1、2007 年考研数学二真题一、选择题（1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 ）(1)当 时，与 等价的无穷小量是0+ (A) (B)1- 1+1(C) (D)1+ 1 1【答案】B。【解析】时(当 0+)1+1=n(1+)n(1 ) 1+ 112 112几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)函数 在 上的第一类间断点是()=(1+)(1) , =(A)0 (B)1(C) (D)2 2【答案】A。【解析】A：由
2、 得lim01=0,lim0+1=+lim0f()=lim0(1+)(1)=01+1=1=1lim0+f()=lim0+(1+)(1)=0+1+1=11=1所以 是 的第一类间断点；=0 ()B：lim1f()=1(1+)(1)=C：lim- 2f()= - 2(1+)(1)=D：lim 2f()= 2(1+)(1)=所以 都是 的第二类间断点。=1,= 2 ()综上所述，本题正确答案是 A。【考点】高等数学函数、极限、连续函数间断点的类型(3)如图，连续函数 在区间 上的图形分别是直=() 3,2,2,3径为 1 的上、下半圆周，在区间 上的图形分别是直2,0,0,2径为 2 的下、上半圆周
3、，设 ,则下列结论正确的()=0()是(A)(3)=34(2)(B)(3)=54(2)(C)(3)=34(2)(D)(3)=54(2)【答案】C。【解析】【方法一】四个选项中出现的 在四个点上的函数值可根据定积分的几何()意义确定(3)=30()=20()+32()=28=38(2)=20()=2(-2)=-20 ()-0-2()= -(2)=2(-3)=-30 ()= -0-3()= -82=38则 (3)=34(2)【方法二】由定积分几何意义知 ,排除(B)(2)(3)0又由 的图形可知 的奇函数，则 为偶函数，() () ()=0()从而(3)=(3)0,(2)=(2)0显然排除(A)和
4、(D),故选(C)。综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质，-3 -2 -1 0 1 2 3=()定积分的应用(4)设函数 在 处连续，下列命题错误的是()=0(A)若 存在，则lim0() (0)=0(B)若 存在，则lim0()+() (0)=0(C)若 存在，则 存在lim0() (0)(D)若 存在，则 存在lim0()-() (0)【答案】D。【解析】(A)：若 存在，因为 ,则 ,又已知函数lim0() lim0x=0 lim0f()=0在 处连续，所以 ,故 ,(A)正确；()=0lim0f()=(0)(0)=0(B)：若 存在，则li
5、m0()+(),则 ，故(B)正确。lim0()+()=(0)+(0)=0 (0)=0(C) 存在，知 ，则lim0() (0)=0 lim0() =lim0()-(0) =(0)则 存在，故(C)正确(0)(D) 存在，lim0()-() =lim0()-(0) -()-(0) 不能说明 存在lim0()-(0)例如 在 处连续，()=|=0存在，但是 不存在，故命题 (D)不正确。lim0()() (0)综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(5)曲线 渐近线的条数为=1+(1+)(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。【解析】由于，lim0=
6、01+n(1+)=则 是曲线的垂直渐近线；=0又 lim=1+n(1+)=0lim+=+1+n(1+)=+所以 是曲线的水平渐近线；=0斜渐近线：由于 一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出-现在 一侧。+=lim+=+1+n(1+) =+12+n(1+)=0+1+=1=+()=+1+n(1+)=+1+n(1+)=+1+n(1+1)=0则曲线有斜渐近线 ，故该曲线有三条渐近线。=综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(6)设函数 在 内具有二阶导数，且 ,令()(0,+) ()0,则下列结论正确的是=()(=1,2,)(A)若 ,则 必收敛 (
7、B)若 ,则 必发散12 12 (C)若 ,则 必收敛 (D)若 ,则 必发散10 =()显然，图 1 排除选项(A)，其中 ；图 2 排除选项=()(B)；图 3 排除选项(C),其中 ；故应选(D)。=()+图 1 图 2 图 3【方法二】排除法：取 ,显然在 ， ,()=(2)2 (0,+)()=2012O 1 212O 1 212O 1 2,但 ，排除 A；(1)=1(2)=0 =()=(2)2+取 在 上， 且 ,但()=1, (0,+) ()0, (1)=1(2)=12,排除 B；=()=10取 在 上， ，且 ,()=, (0,+) ()0 (1)=e0,(12()=()(2)+
8、(2)=()(2)+(2) (20 ()()0()()(2)+(2)+则有 =()+综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(7)二元函数 在点 处可微的一个充分条件是(,)(0,0)(A)lim(,)(0,0)(,)(0,0)=0(B) ,且0(,0)(0,0) =0 0(0,)(0,0) =0(C)lim(,)(0,0)(,)(0,0)2+2 =0(D) ,且0(,0)(0,0)=0 0(0,)(0,0)=0【答案】C。【解析】由 可得lim(,)(0,0)(,)(0,0)2+2 =00(,0)(0,0) =0(,0)(0,0)2+02 2
9、=0即 ,同理(0,0)=0 y(0,0)=0从而lim0(,)(0,0)(0,0)+y(0,0)=0(,)(0,0) =0(,)(0,0)2+2 =0根据可微的判定条件可知函数 在点 处可微(,)(0,0)综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件(8)设函数 连续，则二次积分 等于(,)2x1(,)(A) 10+(,)(B) 10(,)(C) 10+2 (,)(D)102 (,)【答案】B。【解析】交换积分次序，已知 ,则可得21,0 ()0 ()所以 时，旋转体体积最小，最小体积为=(e)=2【考点】高等数学一元函
10、数积分学定积分的应用(19)（本题满分 10 分）求微分方程 满足初始条件 的特解(+2)= (1)=(1)=1【解析】设 ,则 ,原方程变为= = (+2)=则 ,解之得 ,将 代入得p=+ =(+1) (1)=1 1=0得 =2= =2323+2结合 ，得(1)=1 2=13所以 =2323+13【考点】高等数学常微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程(20)（本题满分 11 分）已知函数 具有二阶导数，且 ,函数 由方程() (0)=1 y=()所确定，设 ,求1=1 =()22|=0,|=0【解析】在 中令 得1=1 =0 y=1方程 两端对 求导得1=1
11、11=0, 代入上式得=0 y=1 (0)=1上式两端再对 求导得-2+(2)1=0可得 (0)=2又=()()则 |=0=022=()()2+()22+22|=0=(0)(21)=(0)=1【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(21)（本题满分 11 分）设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数，且存(),(), (,)在相等的最大值， ,证明：存在 ，()=(),()=() (,)使得 。()=()【解析】【方法一】令 ,则()=()()()=()=0设 在 内的最大值为 ，且分别在(),()(,) 时取到，即(,)， (,) ()=()=若
12、 取到 ,即 ；=, = ()=0若 则,()= ()-()=()0()= ()-()=()0此时，由连续函数介值定理知在 之间至少存在点 ，, ()=0综上所述，存在 ，使得(,) ()=0由罗尔定理知，存在 ,使得1(,),2(,)；(1)=0,(2)=0再由罗尔定理知，存在 ,使得 即 。(1,2) ()=0, ()=()【方法二】用反证法证明存在 ，使得 ：(,) ()=0假设不存在 ，使得 ，则由 的连续性知对于(,) ()=0 ()一切 , 恒大于零或恒小于零。(,) ()设 ，设 在 取到最大值，则()0 () 0(,)即 ,从而可知 在(0)=(0)(0)0, (0)(0) (
13、)上的最大值比 在 上的最大值要大，与题设(,) () (,)矛盾，所以假设命题不成立。存在 ，使得(,) ()=0所以由罗尔定理知，存在 ,使得1(,),2(,)；(1)=0,(2)=0再由罗尔定理知，存在 ,使得 即 。(1,2) ()=0, ()=()【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(22)（本题满分 11 分）设二元函数(,)= 2,|+|112+2,1|+|2计算二重积分 ,其中(,)=(,)|+|2【解析】因为被积函数关于 均为偶函数，且积分区域关于 轴均对称，, ,所以， 为 在第一象限内的部分 (,)=4 1(,)1 而 1(,)= x+1,0,02+ 1x+2,0,
14、0 12+2=1010 2+(1021 12+2+ 2120 12+2)=112+ 2(1+ 2)所以 (,)=4 1(,)=13+42(1+ 2)【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(23)（本题满分 11 分）设线性方程组 1+2+3=01+22+3=01+42+23=0与方程 1+22+3=1有公共解，求 的值及所有公共解。【解析】【方法一】方程组有公共解，即为将两个方程联立的解1+2+3=01+22+3=01+42+23=01+22+3=1对联立方程组的增广矩阵进行初等行变换，有=1 1 11 2 1 4 21 2 1 00011 1 10 1 10 3 21
15、0 1 0 00011 0 10 1 00 0 10 0 0 111(1)(2)已知方程组有解，所以应有 (1)(2)=0， =1,=2时，=11 0 10 1 00 0 00 0 0 0000此时，公共解为： ,其中 为任意常数。=101 时，=21 0 10 1 00 0 10 0 0 1110此时，有唯一的公共解为= 011【方法二】先求方程组的解，其系数行列式为 |1 1 11 2 1 4 2| =(1)(2)当 时，方程组只有零解，但此时 不是方1,2 =(0,0,0)程的解，所以公共解发生在 或 时，a=1 =2当 时，对方程组的系数矩阵进行初等行变换a=11 1 11 2 11
16、4 11 0 10 1 00 0 0方程组的通解为 , 其中 为任意常数。=101 此解也满足方程组，所以此时方程组和的公共解为, 其中 为任意常数。=101 当 时，同样求方程组的通解=21 1 11 2 21 4 41 1 10 1 10 3 31 0 00 1 10 0 0方程组的通解为 , 其中 为任意常数。= 011 将其代入方程组中得： 0+2()+=1得 ,因此此时方程组和的公共解为=1= 011【考点】线性代数线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解(24)（本题满分 11 分）设 3 阶实对称矩阵 的特征值为 ,且 1=1,2=2,3=2是 的属于 的
17、一个特征向量，记1=(1,1,1) 1,其中 为 3 阶单位矩阵。=543+ (I)验证 是矩阵 的特征向量，并求 的所有特征值和特征向量；1 (II)求矩阵 。【解析】(I)由 知 ,那么= =1 =(543+)1=51431+1=(15413+1)1=21所以 是矩阵属于 特征值 的特征向量1 1= -2同理， ， ，有2=22 3=33,2=(25423+1)2=23=(35433+1)3=3因此，矩阵 的特征值为 。 1= 2,2=3=1由矩阵 是对称矩阵知矩阵 也是对称矩阵，设矩阵 关于特征值 的特征向量是 ，那么因为实对称矩阵2=3=1 =(1,2,3)特征值不同特征向量相互正交，
18、有1=12+3=0所以矩阵 关于特征值 的特征向量是 2=3=12=(1,1,0),3=(1,0,1)因此，矩阵 属于特征值 的特征向量是 ，其 1= 2 1(1,1,1)中 是不为 0 的任意常数。1矩阵 属于特征值 的特征向量是 ， =1 2(1,1,0)+3(1,0,1)其中 是不全为 0 的任意常数。2, 3(II)由 ，有1= 21,2=2,3=3(1,2,3)=(21,2,3)所以 =(21,2,3)(1,2,3)1=2 1 12 1 02 0 1 1 1 11 1 01 0 11=2 1 12 1 02 0 113 1 1 11 2 11 1 2= 0 1 11 0 11 1 0【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
