1、1高等数学（下册）考试试卷（一）一.选择题（3 分 10）1.点 ， 的距离 （ ）.1,4M2,721MA. B. C. D.23452.设两平面方程分别为 和 ，则两平面的夹角为（ ）.0zyx0yxA. B. C. D.64323.函数 的定义域为（ ）.2arcsinyxzA. B.10,2yx10,2yxC. D.,2y ,24.点 到平面 的距离为（ ）.1,P05zxA.3 B.4 C.5 D.65.函数 的极大值为（ ）.232yzA.0 B.1 C. D.1216.设 ，则 （ ）.22yxz2,xzA.6 B.7 C.8 D.97.若几何级数 是收敛的，则（ ）.0narA
2、. B. C. D.1r1r1r8.幂级数 的收敛域为（ ）.nnx0A. B. C. D. 1,1,1,1,9.级数 是（ ）.14sinaA.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定10.微分方程 的通解为（ ）.0lyxA. B. C. D. ceyxexexcey2二.填空题（4 分 5）1.直线 过点 且与直线 平行，则直线 的方程为_.l1,2Atzytx213l2.函数 的全微分为_.xyez3.曲面 在点 处的切平面方程为_.24,4. 的麦克劳林级数是_.21x5.微分方程 在 条件下的特解为_.03ydx1x三.计算题（5 分 6）1.设 ，求kjbkjia2,.ba
3、2.设 ，而 ，求2uvz yxvsin,co.,zx3.已知隐函数 由 确定，求yxz,23z.,4.如图，求球面 与圆柱面 （ ）所围的几何体的体积.224aaxyx205.求微分方程 的通解.023y四.应用题（10 分 2）1.试用二重积分计算由 和 所围图形的面积.x,42.如图，以初速度 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律 （提示： .当0v .txgdtx2时，有 ， ）0t0x0dt3参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二.填空题1. . 2. .3. .4. .5. .2112zyxxdyexy 48z021nnx3y三.计算题1. .kji382. .yxy
4、yxyzyxz 3332 2 cossincosincosi,sincosin 3. .22,zxzy4. .3a5. .xxeCy21四.应用题1. . 2. .3602tvg4高等数学（下册）考试试卷（二）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、 = 的定义域为 D= 。z)0(log2ayxa2、二重积分 的符号为 。1|nyxdx3、由曲线 及直线 ， 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值l1ey为 。4、设曲线 L 的参数方程表示为 则弧长元素 。),()xtyx ds5、设曲面为 介于 及 间的部分的外侧，则 92x0z3syx)12（。6、微分方程 的通解为 。xydx
5、ytan7、方程 的通解为 。04)(8、级数 的和为 。1)(n二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）1、二元函数 在 处可微的充分条件是（ ）),(yxfz),0（A） 在 处连续；,f0（B） ， 在 的某邻域内存在；)(yx),(f),0yx（C） 当 时，是无穷小；fzyx ,(,0 0)(22yx（D） 。0)(lim2200 yxfyx2、设 其中 具有二阶连续导数，则 等于（ ）),(xyffuf 22yux（A） ； （B） ； (C) ； (D)0 。y3、设 ： 则三重积分 等于（ ）,0122zyx zdVI（A）4 ；2003cosinrrd5（B） ；2010
6、2sindrd（C） ；20103coi（D） 。sindrrd4、球面 与柱面 所围成的立体体积 V=（ ）224azyxaxyx22（A） ；20cos2drd（B） ；20cos244ar（C） ；20cos28adrd（D） 。2cos024ar5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数 在 D 上具有一阶连),(,yxQP续偏导数，则 LQdyPx)(（A） ； （B） ；D)( DdxyQ)(（C） ； （D） 。dxy)( P)(6、下列说法中错误的是（ ）（A） 方程 是三阶微分方程；02（B） 方程 是一阶微分方程；xydxysin（C） 方程 是全微
7、分方程；0)3()( 2232 dy（D） 方程 是伯努利方程。x17、已知曲线 经过原点，且在原点处的切线与直线 平行，而 满足微分)(y 062yx)(xy方程 ，则曲线的方程为 （ ）052y6（A） ； （B） ；xe2sin )2cos(sinxex（C） ； （D） 。)(cox8、设 , 则 （ ）0limnu1nu（A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。三、求解下列问题（共计 15 分）1、 （7 分）设 均为连续可微函数。 ，gf, )(),(xygvxyfu求 。yux,2、 （8 分）设 ，求 。txdzft)(),( tux,四、求解下列问题（共计
8、15 分） 。1、计算 。 （7 分）I202xyed2、计算 ，其中 是由 所围成的空间闭区域（8 分） 。V)(x21,22zy及五、 （13 分）计算 ，其中 L 是 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点LyxdI2xoy的封闭曲线的逆时针方向。 )0,(O六、 （9 分）设对任意 满足方程 ，且 存在，求 。)(,xfy )(1)(yfxfyxf)0(f)(xf七、 （8 分）求级数 的收敛区间。112)(nn参考答案一、1、当 时， ；当 时， ；2、负号； 3、10a102yxa12yx； 4、 ；5、180 ； 6、 ；3;0Dyedd dtt)( Cxysin7、 ； 8、1
9、；xxeCCxy 242321sincos 二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B ； 5、D； 6、B ； 7、A； 8、C；三、71、 ； ；2、 ； ；21fyxu)(xygu )()(txftfu )()(txftfu四、1、 ；1240200 222 edyeededyxy2、 ；0102133rzzrI柱 面 坐 标五、令 则 ， ； 22,yxQyxP xQyxP2)( )0,(,y于是当 L 所围成的区域 D 中不含 O（0，0）时， 在 D 内连续。所以由 Green 公式得：,I=0；当 L 所围成的区域 D 中含 O（0，0）时， 在 D 内除 O（0，0）外都连续，此
10、时作xQyP,曲线 为 ，逆时针方向，并假设 为 及 所围成区域，则l )1(22yx *Ll2)(2* yxDllLllL dyxGrenI 公 式六、由所给条件易得： 0)(01)(2)(fff又 =xffxf)(lim)(0 xfffx)()(1lim0fffx )()(1li20 )()(2ff即 即 )(2ff cxff)0(arctn )0(tan)(cxff又 即 0Zkc,taff七、令 ，考虑级数 当 即 时，亦即tx2112)(nnt2123limtntn12tt时所给级数绝对收敛；当 即 或 时，原级数发散；当 即 时，级数31t3xtx8收敛；当 即 时，级数 收敛；
11、级数的半径为 R=1，收敛区12)(n 1t3x12)(n间为1，3 。高等数学（下册）考试试卷（三）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、设 ，则 。zyxzyx32)2sin(yzx2、 。yx93lim03、设 ，交换积分次序后， 。2),(xdyfI I4、设 为可微函数，且 则 。 )(uf ,0f 2)(1lim23tyxt df5、设 L 为取正向的圆周 ，则曲线积分42yx。xxdedye)()1(6、设 ，则 。kyzjizA(222 Adiv7、通解为 的微分方程是 。xxecy18、设 ，则它的 Fourier 展开式中的 。f0,)( na二、选择题（每小题
12、2 分，共计 16 分） 。1、设函数 ,则在点（0，0）处（ ）,0,),( 242yxyxf（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。2、设 在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足),(yxu及 ，022xu0y则（ ）（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上；（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上；9（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。3、设平面区域 D： ，若 ，1)()2(2yxdyxI2)(DdyxI32)(则有（ ）（
13、A） ； （B） ； （C） ； （D）不能比较。21I21I21I4、设 是由曲面 及 所围成的空间区域，则 =（ ）,xyz0zdxyz32（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。361362366415、设 在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 ，其中),(yxf )(tyx)(t在 上具有一阶连续导数，且 ， 则曲线积分 （ ,t,0)(22tLdsyxf,）(A) ； (B) ；dttf)(, dtttf )()(,22(C) ； (D) 。dt)(22f,6、设 是取外侧的单位球面 ， 则曲面积分1zyx=（ ）dyzxd(A) 0 ； (B) ； (C) ； (D
14、) 。247、下列方程中，设 是它的解，可以推知 也是它的解的方程是（ ）1, 21y(A) ； (B) ；0)(xqyp 0)(yxqp(C) ； (D) 。)(f y8、设级数 为一交错级数，则（ ）1na(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若 ，则必收敛。)0(nan三、求解下列问题（共计 15 分）1、 （8 分）求函数 在点 A（0，1，0）沿 A 指向点 B（3，-2 ，2）)ln(2zyxu的方向的方向导数。2、 （7 分）求函数 在由直线 所围成的闭区域 D 上的)4(),(2f0,6xyx最大值和最小值。四、求解下列问题（共计 1
15、5 分）101、 （7 分）计算 ，其中 是由 及 所围成的立3)1(zyxdvI 0,zyx1zyx体域。2、 （8 分）设 为连续函数，定义 ，)f dvfztF)(22其中 ，求 。2,0|,(yxhzyxtd五、求解下列问题（15 分）1、 （8 分）求 ，其中 L 是从 A（a，0）经Lxx ymedmeI )cos()sin(到 O（0，0）的弧。2ay2、 （7 分）计算 ，其中 是 的外侧。xyzyzxI22)(22zyx六、 （15 分）设函数 具有连续的二阶导数，并使曲线积分)(与路径无关，求函数 。Lxdyyex)(2)(32 )(x参考答案一、1、1； 2、-1/6；
16、3、 ； 4、 ；20/ 42/),(),(yydxfdxfd )0(32f5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、0；8)(zx二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C ；三、1、函数 在点 A（1，0，1）处可微，且)ln(2yu；)1,0(2zxA/；0)1,(22zyyuA /1)1,0(22zxzA而 所以 ,故在 A 点沿 方向导数为：),(Bl 3,l Bl+ +AluxcosAyucoszucos.2/13)2(031112、由 得 D 内的驻点为 且 ， 0)24(1(2yxfyx ),12(0M4),(f又 ,),0f而当 时，6yxy
17、)60(12),(3xxyf令 得)12(34021x于是相应 且,y.64),()6,(ff在 D 上的最大值为 ，最小值为),(xf.)2,(f四、1、 的联立不等式组为yxz10:所以 10103)(xyzddIxy10241)(210 65ln3dx2、在柱面坐标系中2002)()(thrzfzrdtFt drhrf0321)(所以31)(2ttft3)(2tf五、1、连接 ，由 公式得：OAGrenOALI OAL 0,2 0)cos(yaxxGren dxyme公 式 81m2、作辅助曲面 ，上侧，则由 Gauss 公式得：221:ayxz+ =I11112= azyx ayxddzyx0, 22)(= zyxd04240431aa六、由题意得： )()(22xexx即 x3)(特征方程 ，特征根02r 2,1rr对应齐次方程的通解为： xxecy2又因为 是特征根。故其特解可设为：2 xeBAy2*)(代入方程并整理得： 1,2BA即 xey*)(21故所求函数为： xec221)(
