1、第 3 章 概 率(B)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件)中任取 2 件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是_(填序号)恰好有 1 件次品和恰好有两件次品；至少有 1 件次品和全是次品；至少有 1 件正品和至少有 1 件次品；至少 1 件次品和全是正品2平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为 3 cm，把一枚半径为 1 cm 的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是_3某班有 50 名学生，其中男、女各 25 名，若这个班的一个学生甲在街上碰
2、到一位同班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率_碰到同性同学的概率(填“大于” “小于” “等于”或“无法比较”)4在区间 上随机取一个数 x，cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 2， 2 12_5已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458569
3、683 431 257 393 027 556 488730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_6已知半径为 a 的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为_7在平面直角坐标系 xOy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入 E 中的概率为_8从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 40的概率为_9已知集合 A9，7，5，3，1,0,2,4,6,8，从集合 A 中选取不相同的两个数，构成平面直角
4、坐标系上的点，观察点的位置，则事件 A点落在 x 轴上的概率 P(A)与事件 B点落在 y 轴上的概率 P(B)大小关系为_10如图所示， ABC 为圆 O 的内接三角形， AC BC， AB 为圆 O 的直径，向该圆内随机投一点，则该点落在 ABC 内的概率是_11若以连续两次掷骰子分别得到的点数 m， n 作为点 P 的坐标( m， n)，则点 P 在圆x2 y225 外的概率是_12如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是_13在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆
5、内接等边三角形边长的概率是_14在体积为 V 的三棱锥 S ABC 的棱 AB 上任取一点 P，则三棱锥 S APC 的体积大于的概率是_V3二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分)已知函数 f(x) x2 ax b.若 a， b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率16(14 分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为 0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率17(14 分)甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩游戏，他们将扑克牌
6、洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张(1)设( i， j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃 3，则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜你认为此游戏是否公平，说明你的理由18(16 分)现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1、 A2、 A3通晓日语， B1、 B2、 B3通晓俄语， C1、 C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组(1)求 A1被选中的概率；(2)求 B1和 C1不全被选中的概率19(1
7、6 分)已知实数 a， b2，1,1,2(1)求直线 y ax b 不经过第四象限的概率；(2)求直线 y ax b 与圆 x2 y21 有公共点的概率20(16 分)如图所示， OA1，在以 O 为圆心， OA 为半径的半圆孤上任取一点 B，求使 AOB 的面积大于等于 的概率14第 3 章 概 率(B)12.133大于解析 记“甲碰到同性同学”为事件 A， “甲碰到异性同学”为事件 B，则 P(A) ，P(B) ，故 P(A)25 的次数与总试验次数的比就近似为本题结果即 .2136 71212.49解析 可求得同时落在奇数所在区域的情况有 4416(种)，而总的情况有6636(种)，于是
8、由古典概型概率公式，得 P .1636 4913.12解析 记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件 A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型的概率公式得 P(A) .1222 1214.23解析 由题意可知 ，如图所示，三棱锥 SABC 与三棱锥 SAPC 的高相同，VS APCVS ABC13因此 (PM，BN 为其高线)，又 ，故 ，故所求概率VS APCVS ABC S APCS ABC PMBN13 PMBN AP
9、AB APAB13为 (长度之比)2315解 a，b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为N5525 个函数有零点的条件为 a 24b0，即 a24b.因为事件“a24b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 12 个所以事件“a 24b”的概率为 P .122516解 设 A、B、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件则 P(A)0.025，P(B)P(C)0.1，设 D 表示军火库爆炸这个事件，则有DABC，其中 A、B、C 是互斥事件，P
10、(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.0250.10.10.225.17解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共 12 种不同情况(2)甲抽到红桃 3，乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4，因此乙抽到的牌的牌面数字比 3 大的概率为 .23(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)，共 5 种，故甲胜的概率 P1 ，同理乙胜的概率 P2 .
11、因为 P1P 2，所以此游戏公512 512平18解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件为(A1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3
12、，C 1)，(A 3，B 3，C 2)，共 18 个基本事件由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用 M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A1，B 3，C 2)，事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 P(M) .618 13(2)用 N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示“B 1、C 1全被选中”N这一事件，由于 (A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1
13、)，事件 由 3 个基本事N N件组成，所以 P( ) ，由对立事件的概率公式得：P(N)1P( )1 .N318 16 N 16 5619解 由于实数对(a，b)的所有取值为：(2，2)，(2，1)，(2,1)，(2,2)，(1，2)，(1，1)，(1,1)，(1,2)，(1，2)，(1，1)，(1,1)，(1,2)，(2，2)，(2，1)，(2,1)，(2,2)，共 16 种设“直线 yaxb 不经过第四象限”为事件 A， “直线 yaxb 与圆 x2y 21 有公共点”为事件 B.(1)若直线 yaxb 不经过第四象限，则必须满足Error!即满足条件的实数对(a，b)有(1,1)，(1
14、,2)，(2,1)，(2,2)，共 4 种P(A) .416 14故直线 yaxb 不经过第四象限的概率为 .14(2)若直线 yaxb 与圆 x2y 21 有公共点，则必须满足 1，即 b2a 21.|b|a2 1若 a2，则 b2，1,1,2 符合要求，此时实数对(a，b)有 4 种不同取值；若 a1，则 b1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值；若 a1，则 b1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值，若 a2，则 b2，1,1,2 符合要求，此时实数对(a，b)有 4 种不同取值满足条件的实数对(a，b)共有 12 种不同取值P(B) .1216 34故直线 yaxb 与圆 x2y 21 有公共点的概率为 .3420解 如图所示，作 OCOA，C 在半圆弧上，过 OC 中点 D 作 OA 的平行线交半圆弧于 E、F，所以在 上取一点 B，判断 SAOB .EF14连结 OE、OF，因为 OD OC OF，12 12OCEF，所以DOF60，所以EOF120，所以 l 1 .EF120180 23所以 P .lEF 1 23 23
