F，BDF=15，则COF=_1
14、3. 如图，矩形 的对角线 和 相交于点 ，过点 的直线分别交 和 于点ABCDBADBE、 F， ，则图中阴影部分的面积为 23，14、如图，矩形 1 的面积为，顺次连结各边中点得到四边形 2 ，再顺次连结四边形 2 四边中点得到四边形 3 ，依此类推，求四边形 n，的面积是 。CFDBEAP（第 9 题）OFEDCBA15、如图已知 O 是ABCD 的对角线交点，AC24，BD38，AD14 ，那么OBC 的周长等于。16、在平行四边形 ABCD 中，CB+D,则A ，D。17、一个平行四边形的周长为 70cm，两边的差是 10cm，则平行四边形各边长为cm。18、已知菱形的一条对角线长为
15、 12cm，面积为 30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为_cm。19、菱形 ABCD 中，A60 o，对角线 BD 长为 7cm，则此菱形周长cm。20、如果一个正方形的对角线长为 ，那么它的面积。21、如图 2 矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O,AOB 60 o,AB8,则矩形对角线的长。22、如图 3,等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABDE，BC8，AB6，AD5 则CDE 周长。21、正方形的对称轴有条22、如图 4，BD 是ABCD 的对角线，点 E、F 在 BD 上，要使四边形 AECF 是平行四边形，还需增加的一个条件是23、要从一张长为 40cm，宽为 20cm 的
16、矩形纸片中，剪出长为 18cm，宽为 12cm 的矩形纸片，最多能剪出张。3、解答题1.如图，在四边形 ABCD 中，A=60,B=D=90,BC=2,CD=3,求 AB 的长。2.如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC,AB=CD=2,BAD=120,对角线 AC 平分BCD，求等腰梯形 ABCD 的周长。3.将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落到 D 处，折痕为 EF（1）求证：ABEADF；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论4已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，对角线 AC、BD 相交于点 E，
17、ADB=60，BD=10，BEED=41，求梯形 ABCD 的腰长.AB CDEFDEDCBAABDCOABDCOABDCEA DB CFE5. 如图，菱形 ABCD，E，F 分别是 BC，CD 上的点，BEAF60，BAE18求CEF 的度数。6.已知：如图，在 ABC 中， AB=AC， AD BC，垂足为点 D， AN 是 ABC 外角 CAM 的平分线， CE AN，垂足为点 E，（1）求证：四边形 ADCE 为矩形；（2）当 ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明7. 如图，四边形 ABCD 中，一组对边 AB=DC=4，另一组对边 ADBC，对角线 BD
18、与边 DC 互相垂直，M、N、H 分别是 AD、BC、BD的中点，且ABD=30求：（1）MH 的长（2）MN 的长。8. 如图所示，在ABC 中，BAC=90,ADB,BE 平分ABC,EFBC,那么 AE=CF 吗？证明你的结论。9. 如图，ABCD 是正方形，CEBD，BEBD，BE 交 DC 于点 F，求证：（1）BEC30 （2）DEDF10.如图，在正方形 ABCD 中，P 为对角线 BD 上一点，PEBC，垂足为 E， PFCD，垂足为 F，求证：EFAPAB CDMNE(第 6 题)FDCBA F E11. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 P，过点 P 作
19、直线交 AD 于点 E,交 BC 于点 F。若 PE=PF,且 AP+AE=CP+CF（1）求证：PA=PC;（2）若 AD=12,AB=15,DAB=60,求四边形 ABCD 的面积.10如图所示，已知在 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，求证：MNBC11已知：如图，E 为 ABCD 中 DC 边的延长线上的一点，且 CEDC，连结 AE分别交 BC、BD 于点 F、G，连结 AC 交 BD 于 O，连结 OF求证：AB2OF12.如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，点A处有一动点E以1cms的速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以2cms的速度由点
20、C向点D运动，设运动的时间为x（s） ，四边形EBFD的面积为y（cm 2） ，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。21，如图 16，已知四边形 ABCD 是平行四边形，BCD 的平分线 CF 交边 AB 于 F，ADC 的平分线 DG 交边 AB 于 G.（1 ）线段 AF 与 GB 相等吗？ （2 ）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得 EFG 为等腰直角三角形,并说明理由.22，如图 17，已知 ABCD 中，E 为 AD 的中点，CE 的延长线交 BA 的延长线于点 E.（1 ）试说明线段 CD 与 FA 相等的理由； （2 ）若使F BCF， ABCD 的边长之间还需再添
21、加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线). 23， （ 08 上海市）如图，已知平行四边形 中，对角线 交于点 ， 是 延长线上的点，且ABCDABD， OBD是等边三角形ACE（1）求证：四边形 是菱形；BCD（2）若 ，求证：四边形 是正方形2AECDBAO24，已知：如图 19，四边形 ABCD 是菱形，E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点，且 DEBF.请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）.（1 ）连结_ ；（ 2）猜想：_=_；（ 3）证明：2
22、5，如图 20，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，连结 EB，过点 A 作AM BE，垂足为 M，AM 交 BD 于点 F.(1)试说明 OE OF；(2)如图 21，若点 E 在 AC 的延长线上，AM BE 于点 M，交 DB 的延长线于点 F，其它条件不变，则结论“OE OF”还成立吗?如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由.13.如图在直角梯形 ABCD 中, ADBC, B=90AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动,动点 Q 从 C 开始沿 CB 向
23、B 以 3cm/s 的速度运动,P,Q 分别从点 A,C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,OC图 19DAB EF图 20EMFCODBA图 21 EFOCMDABABC DEF图 17图 16OFDBECA 图 18A DCB设运动的时间 t,t 分别为何值时,四边形 PQCD 为平行四边形,等腰梯形?14已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，B90 o,ADBC，AD24cm，BC26cm，动点 P 从 A 点开始沿AD 边向 D 以 1cm/秒的速度运动，动点 Q 从 C 点开始沿 CB 边向 B 以 3cm/秒的速度运动，P、Q 分别从 A、C同时出发，当其一点到
24、端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒，t 分别为何值时，四边形 PQCD是平行四边形？等腰梯形？.在ABC 中，借助作图工具可以作出中位线 EF，沿着中位线 EF 一刀剪切后，用得到的AEF 和四边形 EBCF 可以拼接成平行四边形 EBCP，接切线与拼图过程如图所示，依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出图形说明。（1）在ABC 中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成矩形。（2）在ABC 中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼 成菱形。（3）在ABC 中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼 成正方形。（4）在ABC（ABAC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，画出切线
25、 与拼图示意图。15 如图把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成 3 个全等的图形（图甲） ；将余下的部分分成 4 个全等的图形（图已）仿照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。 （1）分成 3 个全等的图形（在图一中画出示意图） ；（2）分成四个全等的图形（在图二中画出示意图） ；（3）你还能利用所得的 4 个全等的图形拼成一个平行四边形吗？若能，画出大致的示意图。16.如图是 王大爷的一块四边形菜地，在A处有一口井，王大爷要想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画出图形,并简要写出作图的主要步骤.解:作
26、图步骤：A B Q C D P A PBDDQ CFEDCBA17. (1)如图 25-1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF= 12BAD.求证:EFBEFD;(2) 如图 25-2 在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF= BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. (3) 如图 25-3 在四边形 ABCD 中，ABAD，B+ADC180，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的点，且EAF= 12BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们
27、之间的数量关系，并证明.18. 将边长 OA=8，OC=10 的矩形 OAB放在平面直角坐标系中，顶点 O 为原点，顶点C、A 分别在 x轴和 y 轴上.在 、OC 边上选取适当的点 E、F，连接 EF，将EOF 沿 EF 折叠，使点 O落在 AB边上的点D处图 图 图（1）如图，当点 F 与点 C 重合时，OE 的长度为 ；（2）如图，当点 F 与点 C 不重合时，过点 D 作 DGy 轴交 EF 于点 T，交 OC于点 G.求证：EO=DT；（3）在（2）的条件下，设 ()Txy，写出 与 x之间的函数关系式为 ，自变量 x的取值范围是 ；（4）如图，将矩形 OAB变为平行四边形，放在平面
28、直角坐标系中，且 OC=10，OC 边上的高等于 8，点 F 与点 C 不重合，过点 D 作 DGy 轴交 EF 于点 ，交 C于点 G，求出这时 ()Txy，的坐标 与 之间的函数关系式（不求自变量 x的取值范围） xyTGFE COBA DyxE BAC(F)ODxyGT FE BACOD19. (1)如图 101 所示，BD, CE 分别是ABC 的外角平分线，过点 A 作 AFBD, AGCE,垂足分别为 F，G，连结 FG，延长 AF, AG，与直线 BC 分别交于点 M、N，那么线段 FG 与ABC 的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG （ABBC+AC） （直接写出结果即可）
29、（2）如图 102，若 BD，CE 分别是ABC 的内角平分线；其他条件不变，线段 FG 与ABC 三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明（3）如图 103，若 BD 为ABC 的内角平分线，CE 为ABC 的外角平分线，其他条件不变，线段 FG 与 ABC 三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可不需要证明。20.已知正方形ABCD和等腰Rt 按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连EG 、CG. (1)0,9,BEFBEA探索EG、CG的数量关系，并说明理由； （2）将图1中 绕B 点顺时针旋转 得图2，连结DF, 取DF的中点G，问A045（1）中的结论是否成立，并说明理由；（3）将图 1 中 绕 B 点转动任意角度（旋转角在 0 到 之间）得图 3，连结 DF，取 DF 的中点 G ，问（1）中的结论是EFA9否成立，请说明理由；1GFBDACE2GFBDACE3GFBDACEG FE DCBA NMF GEDCBA
