1、规范练 六 函数与导数1已知函数 f(x)ax 2xxln x .(1)若 a0，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(1)2，且在定义域内 f(x)bx 22x 恒成立，求实数 b 的取值范围解 (1)当 a 0 时，f(x )xxln x ，函数定义域为(0，)f(x)ln x，由ln x0，得 x1.当 x(0,1)时，f(x)0，f(x) 在(0,1)上是增函数；当 x(1，)时，f(x)0，f(x) 在(1，)上是减函数(2)由 f(1)2，得 a12，a1，f(x)x 2xx ln x，由 f(x)bx 22x，得(1b)x 1ln x.又x0， b1 恒成立1x ln xx令
2、 g(x)1 ，可得 g(x) ，由 g(x)0，得 x1.1x ln xx ln xx2g(x)在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，g(x) ming(1)0，b 的取值范围是(，02设 f(x)e x(ax2x1)(1)若 a0，讨论 f(x)的单调性；(2)x1 时，f(x)有极值，证明：当 时，| f(cos )f(sin )|2.0，2(1)解 f(x)e x(ax2x 1) e x(2ax1)ae x(x )(x2) ，1a当 a 时，由 f(x ) ex(x2) 20，所以 f(x)在 R 上单增递增；12 12当 0a 时，由 f(x ) 0，得 x2 或 x ；12 1
3、a由 f( x)0，得 x2，1af(x)在 和(2 ，)上单调递增，在 上单调递减( ， 1a) ( 1a， 2)当 a 时，由 f(x )0，得 x 或 x2，12 1a由 f( x)0，得2x ，1af(x)在( ，2) 和Error!)上单调递增，在 上单调递减( 2， 1a)(2)证明 x1 时，f(x)有极值，f(1)3e(a1) 0，a1，f(x)e x(x 2x1) ，f(x )e x(x1)(x 2)由 f( x)0，得2x1，f(x)在2,1 上单增 ，sin ，cos 0,1，0，2|f(cos )f(sin )|f(1)f(0) e12.3已知函数 f(x)x 3ax
4、2bxc 在(，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数 f(x)在 R 上有三个零点，且 1 是其中一个零点(1)求 b 的值； (2)求 f(2)的取值范围；(3)设 g(x)x1，且 f(x)g(x)的解集为(，1)，求实数 a 的取值范围解 (1)f (x)3x 22axb当 x0 时， f(x)取到极小值，即 f(0)0，b 0.(2)由(1)知，f(x)x 3ax 2c，1 是函数 f(x)的一个零点，即 f(1)0，c1 a.f(x) 3x 22ax0 的两个根分别为x10，x 2 .2a3又f(x) 在(0,1)上是增函数，且函数 f(x)在 R 上有三个零点，x 2 1，
5、即 a .2a3 32f(2)8 4a(1a)3a7 .52故 f(2)的取值范围为 ( ， ) 52(3)法一 由(2)知 f(x)x 3ax 21a，且 a .321 是函数 f(x)的一个零点， f(1)0，g(x)x1，g(1) 0，点(1,0)是函数 f(x)和函数 g(x)的图象的一个交点结合函数 f(x)和函数 g(x)的图象及其增减特征可知，当且仅当函数 f(x)和函数 g(x)的图象只有一个交点(1,0)时， f(x)g(x)的解集为(，1)即方程组Error!只有一解：Error!.由x 3ax 21ax1，得(x 31)a(x 21)(x 1)0，即(x1)x 2(1a)
6、x (2 a)0，x1 或 x2(1a) x(2a)0，由方程 x2(1a)x(2a)0，得 (1a) 24(2 a) a22a7，当 0，即 a22a70，又因为 a ，32解得 a2 1.32 2此时方程无实数解，方程组只有一个解Error!所以 a2 1 时，f(x)g( x)的解集为(，1)32 2法二 由(2)知 f(x)x 3ax 21a，且 a .321 是函数 f(x)的一个零点，f(x)(x1)x 2(1a)x1a又 f(x)g(x) 的解集为(，1)，f(x)g(x) (x 1) x2(1a)x 2a0 的解集为(，1) x 2(1a)x2a0 恒成立(1a) 241(2
7、a) 0.a 22a70，(a1) 28.又a ， a2 1，32 32 2a 的取值范围为 .(32，22 1)4已知函数 f(x)axln x，其中 a 为常数(1)当 a1 时，求 f(x)的最大值；(2)若 f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求 a 的值；(3)当 a1 时，试推断方程|f(x)| 是否有实数解ln xx 12解 (1)当 a 1 时，f(x)xln x(x 0)，f(x)1 ，1x 1 xx当 0x1 时， f( x)0；当 x1 时，f(x) 0.f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数，f(x) maxf (1)1，(2)f(x) a ，x(0，e
8、 ， .1x 1x 1e， )若 a ，则 f(x ) 0，f(x)在(0，e 上是增函数，1ef(x) maxf(e) ae10 不合题意若 a ，则由 f(x )0a 0，1e 1x即 0x .1a由 f( x)0 得 a 0，即 xe.从而 f(x)在 上是增函数，在1x 1a (0， 1a)上是减函数，( 1a，e)f(x) maxf 1ln( 1a) ( 1a)令1ln 3，则 ln 2， e 2 ，即 ae 2 .( 1a) ( 1a) 1ae 2 ，1eae 2 为所求(3)由(1)知当 a1 时， f(x)maxf(1)1，|f(x)|1又令 g(x) ，g(x) .ln xx
9、 12 1 ln xx2令 g(x) 0，得 xe.当 0xe 时，g(x)0，g(x) 在(0，e)上单调递增，当 xe 时，g(x)0，g(x) 在(e，)上单调递减，g(x) maxg(e) 1，1e 12g(x)1，|f(x)|g(x)，即|f( x)| ，ln xx 12方程|f(x)| 没有实数解ln xx 1221（本题满分 14 分）已知函数 ，)(ln)(Raxxf（1）若 求曲线 在 处的切线的斜率；,1ay21（2）求 的单调区间；)(xf（3）设 若存在 对于任意 使 求 的,2g),0(1x,102x),(21xgfa范围。解： xaxfR1)( ),0()(ln(I
10、) 2)(,1fka为 增 函 数在当 ),0(,0)( xfI,10(1)( axfaf ， 令当综上： 的单调增区间为,xa),(的单调增区间为 减区间为)(0f， ） ，（ ），（ 一定符合题意，时 ，知 ， 当） 由（ I当 的单调增区间为 减区间为)(xfa，） ，（ a10），（ a1)ln(1ma 由题意知，只需满足 010)l(0)()()(axax aeagf综上： e121已知函数 f（x）=xlnx，g（x）=2x3（1）证明：f（x）g（x） ；（2）证明：（1+12） （1+23）（1+20142015）e 220143考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合
11、应用分析：（1）构造函数 F（x）=f（x）g（x） ，利用导数求出函数的最小值为 3e，问题得证（2）由题意得得 ，令 x=1+n（n+1） ，利用放缩法加以证明解答： 证明：（1）令 F（x）=f（x）g（x）=xlnx 2x+3， （x0）F（x）=lnx+12=lnx 1，令 F（x ）=0，解得 x=e，x（0，e） ，F（x）0，x（e，+） ，F （x）0，当 x=e 时函数 F（x）有最小值，即为 F（e ）=elne2e+3=3e0，故 f（x）g（x） （2）由（1）xlnx2x3，得 ，令 x=1+n（n+1） ，故 ，=即 ln220143则（1+12） （1+23）（
12、1+20142015）e 220143 成立 故问题得以证明点评：本题主要考查了导数以函数的最值的关系，以及利用放缩法证明不等式成立的问题，属于中档题22已知函数 f（x）=（x e） （lnx 1） （e 为自然对数的底数） （）求曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程；（）若 m 是 f（x）的一个极值点，且点 A（x 1，f （x 1） ） ，B （x 2，f （x 2） ）满足条件：（1lnx 1） （1 lnx2）=1求 m 的值；若点 P（m， f（m） ） ，判断 A，B ，P 三点是否可以构成直角三角形？请说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值
13、 专题：计算题；导数的综合应用分析：（）求出导数和切线的斜率，及切点，运用点斜式方程，即可得到切线方程；（）求出导数，讨论当 0xe 时，当 xe 时，导数的符号，即可判断极值点，求出P 点；讨论若 x1=e，若 x1=x2，与条件不符，从而得 x1x2计算向量 PA，PB 的数量积，即可判断 PAPB解答： 解：（） ，f（1）=e，又 f（1）=e1，曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程为 y（e1）= e（x1） ，即 ex+y2e+1=0 （）对于 ，定义域为（0，+） 当 0xe 时，lnx1， ， ；当 x=e 时，f（x）=1 1=0；当 xe 时，lnx 1， ，f（ x
14、）存在唯一的极值点 e， m=e，则点 P 为（e，0）若 x1=e，则（1lnx 1） （1 lnx2）=0，与条件（1lnx 1） （ 1lnx2）= 1 不符，从而得 x1e同理可得 x2e若 x1=x2，则 ，与条件（1lnx 1） （1 lnx2）=1 不符，从而得 x1x2由上可得点 A，B，P 两两不重合=（x 1e） （x 2e）+（x 1e） （x 2e） （lnx 11） （lnx 21）=（x 1e） （x 2e） （lnx 1lnx2lnx1x2+2）=0从而 PAPB，点 A，B ，P 可构成直角三角形点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求极值，考查运用向量的数
15、量积为 0，证明线段垂直的方法，属于中档题2.(2015长春模拟)已知函数 f(x)=1- ,g(x)=x-lnx.(1)证明:g(x)1.(2)证明:(x-lnx)f(x)1- .【证明】(1)g(x)= ,当 01 时,g(x)0,即 g(x)在(0,1)上是减少的 ,在(1,+) 上是增加的 .所以 g(x)g(1)=1,得证.(2)f(x)=1- ,f(x)= ,所以 02 时,f(x)0,即 f(x)在(0,2)上是减少的,在(2,+)上是增加的,所以 f(x)f(2)=1- ,又由(1)x-lnx1,所以(x-lnx)f(x)1- .3.(2015合肥模拟)若 f(x)= 其中 a
16、R.(1)当 a=-2 时,求函数 f(x)在区间 上的最大值.(2)当 a0 时,若 x1,+),f(x) a 恒成立,求 a 的取值范围.【解析】(1) 当 a=-2,xe,e2时,f(x)=x 2-2lnx+2,因为 f(x)=2x- ,所以当 xe,e2时,f(x)0,所以函数 f(x)=x2-2lnx+2 在e,e 2上是增加的,故 f(x)max=f(e2)=(e2)2-2lne2+2=e4-2.(2)当 xe时,f(x)=x 2+alnx-a,f(x)=2x+ ,因为 a0,f(x)0,所以 f(x)在e,+)上是增加的,故当 x=e 时,f(x) min=f(e)=e2;当 1
17、xe,即 a2e2时,f(x)=x 2-alnx+a 在区间1,e上是减少的,故当 x=e 时,f(x) min=f(e)=e2.综上所述,函数 y=f(x)在1,+)上的最小值为f(x)min=由 得 00,f(x)=x(2lnx+1).令 f(x)=x(2lnx+1)0,得 2lnx+10,即 x ;令 f(x)=x(2lnx+1)0),设 g(x)=xlnx+ ,g(x)=lnx+ ,g(1)=0,当 01 时,g(x)0,g(x)是增加的,所以 x0 时 ,g(x)min=g(1)=1.所以 k1,k的取值范围 是1,+).5.(2014四川高考)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx
18、-1,其中a,bR,e=2.71828为自然对数的底数.(1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间0,1上的最小值.(2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围.【解题提示】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用,函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化 归与转化等数学思想,并考查思维的严谨性.【解析】(1) 因 为 f(x)=ex-ax2-bx-1,所以 g(x)=f(x)=ex-2ax-b,又 g(x)=ex-2a,因为 x0,1,1exe,所以:若 a ,
19、则 2a1,g(x)=ex-2a0,所以函数 g(x)在区间0,1上是增加的,g(x)min=g(0)=1-b.若 0,所以函数 g(x)在区间0,ln(2a) 上是减少的,在区间(ln(2a),1上是增加的,g(x)min=g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b.若 a ,则 2ae,g(x)=ex-2a0,所以函数 g(x)在区间0,1上是减少的,g(x)min=g(1)=e-2a-b.综上所述,当 a 时,g(x)在区间0,1上的最小值为 g(x)min=g(0)=1-b;当 0x0 时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R；4分当m=0 时，2()0x对 ， ()0f恒成立； 5分 当m0 时，由()0mfxx，列表：x ()， m()，()fx 0 减 极小 增min()()ln.2ffm这 时 ，由题意 in0l0()fx.e故 使 ()f成立，实数m的取值范围 (,0， 9分（）因为对 1x， ，(1)xmH，所以 ()Hx在 1,m内单调递减于是22|()|()ln.1 13|lnl0.2Hx记3()ln(e)2hmm，则 211() 03hm，所以函数l2在 1， 是单调增函数， 所以e3e()10h，故命题成立 12分
