1、2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合:题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 曲线 渐近线的条数 ( )21xy(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）当曲线上一点 M 沿曲线无限远离原点时，如果 M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。（ii）渐近线分为水平渐近线（ ， 为常数） 、垂直渐近线（ ）和斜lim()xfb0lim()xf渐近线（ ， 为
2、常数） 。lim()0xfab,a（iii）注意：如果（1） 不存在；lixf（2） ，但 不存在，可断定 不存在斜渐近线。()ali()xfax()fx在本题中，函数 的间断点只有 .21y1由于 ，故 是垂直渐近线.1limx（而 ，故 不是渐近线）.11()lili2xxy1x又 ，故 是水平渐近线.（无斜渐近线）2lilixxy综上可知，渐近线的条数是 2.故选 C.(2) 设函数 ,其中 为正整数,则 ( )2()1)()xxnxfee (0)f(A) (B) (C) (D) 1!n 1!1!n1!n【答案】A【考点】导数的概念【难易度】【详解一】本题涉及到的主要知识点：.000()
3、()limlixxffxyf:在本题中，按定义 200()(1)()()lilixxnxxfeef .故选 A.112()()!n【详解二】本题涉及到的主要知识点：.()()()()fxuvxvux在本题中，用乘积求导公式.含因子 项在 为 0，故只留下一项.于是1e20(0)()xnxfe 1()2()()!n故选（A）.(3) 设 ， ，则数列 有界是数列 收敛的( )(1,)na 123nnSaa nSna（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件（C）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件【答案】B【考点】数列极限【难易度】【详解】因 ，所以 单调上升.0(1,2)na 123nnS
4、aa若数列 有界，则 存在，于是Slimn11lili()li0nn n反之，若数列 收敛，则数列 不一定有界.例如，取 ，则 是无aS1na(,2) nS界的.因此，数列 有界是数列 收敛的充分非必要条件.故选（B）.nSna(4)设 则有 ( )20si(1,23kxKedkI(A) (B) (C) (D)123I321II231II213I【答案】D【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设 ，则 .acb()()()bcbaacfxdfxfdx在本题中， ，210sinxIe220sinxIe230sinxIe，22 21dI，233 3sixIe22231n
5、sinsinxxeded2 233()si)tetd 22() 31i0xI因此 .故选 D.213I（5）设函数 可微，且对任意的 都有 ， ，则使不等式(,)fxy,xy(,)0fxy(,)0fxy成立的一个充分条件是( )12(,),fxyf（A） ， （B） ， 1y12x12y（C） ， （D） ， 12x2 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数 在 上连续，在 内可导.()yfx,ab(,)ab如果在 内 ，那么函数 在 上单调增加；(,)ab(0fx()f,如果在 内 ，那么函数 在 上单调减少.
6、yx在本题中，因 ，当 固定时对 单调上升，故当 时(,)0fxy 12x121(,)(,)fxyf又因 ，当 固定时对 单调下降，故当 时(,)0fxyxy12y12(,)(,)fxyf因此，当 ， 时12121212(,)(,),ffxf故选 D.（6）设区域 由曲线 ， ， 围成，则 ( )Dsinyx2y5(1)Dxyd（A） （B）2 （C）-2 （D） 【答案】D【考点】二重积分的计算【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点： 10,(,)(,)2(),DDfxyfxydfxyd对 或 为 奇 函 数 ，对 或 为 偶 函 数在本题中，115 55222sin sin()()()x
7、 xDydyd52221(sin)(i)xdx其中 ， 均为奇函数，所以52(i)i，5221sin0xdx2sin0xd故选（D）(7)设 , , , ,其中 为任意常数，则下列向量10c2131c41c1234,c组线性相关的为( )(A) (B) (C) (D)123,124,134,234,【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：个 维向量相关n12,0n在本题中，显然，1341230,c所以 必线性相关.故选 C.134,(8) 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 .若 P=（ ） ，102pAP123,，则 ( )123
8、(,)1QA(A) (B) (C) (D) 0102201201【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩AmnAAm阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.n在本题中，由于 经列变换为 ，有PQ，1210()QE那么 11122212()()()()APAPAE0011故选 B.二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.:（9）设 是由方程 所确定的隐函数，则 .yx21ye20xdy【答案】1【考点
9、】隐函数的微分【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数） ，此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。2. 利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法 2 比较简单些，若只求某个偏导数，则方法 1 和方法 2 的繁简程度差不多。在本题中，令 ，得 .等
10、式两边同时对 求导，得0x()yx（*）2yxe令 ， 得 ，()0y于是 .再将（*）是对 求导得(0)yx2ye令 ， ， 得 x02()0y于是 (0)1y（10） .2221limnnn【答案】 4【考点】定积分的概念【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）.特别是对于 项和数列的极限，应该注意到：n 101lim()()niffxd在本题中，由积分定义， 22222211 1limli1()()()n n nnn 11020arct4dx（11）设 ，其中函数 可微，则 (ln)zfy
11、()fu2zxy【答案】0【考点】多元复合函数的求导法【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数 （是一元函数 与二元函数 的复合函数） ，在变量替换(,)zfuxy()fu(,)uxy下，得到 对 ， 的偏导数为 ， .(,)uz)zfxzuf在本题中，根据题中条件可知， ， ，所以1zfu21fuyy20zxy（12）微分方程 满足条件 的解为 2(3)0ydxdy1x【答案】 （或 ）2【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：方程 叫做一阶线性微分方程，其通解为 .()dyPxQ ()()PxdPxdyeQeC在本题中，方程可整理为 ，将 看作因变量，一
12、阶线性非齐次微分方程的通解为13dxyx.又 ，得 ，故 （或 ）为1133dydyxeC(1)0C2xyx所求解.（13）曲线 上曲率为 的点的坐标为 .20yx2【答案】 （-1，0）【考点】曲率【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点： 曲率公式 .321yK在本题中， ，代入曲率公式 ，得 ，,x 321yK321()x解得 或 .又 ，故 .故坐标为 .1x00x(,0)（14）设 为 3 阶矩阵， ， 为 的伴随矩阵，若交换 的第一行与第二行得到矩阵A3*AA，则 _B*【答案】-27.【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设 是一个 矩阵，对
13、施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩AmnAAm阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.n在本题中，设 120E则 ，从而 .12BA3*1227BA三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）已知函数 记1sinxf0limxaf（）求 的值；a（）当 时， 与 是同阶无穷小，求常数 的值.0xfxk k【考点】无穷小量的比较【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：当 时， ， .0x31sin()6xoxsinx:31sin6x:（） 2220000iilimli
14、lmlimsxxx xaf（） 1方法一：利用泰勒公式 332 321 200 01 6sinilimli lm0kk kxx xxxof x 解得 . 方法二：利用等价无穷小量代换 2 1sinsini1xxxf x当 时， ，所以 . 0x3216f:k（16）求函数 的极值.2(,)xyfe【考点】函数的极值【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数取得极值的充分条件：设 在点 的某邻域有连续的二阶偏导数，又(,)zfxy0(,)， ，令 ，0(,)xfy0(,)yfx0A， ，则BC（1）当 时， 在 取极值，且当 时取极小值， 时取极大2AC(,)fy0,)x0A值；（2）当
15、 时， 不是 的极值点；00,(,fy（3）当 时，仅此不足以判断 是否是 的极值点，还需另作讨论.20)x(,)fxy在本题中，先求函数的驻点. 令 2222 2, 1, 0xyxyxyxyfeefy解得驻点为 ，(1,)(,又 22222 222, 1, 1xyxyxyxyfxyAexfBfxyCe根据判断极值的第二充分条件，代入（1，0） ，得 ， ， ，从而 ， ，所以12Ae0B12Ce20ACB在（1 ，0）取得极大值，极大值为 ； (,)fxy代入（-1，0） ，得 ， ， ，从而 ， ，所以 在12e12e2(,)fxy（-1，0）取得极小值，极小值为 .12（17）过点（0，
16、1）作曲线 的切线，切点为 ，又 与 轴交于 点，区域 由:lnLyxALxBD与直线 及 轴围成，求区域 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.LABxDx【考点】导数的几何意义、定积分的应用【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）函数 在点 处的导数 是曲线 在点 处的切线的斜率.()yfx00()fx()yfx0,()fx函数；（ii）函数 ， 在 连续，则由曲线 ， 及直线 ，()fg,ab()f()gyayb所围区域的面积 ；(ab()aSfygd（iii ）曲线 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积 .()yfxx 2()baVfxd在本题中，设切点 坐标为 ，则切线斜率为
17、，切线方程为 ，A0(,ln)01x001ln)y代入（0，1）点，解得 ，从而切点 坐标为 ，切线方程为 ， 点坐20xeA2(,)e2xeB标为 ，所以区域 的面积(,)D.2 22 211ln()ln(1)e eSxdexxd 22(1)()ee绕 轴旋转一周所得旋转体的体积D2 222 211 4l()lln()3 3e eVxexxe 2 22144n()()3e（18）计算二重积分 ，其中区域 由曲线 与极轴围成.Dxyd cos(0)r【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点： (,)(cos,in)DDfxydfrrd在本题中，作极坐标
18、变换 ， ，则 的极坐标表示是xsinyD， ，01cosr于是 1cos1cos2 40 00incosinDIxydrrdrd14 401cos()s()4dttt 1 145551)()20tt dt6131632(0t（19）已知函数 满足方程 及)fx()2()0fxffx()2xfxfe（）求 的表达式；(（）求曲线 的拐点.220)()xyfftd【考点】二阶常系数齐次线性微分方程；函数图形的拐点【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）二阶常系数齐次线性微分方程 的特征方程 有两个不同的0ypq20rpq实根，微分方程的通解形式为 .12rxrxCe（ ii） 拐 点 的
19、 充 分 判 别 定 理 ： 设 在 内 二 阶 可 导 ， ， 则 ， 若 在()f,ab0(,)xab()fx两 侧 附 近 异 号 ， 则 点 为 曲 线 的 拐 点 .0x0()fx 0,（）因 满足()2()fxffxe由得 ，代入得 ，()2()xff ()32xfxfe两边乘 得 3xe32xee积分得 ，即2()xfC3()xfCe代入式得 ，于是339xxee0()xfe代入式自然成立.因此求得 ()xfe（）曲线方程为 220xtyed为求拐点，先求出 .，2201xtyed，222204xxt ted由于,(),y因此 是曲线的唯一拐点.(0,)(（20）证明：21lnc
20、os1,xx(1)【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数 在 上连续，在 内可导.()yfx,ab(,)ab如果在 内 ，那么函数 在 上单调增加；(,)ab(0fx()f,如果在 内 ，那么函数 在 上单调减少.yx证明：令 ，21lncos1(1)xf则转化为证明 （ ）()0f(,)因 ，即 为偶函数，故只需考察 的情形.()fxfx0x用单调性方法.，1111lnsinl sinfxxxxx，2211() cos1()()fx xx，2233() in0(,1)()()()f x 其中 ， ，2210()()x331()()xsi(
21、,)因 时 ，又 在 连续 在 ，0,(3)ff0,()fx0,1:（ ） ，同理 在 ，()2fx(,1x()f,()0(,1)ffx在 ，,1):.又因 为偶函数 ， .即原()0(,)fxx()fx()0(1,)fxx()f不等式成立.（21）（）证明：方程 （ 为大于 1 的整数）在区间 内有且仅有一个实1nxx n1,2根；（）记（）中的实根为 ，证明 存在，并求此极限.nxlimnx【考点】闭区间上连续函数的性质【难易度】【证明】本题涉及到的主要知识点：零点定理：设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即 ） ，那()fx,ab()fafb()0fab么在开区间 内至少有一点 ，使
22、 .,ab()0f（）转化为证明 在 有唯一零点.1nfxx 1(,)2由于 在 连续，又fx1(,)2，(1)0fn，212() 0nf由连续函数的零点存在性定理可知 在 至少存在一个零点.又fx1(,)2，12()()0nnfxx所以 在 ， 在 的零点唯一，即 在 内只有一,:(f1,)1nxx 1(,)2个根.（）记 ，它的唯一零点记为 .现证 .由于1()nnfxx (,)nn:，111 ()nnf f显然 ， 在 有唯一零点，此零点必然是 ，且()0211()0nnnfxx(,)2n 1nx1nx因此 单调下降且有界，故必存在极限 lim(,)nxa记因 ，即 ，1nnxx 1n令
23、 0a2即 .1lim2nx（22）设01,aA（I）计算行列式 ； （II）当实数 取何值时，方程组 有无穷多解，并求其通解.aAx【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ，12(1,2)iiinDaAaAn 或 .12(,)jjnj （ii）设 是 矩阵，方程组 ，则方程组有无穷多解mxb()rAn（I）按第一列展开，即得 414100()aaAa（）因为 时，方程组 有可能有无穷多解.由（I）知 或0Ax1a当 时，1a
24、，101()02A由于 ， ，故方程组无解.因此，当 时不合题意，应舍去.()3r()4rA1a当 时，1a，010() 11A由于 ，故方程组 有无穷多解.选 为自由变量，得方程组通解为：()3rAx3x（ 为任意常数）.0,(,)TTkk（23）已知 ，二次型 的秩为 210Aa123(,)()TfxAx（I）求实数 的值；（II）求正交变换 将 化为标准形.xQyf【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交.（ii）任给二次型 ，总有正交变换 ，使 化为标准形,
25、1()nijijjiifaxxPyf，其中 是 的矩阵 的特征值.221nfyy 12,n f()ijAa（I）二次型 的秩为 2，即()TxA()TrA因为 ，故 .对 作初等变换有()r(r，1010Aaa所以 .1（II）当 时， .由a204TA，02(2)6TE可知矩阵 的特征值为 0，2，6.TA对 ，由 得基础解系 ，()Tx(1,)T对 ，由 得基础解系 ，2E0对 ，由 得基础解系 .6()0TAx(,2)T实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化.， ， .1(,1)3T2(1,)T31(,)6T那么令 ，就有 .1 12 23 31606xy 23()6TTxAyy
