1、习题 1-1 样本空间与随机事件1选择题（1）设 为三个事件，则“ 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ）,ABC,ABC（A） （B） （C） （D）ABCABC（2）设三个元件的寿命分别为 ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能123,T正常工作，事件“系统的寿命超过 ”可表示为（ D ）tA B C D 123Tt123123min,Tt123max,Tt2用集合的形式表示下列随机试验的样本空间 与随机事件 A：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件 A 表示“点数之和大于 10”。解： ； 。,18543他18,2他A（2）对目标进行射击，击中后便停止射
2、击，观察射击的次数；事件 A 表示“射击次数不超过 5 次”。解： ； 。， 2543，（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是 150.3。现抽查一轴干测量其长度，事件 A 表示测量长度与规格的误差不超过 0.1。 解： ； 。3.015-x; .05-x;A3设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列各事件：（1） A，B，C 都发生： 解： ；（2） A，B，C 都不发生： 解：（3） A 发生，B 与 C 不发生： 解： （或 ） ；CBA（4） A，B，C 中至少有一个发生： 解： （5） A，B，C 中不多于两个发生： 解： ；4设某工人连续生产了 4 个零件，
3、 表示他生产的第 个零件是正品（ ） ，试用 表示iAi 4,321iiA下列各事件：（1）只有一个是次品； 4321432143214321 A（2）至少有一个次品； （3）恰好有两个是次品；432143214321432143214321 AA AA（4）至多有三个不是次品； 。习题 1-2 随机事件的概率及计算1填空题（1）已知 ， ， ，则 0.6， 0.4，BA4.0)(P6.0)(B)(AP)(B0.6， 0.2 ， 0 ， 0.4。)(A（2）设事件 与 互不相容， ，则 = 0.3 ， = 0.6 ().,().3()()PA。（3）盒子中有 10 个球，其中 3 个红球，接连
4、不放回抽取五次，第一次抽到红球的概率 0.3 ，第三次抽到红球的概率 0.3 。（4）一批产品由 45 件正品、5 件次品组成，现从中任取 3 件产品，其中恰有 1 件次品的概率为=0.2526。350241C（5）某寝室住有 6 名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为。72.01842!62选择题（1）如果 与 互不相容，则（C ）AB(A) (B) (C ) (D) ABAB（2）设 、 是任意两事件，则 （ B、C ） 。(P(A) (B) )(P )()(P(C) (D) ABAB（3）如果 ，则（ C ）()0(A) 与 互不相容 (B) 与 互不相容(C) (D) ()
5、(PAB()()PABP（4）设 10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则在前 3 个购买者中恰有一人中奖的概率为( D )(A) (B) 0.3 (C) 7/40 (D) 21/40.072310C(5) 两个事件 与 是对立事件的充要条件是（ C ）AB（A） （B）)()(P 1)(0)(BAP且（C） （D）且 3一批晶体管共 40 只，其中 3 只是坏的，今从中任取 5 只，求（1）5 只全是好的的概率； （2）5 只中有两只坏的的概率；（3）5 只中至多有一只坏的概率。解：（1） =0.6624 540371Cp（2） =0.0354 540237（3） =0.9
6、6354037137Cp4向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为 0.025，炸中其余两个军火库的概率各为 0.1。只要炸中一个另外两个必然爆炸，求军火库发生爆炸的概率。解：设 分别表示击中第一、二、三个军火库爆炸，D 表示军火库爆炸，BA,易知事件 互不相容，且 ，C025.)(AP1.0)(CPB则 25.1)()( P5两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两艘轮船停靠泊位的时间分别为 1 个小时和 2 个小时。求有一艘轮船停靠泊位时需要等待的概率。解：设 分别为甲、乙船到达时刻，甲停靠时间为 1 小时，乙停靠时间为 2 小时，yx,40设 “
7、一艘轮船停靠泊位时需要等待” ，则 发生当且仅当 ，AA10xy20y1206597.3241)( P习题 1-3 条件概率1选择题：（1）设 A，B 为两个相互对立事件，且 ， ，则( C )。0)(AP)B（A） （B） （C） （D）0)(P)(0)(BPA（2）已知 ， ， ，则( )。3.5.015.)(（A） （B） （C） （D）)( BPA(PA)(（3）设 ， ， ，则下列结论正确的是（ ） 。8.0)P7.8.0)(（A） ； （B） ； )()(B（C）事件 与事件 相互独立； （D） 事件 与事件 B 对立。A（4）设 ， ， ，则（ ） 。1)(0AP1)(0B1)(
8、)(BAP（A） 事件 与 互不相容； （B ）事件 与 对立；（C） 事件 与 不相互独立； （D）事件 与 相互独立。（5）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 p，第二道工序的废品率为 q，则该零件加工的成品率为（ ）（A） （B ） （C） （D）1pq1pq1q(1)p（6）对于任意两个事件 ，以下结论正确的是（ ） 。 A和（A）若 则 一定独立。 （B）若 则 有可能独立。, ,AB（C）若 则 一定独立。 （D）若 则 一定不独立。B2填空题:(1) 设事件 A， B 相互独立且互不相容，则 =_.)(,min(BPA(2) 已知 若 互不相容，则 . ；若 相互
9、独,6.0)(,5.0)(P、 BA、立，则 . .(3) 已知 ， ， ， =_._.)(A)(B8.)(A)(BP(4) 某人独立射击三次，其命中率为 0.8，则三次中至多击中一次的概率为 _0.104_.(5) 对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别为 0.4，0.5，0.7。则三次射击中恰好有一次击中目标的概率_0.36_。3在 10 只晶体管中有 7 只正品，3 只次品。现不放回的抽取两次，每次一只，求下列事件的概率。（1）两只都是正品；（2）至少有一只次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二只是次品；（5）第二次才是次品。解：设 表示第 i 次取出
10、次品，则iA（1） （2）157960)(21P 1589607)(1)(221 APAP（3） 57903（4） 103)()212AA（5） 37901P4已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱任取 3 件放入乙箱，然后再从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率。解 设 “从乙箱中取出的是次品” ， “从甲箱中取出的三件中恰有 个次品” .3AiBi0,12i由全概率公式001122()(|)(|)(|)PBAPAPBA)(33BAP.63261033236 CC415已知一批产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格
11、品被误认为是次品的概率是 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是 0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率.解 设 “任取一产品，经检查是合格品” ，A“任取一产品确是合格品” ，B则 ()(|)(|)PBPA，0.968.045.928所求概率为 .|60(|) 9()4A6玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：（1）顾客买下该箱的概率 ；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率 .解 设 “顾客买下该箱”
12、 ， “箱中恰有 件残次品” ， ，ABi0,12i（1） 0011()(|)(|)(|)PAPABPAB；441982020.89C（2） .0()(|)5.BPA7为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统 A 与 B，每种报警系统都使用时，对系统 A 其有效的概率是 0.92，对系统 B 其有效的概率为 0.93，在 A 失效的条件下，B 有效的概率为 0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。解：设 “报警系统 A 有效 ”， “报警系统 B 有效”则 （1） 98.015.80)(1)()( APBP（2）因为： 623
13、92.8.07.5)(1)()( BPAABP8一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 80/81，求该射手的命中率.解 设该射手的命中率为 ，由题意p， ，401()41()83p所以 .23p习题 2-1 随机变量及其分布函数1试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数.10,()sin2,.xFxx20,0,()ln(1),.xFx解： 是； 不是，因为 .1()x2()2()012设随机变量 的分布函数为X,4(),1,.xFxabx且 ，试求：（1）常数 的值；（2） 。()2P,(2)PX解：(1) 由于 ，即 .(1)(limxF(1)li4xab又 .1()(
14、0)2PX1li()xab由上两式知 .3,8ab(2) .11(21)(0)(2lim()2xPXFab习题 2-2 离散型随机变量1 填空题(1) 设随机变量 的分布律为: ，试确定 。X,NakXPN，,21_1a(2) 一批产品共 100 个，其中有 10 个次品，从中放回取 5 次，每次取一个，以 表示任意取出的X产品中的次品数，则 的分布为 。(,0.)B(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是 ，以p表示射击的次数，则 的分布律为 。X .,21,)1()(1kkXP2. 将编号为 的四个球随机地放入 个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以 表1
15、,2343 X示放球最多的盒子中球的个数，试求 的分布列及其分布函数 .X()Fx解： ； ； .12123434()CPX13428()7CP134)27CPX0, ,2233()86,4,721,.3xFxx3 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为 0.3 的泊松分布,试问(1) 在一周内恰好发生 2 次交通事故的概率是多少？(2) 在一周内至少发生 1 次交通事故的概率是多少？解：设一周内发生交通事故的次数为 X，则 。3.0P（1） 。03.!23.0.eXP（2） 。259.01!.1)(1)( 3.3.0e4某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为 ，现购买 张彩票，试求：（1
16、） 此人中奖.的概率；（2）至少有 张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算） 。3解：设中奖的彩票数为 ，则 .X(20,1)B:（1） .20()1().9864P（2）由于 ，故0.(3)1()(1)(2)PXPX.022503!e习题 2-3 连续型随机变量1. 设连续型随机变量 的密度函数为X2,01,(),axxf其 他 .试求：（1）常数 的值；（2）随机变量 的分布函数；（3） 。aX3()2PX解：（1）由于 . 故 .120111()()32afxdaxdx 3（2）当 时， ；0xF当 时， ；12301()xtd当 时， ；2x12 2011()()xFttx当 时， .故
17、， 320,0,11(),21, .xxFx（3） .132211313()()2 6PXxdxd2. 设连续型随机变量 的分布函数为 , 0)(xeAF， ，试求：（1）系数 A；（2） 的密度函数；（3） 。X(13)PX解：（1）由 知， 。1)(F Aexxx lim)(li（2） .0,;(exf（3） 。3131)1(3)1( eeFXP3. 设 K 在(0，5)内服从均匀分布 , 求方程 有实根的概率。0242Kx解：所求的概率为： 2 52(160)1320.KPdx或4. 某种型号的电子管寿命 (以小时计)具有以下概率密度X，21010xfx， 其 他现有一大批此种管子（设各
18、电子管损坏与否相互独立）, 任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于1500 小时的概率是多少？解： 。15023)1( dxXP从而所求概率为。5415505 1331 CC5. 设连续型随机变量 ， （1）求 ；（2）确定常数 C4XN（ ， ） ,2XPP使 。P解：（1） 5328.0.1)()5.0()1(2352( 231.1.6972XPX（2）由于 ，从而， 。cPc2c故 。所以， ,故 。 2310X033c6设连续型随机变量 ，证明：对一切实数 ， 有()E:0st。|)()PstXP证明：由于 ，从而其分布函数为()X0,()10.xFe故，对一切实数 ， ，0st(
19、,)()(|)PXstPXstPX()1()1()sttFte。()sePXs习题 2-4 二维随机变量及其分布1一箱子装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件，10 件，10 件。现从中随机抽取一件，记1,0X若 抽 到 一 等 品 ,其 他 .210X， 若 抽 到 二 等 品 ,， 其 他 .试求 的联合分布列。),(21解：2设随机变量 ，随机变量(2,)ZU:1,;ZX1,.ZY试求 的联合分布列。(,)XY解：由 知其密度函数为(2,)ZU:1,2,4()0.zfz其 他；12(1(1,)()4PXYPZPZdz；,)；1(,)()2z。211,)14PXYPZPZ
20、d 3. 完成下列表格YX 1y2y3y.ip1x0.1 0.1 0.2 0.420.2 0.2 0.2 0.6.jp0.3 0.3 0.4 14设二维随机变量 的联合密度函数为：),(YX，201,2(,)xcyxyfy他求：（1）常数 ；（2） ；（3） 和 的边缘密度函数。PYXY解：（1） 10 2,xcydxc 1312121280,0.;, .10,0.PXPX。12,0;PX。 102 7231dxyxYXPx求 X 的边缘密度函数： 。ffX,当 时， ；10x或 0xf当 时， 。20 2331xdyxfX求 Y 的边缘密度函数： 。当 时，fyfY,0y或；0yf当 时，
21、。2102 6133ydxyxyfY5. 设 服从 上的均匀分布，求：),(X,|),(xG（1） 的联合概率密度函数；（ 2） ；（3） 和 的边缘密度函数。2XYPY解：（1）由（X，Y）服从 G 上的均匀分布知， （X ，Y）的联合密度为：其 他 。,0;10,21, yxyxf（2） 。202 342dxyXYPx（3）先求 X 的边缘密度： 。yffX,当 时， ；当 时，20x或 0x2x。10dyfX再求 Y 的边缘密度函数： dxyfyfY,当 时， ；当 时， 。10y或 0fY 1201dxfY习题 2-5 条件分布及随机变量的独立性1设二维离散型随机变量 只取 及 四对值
22、，相应概率依次为),(YX)2,1(,)0,()0,(，试判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立。25,36, 解：由于,215120,12)0( YPXP而,40, YPXY所以，X 与 Y 不独立。2. 设随机变量 与 相互独立，试完成下表：Y X1y2y3y.ip1x1/24 1/8 1/12 1/421/8 3/8 1/4 3/4.jp1/6 1/2 1/3 13设二维连续型随机变量 的联合密度函数为(,)XY1,0,2,xyxfxy其 他 .试判定 与 是否相互独立。XY解： .()(,)fxfyd当 或 时， ；当 时， .010Xx1x20()1xXfdy.()(,)Yfyfy当
23、 或 时， ；当 时， .02()0Yf1y12()Yyfdx由于当 时，(,)1,2xyx，()XYff且区域 的面积不为 0，所以， 与 不相互独立.0,xyxXY4. 设二维连续型随机变量 的联合密度函数为),(Y，201,xycyfx其 他求常数 c，并判断 X 与 Y 是否相互独立。解： 从而， 。 102,6,1 cdxycxdxyf 6求 X 的边缘密度： 。dyxfxfX,当 时， ；10x或 0f当 时， 。1026xdyxX求 Y 的边缘密度函数： 。dxyffY,当 时， ；10y或 y当 时， 。102236ydxfY由于对任 x，y，有 。所以，X 与 Y 相互独立。
24、ffyxYX,5设 和 是两个相互独立的随机变量， 在（0,1 ）内服从均匀分布， 的概率密度为X0,21)(/yeyfY（1）求 与 的联合概率密度；（2）设关于 的二次方程为 ，求此方程有实Ya02YXa根的概率。解：由 0，1 知 的密度为： =XU()X()Xfx1,0;x其 他 .由 独立知， , 的一个联合密度为：Y与 Y21,01,0;(,)()yXYexyfxyf:其 他 .方程有实跟的概率为：22(40)(0)PYPY210()yxed210xed。2 21xxede1()(1.4827习题 2-6 随机变量函数的分布1设随机变量 的分布列为X-2 -1 0 1kp1/6 1
25、/3 1/6 1/3试求：(1) ，(2) 的分布列。1XY2Z2531 解：2设随机变量 ，试求 的密度函数。(0,1)XU:XYe解：由 知其密度函数为 设 ，函数 . 则(,)1,0,().xfx其 他 XYe()xyge， .所以，当 时，min0gma,()g0,.从而，当 ，即 时， 。 1()l)(ln)Yfyffy0ln1yye1()Yfy3设连续型随机变量 的密度函数为 试求 的密度函数 。X,0,2(),40xfx其 他 .2YX()Yfy解：先求 的分布函数 ，在对其求导数. .Y()YFy2()()YFyPXy当 时， ，故 ；当 时， .0y()0Y()0Yf()yf
26、xd当 ，即 时， ，故，11y01324yyFdx；23()8YfyF当 且 ，即 时， ，故，1y14y0101()242yYFydxy； 2()8YfyF当 且 ，即 时， ，故 . 1y4y()1YF()0Yfy4. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X，Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 1 2p43p53试求随机变量 及 的各自概率分布列。YXkp6 34152ZX014kp6236解： ，(1)(1)(0,1)(0)(1PXYPYPXY022,2,)，(0)()(1)(36902，(3)3,)(0PXYPYPXY ()(0)(,，2310104，(1)()(,)()(PXYP
27、YPXY。922125设随机变量 ， 且 与 相互独立，试求 的密度函数。(0,)U:(1)E:Z解：由 ， 知， 与 的密度函数分别为,1XYxpXY及 ,()0,.fx其 他 ,0,().yYef又由 与 相互独立知 的一个联合密度函数为XY(,10(,)0.yexyfx其 他设 的密度函数为 . 由于 与 相互独立，从而 .ZXY()ZfzXY()()ZXYfzfxzdx由 ， 不等于零的区域知 所以，当 时， ；()fx)Yfzx01,.x0z()0Zf当 时， ；当 时， .01()0(1zxzZede:1()()(1)zxzZfede:所以， ,()(1)0,.zZezfz0习题
28、3-1 数学期望1填空题（1）设二维随机变量 ，则 33 。(,)(10,2,)XYN:(25)EXY（2）设随机变量 ， ，若 ，则 -8 。2P,6)U3Z(Z2设 的分布列为：求（1） ；（2） ；（3） 。)(XE)1()(2XE解： ，11643，2(2)()3。2 2153164EX3把 4 个球随机地放入 4 个盒子中去，设 表示空盒子的个数，求 。X)(XE解： ， ，4!2(0)56P1243!()56CP:，21244()8()CX。34()256P故 。1843281() 564EX4设连续型随机变量 的密度函数为，他,0212,)(xxf求（1） ， （ 2） 。EX|
29、EX解： ，1201()()()1xfdxxd:。211()3xd5设二维离散型随机变量 的联合分布列为),(YXY 0 10 0.3 0.41 0.2 0.1求：（1） , ；（2） , 。)(XE)2(YXE)3(-1 0 1 2P64解：（1） X0 1kp0.5 0.5().5EY0 1kp0.7 0.3().3E(2) ，210.4(2).(1)0XY。()3.36设 服从在 上的均匀分布，其中 为 轴、 轴及直线 所围成的区域，求,AAxy01yx（1） ; （2） ;（3） 。E)2(YX)(XE解：由题意知 的联合密度为：(,)Y(,),0xyfxy其 他（1） 。011()(
30、,)(2)3xEXfddy（2） 323)YEXYE1(,yfxd。0112)3y（3） = = 。()(,EXYxfd01(2)xyd:1习题 3-2 方差1. 填空题（1）设随机变量 ， ， 相互独立，其中 ， ， 服从参数为 31X231(0,6)XU2(0,4)N3X的泊松分布，记 ，则 46 。Y()DY（2）已知 ， ，则 -),(U2E_ _， _ _。13D564（3）设 的概率密度为 ，则 0.5 。X21()xfe()DX（4）设二维随机变量 ，则 _5_，(,)(1,2,0)XYN:(25)DXY分布为_ _。Z252. 设随机变量 ，随机变量 求 及 。(1)XE:,0
31、.521,.YX()EY解： ， ，22()()xPYed()()0P.01故， ， ，22()()1)1Eee222()1()EYe。4DYY3. 设连续型随机变量 的分布函数为X，1,1,2arctn,0)(xxF求（1） 的密度函数；（ 2） 。X(),EXD解：(1)由 知 ()fxF21()0xfx其 他（2） ，12()EXfddx， 。1224()()1xf224()()1DXEX4设随机变量 且 ，随机变量 且 与 相互独立，试()XP:)(E1(8,)2YB:Y求 及 。(34EY34DY解：由 知 ， . 所以， . 又()()X222()()EXDEX，故 . 所以， ，
32、221XE1()1. 由于 ，故 ， . 所以，()D1(8,)YB:()4Y().33415XEXY由于 与 相互独立，故 。XY()(9()DD5设 的概率密度为 ,试求 及 。),(YX他,0112),(xyyxf )(XDY解： ,1204()(,)()5xEfdd:,12220()(,)()3xXxfyyx,22()()75DEX,1203()(,)()5xYyfxdydx:,122202()(,)()xEf y。22235DYEY6. 设两个随机变量 ， 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 的正态分布，求随机变量X21的方差。YX解：由于 且 与 独立，故11(0,)(0,)22
33、NY:XY(0,1)ZN:从而，200()()2()zEZzdzded。从而22222000()()()()1zzed。2DZEZ习题 3-3 协方差与相关系数习题 3-4 其他特征数1填空题（1）设随机变量 ， 且 ，若 ，则(2)XP:(0,6)YU1XY23ZXY_23_。()DZ（2）设 服从二维正态分布，则 是 与 相互独立的 充要 条件。,YX),(covYX（3）设 服从二元正态分布 ，则 _4_。)( 0,14.5N2(3)EXY2. 选择题（1）设 与 的相关系数 ，则必有 C 。XYXY(A) 与 相互独立； (B) 与 不一定相关；(C) 与 必不相关； (D) 与 必相
34、关（2）设随机变量 与 的期望和方差存在，且 ，则下列说法哪个是不正Y ,)(DYX确的 D 。(A) ； (B) ；()XEXY)(C) 与 不相关； (D) 与 独立Y3. 已知二维离散型随机变量 的概率分布为 ，),(YX8/1/10/（1）求协方差 及相关系数 ；（2） 与 是否相互独立？是否不相关？),(covXY解： 及 的边缘分布列为：XY 0 1 1 01kp38238kp38238。1(1),(),()8EXYEX故 。所以， 。(,)()()0Cov(,)0XYCovDY(2)由于 所以 与 不独立。但19,()(1)864PXYPX,故 与 不相关。0XY4设二维连续型随
35、机变量 的联合密度函数为(,)23,01,xyxyxfy，其 他 .试求：（1）相关系数 ；（2） 与 是否相互独立？是否不相关？XY解：（1） ， ，120 4()(3)5xEXydx 120 13()(3)0xEYydyx， ，1220(x 1220 4x， 。2)()75D4()()5DY， ，10 13(36xEXYydyx 13,()90CovXEYX。(,)218XYovY（2）由于 ，所以， 与 相关. 从而， 与 不相互独立.0XY5假设随机变量 服从参数 的指数分布，随机变量1,(,2)kYkX若若 求（1） 的联合分布列；（2） 。1(,) 12cov,X解：由 知其分布函
36、数为： 。()YE:0()yeF112()0,1,21PXPYPYFe01212, 2e121PXPYPYYF 和 的分布列为:122故 ， 。 故12,EXee21EXe。312122,Cov习题 4 大数定律与中心极限定理1. 用切比雪夫不等式估计下列各题的概率：0 1kp12 0 1kp212e（1）废品率为 0.03，1000 个产品中废品多于 20 个且少于 40 个的概率。（2）200 个新生婴儿中，男孩多于 80 个且少于 120 个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为 0.5） 。解 （1）设 表示 1000 个产品中废品的个数，则 ，X )03.,1(BX所以 29)( ,3
37、0.10)( pnDnpE所求概率 |(|()42 PPP在切比雪夫不等式2)(1)|(| XXE中取 ，就有10。709.1)402(2P（2）设 表示 200 个新生婴儿中男孩的个数，则 。X)21,0(BX所以 5)( ,105.2)( pnDnpE所求概率 2|(|)80XPP在切比雪夫不等式2)(1)|(| EX中取 ，就有20。875.021)0|(|)208( XPP2. 已知正常成人男性血液中每毫升含白细胞数的平均值是 7300 个，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计血液中每毫升血液中细胞数在 52009400 之间的概率。解 以 表示每毫升含白细胞数，由题设X270)(,
38、73)(DE而概率)210|73(|)21073(94520XPXP在切比雪夫不等式中，取 ，此时 ，知2109/8210/7)(2D。.9/8)10|73(| XP3. 某车间有同型号机床 200 部，每部开动的概率为 0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能 15 个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以 95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。解 设 表示同时开动机床的台数，则X)7.0 ,2(BX423.1)( ,1407.2)( pnDnpE又设同时开动台数不超过 的概率为 95%。由中心极限定理N)420()42)1()( NpnXP由题意要求 95.042查
39、表得 6.1N得 ，取 ，应供电能 个单位才能满足要求。67.150526514. 在人寿保险公司里有 10000 个同一年龄的人参加人寿保险。在这一年中，这些人的死亡率为 0.6%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费 12 元，死亡时，家属可以从保险公司领取 1000 元。求(1)保险公司一年中获利不少于 4000 元的概率；(2)保险公司亏本的概率。解 设 表示一年中 10000 个同龄参保人中死亡的人数，则 ，由题意，X )06.,1(BX保险公司的收益为 元，支出为 1000 。由中心极限定理1200（1）保险公司一年中获利不少于 40000 元的概率为)80()42( XPXP95
40、226.5908)1( pn（2）保险公司亏本的概率为 )120()20(XPXP0)7.(64.59)1( pn可见保险公司一般不会亏本。5. 设随机变量 相互独立且都在0，1上服从均匀分布。令4821,X，试用中心极限定理计算 的值。481iiX)0.1(P解 因为 所以,482,1),0(iUXi,)(iiDE从而2418)( ,21)(X于是2410.|)(|)04.|21(| XDEPP。63.8315.)96.(习题 51 数理统计的基本概念习题 52 统计量和抽样分布1.填空题（1） 设随机变量 与 相互独立且 ， ，则 。XYX2(,)NY2()nXZnY()t（2）设总体 服
41、从正态分布 ，而 是来自总体 的简单随机样本，则随机)1,0( 1521,X变量 分布。)(21521XY ,F（3）设 ，且 ， 相互独立，则 。(),2nVUUV/12nUVF21(,)2.选择题（1） （ B ） 。)9,7(05.F（A） ,95.0 （B） )7,9(15.0F （C） （D）)9,7(105.F)7,9(105.F（2）设总体 ，其中 已知， 未知， 是从中抽取的简单随机样本，X),N(22123,X下列各项中不是统计量的是（ A ） 。（A） （B） （C） （D）2213()13123max(,)X123()3X（3）设随机变量 ，则（ D ） 。2),1(XY
42、nt(A) (B) (C) (D) )(2Y)1(n)1,(nFY),1(nFY3设某种电灯泡的寿命 服从指数分布 ，从中抽取 100 只灯泡，求这一简单随机样本X()E的联合概率密度函数。1210,X解：101012(,)()ixiifxfxe其中 ,i4.抽取 10 只辽宁绒山羊产绒量（单位：g）：450,450,500,500,500,550,550,600,600,650,试利用计算器计算其样本均值、样本方差和标准差。解：样本均值 535401ix样本方差 4472.22240221()39iisx样本标准差 66.8754021()ii5.设 是独立且服从相同分布 的随机变量，125
43、,X (0,1)N(1)试给出常数 ，使得 服从 分布，并指出它的自由度；c21()X2(2)试给出常数 ，使得 服从 分布，并指出它的自由度 .d22345 t解：（1）因为 ，所以 ，自由度为 2。21():1c（2）因为 ，所以 ，自由度为 3.2345(3)Xt32d6.附加题设 为来自总体 N(0,1)的简单随机样本， 为样本均值，记)2(,21nX X（2005 年数学三）.,iYii 求：（I） 的方差 ；i()1,iDYn（II） 与 的协方差1n).Cov解：（I） 2()(2(,)(,)iii i i XXDXCovCovnn2221)nn（II） 11 1(,)(,)(,)(,)(,)n nCovYvXovXovXov22nn习题 53 正态总体统计量的抽样分布1.填空题（1）设 为总体 的一个样本，则 0.02571,X ).0,(
