1、1,机械优化设计 一次性补考 总复习,2012年6月2日,2,题型（开卷考试）,一、选择题(每小题2分，共20分) 二、填空题(每空2分,共20分) 三、问答题(每小题6分,共30分) 四、计算题(30分) 1 最速下降方向的求解 2 牛顿型法 3 黄金分割法,3,一 设计变量在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。 设计变量必须是独立变量，即：在一个优化设计问题中，任意两个设计变量之间没有函数关系。按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。 小型设计问题：一般含有210个设计变量；中型设计问题：1050个设计变量；大型设计问题
2、：50个以上的设计变量。,第一章 优化设计的基本概念和理论,4,二 设计空间在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个向量集合。可以证明，这个向量集合是一个向量空间，并且是一个欧氏空间。一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空间的维数。三 目标函数优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是设计变量的函数，称为目标函数。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。,5,四 设计约束优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件是设计变量的函数。,约束条件的分类 （1）根据约束的性质分边界约束 直接限定设计变量的取值范围的约束条件
3、，即,性能约束 由方案的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。,i 1,2, ，n,6,u=1,2, ，m,v = 1，2， ，p n,（2）根据约束条件的形式分不等式约束,一个 n 维的优化设计问题中，等式约束的个数必须少于 n 。,显式约束 隐式约束,等式约束,7,*五 可行域 可行域 : 在设计空间中，满足所有约束条件的所构成的空间 。,满足两项约束条件 g1（X）=x12x2216 0 g2（X）2x20 的二维设计问题的可行域D,8,六 优化设计的数学模型,9,七 最优化设计的迭代解法及其收敛条件 1.最优化方法的迭代格式k=0,1,2, ,迭代法要解决的问题：,（1）选择搜索方向
4、 （2）确定步长因子 （3）给定收敛准则,10,2.迭代终止准则,（1）点距准则,或,11,（2）函数值下降量 准则,或,12,（3）目标函数梯度 准则,上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。,采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：,13,八 优化分类及机械优化设计的特点,机械优化设计基本上是非线性的、有约束的最优化问题。,14,求解优化问题的基本解法有：,九、基本解法,解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法 。在目标函数比较简单时，求
5、解还可以。,数值解法：这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。,15,*一、 目标函数的基本性质,1 函数的等值面（线）函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的整体性质的。2 函数的最速下降方向梯度X1 点的最速下降方向为 局部性质,第二章 优化设计的数学基础,16,用Matlab可画出该函数的等直线。,梯度的模：,17,梯度 模：,函数的梯度方向与函数等值面相垂直，也就是和等值面上过x0的一切曲线
6、相垂直。,由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局部性质。,18,*二 函数的近似表达式 f (X) 的近似表达式为,H(X (k) 为Hessian 矩阵,19,四 函数的凸性1. 凸集2. 凸函数如果HESSEN矩阵正定，为凸函数；二次函数,3. 凸规划,凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解；,20,几个常用的梯度公式：,21,*五、优化问题的极值条件,1、无约束优化问题的极值条件,1）F(x)在 处取得极值，其必要条件是:,即在极值点处函数的梯度为n维零向量。,22,2） 处取得极值充分条件,海色（Hessian）矩阵 正定，即各阶主子式
7、均大于零，则X*为极小点。,海色（Hessian）矩阵 负定，即各阶主子式负、正相间，则X*为极大点。,23,1）约束优化设计的最优点在可行域 D 中最优点是一个内点，其最优解条件与无约束优化设计的最优解条件相同；,2、约束优化问题的极值条件,24,2）约束优化设计的最优点在可行域 D 的边界上设 X (k) 点有适时约束,库恩塔克条件 （K-T条件）：,25,库恩塔克条件表明：如点 是函数 的极值点，要么 （此时 ）,要么目标函数的负梯度等于起作用约束梯度的非负线性组合（此时 ）。,库恩塔克条件的几何意义是: 在约束极小值点 处函数 的负梯度一定能表示成所有起使用约束在该点梯度（法向量）的非
8、负线性组合。,26,K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。,对于目标函数和约束函数都是凸函数的情况， 符合K-T条件的点一定是全局最优点。这种情况K-T条件即为多元函数取得约束极值的充分必要条件。,27,一维搜索也称直线搜索。这种方法不仅对于解决一维最优化本身具有实际意义，而且也是解多维最优化问题的重要支柱。（搜索步长求解）,一维搜索方法数值解法分类,第三章 一维搜索的最优化方法,28,1、单谷(峰）区间在给定区间内仅有一个谷值的函数称为单谷数，其区间称为单谷区间。,确定搜索区间的外推法,函数值：“大小大” 图形：“高低
9、高”,29,二、确定初始单谷区间的外推法,基本思想：对f(x)任选一个初始点a1及初始步长h， 通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为 “高低高” 形态。,步骤：,（1）选定初始点a1, 初始步长hh0 0，计算 y1f(a1)，y2f(a1h)。 （2）比较y1和y2。（a）如y1y2, 向右前进；加大步长 h2 h ，转（3）向前；（b）如y1y2, 向左后退；h h0， 将a1与a2，y1与y2的值互换。转（3）向后探测；（c）如y1y2，极小点在a1和a1h之间。,30,(3）产生新的探测点a3，y3f(a3); (4) 比较函数值 y2与y3：
10、（b）如y2y3, 加大步长 h2 h(也可不变) ， a1=a2, a2=a3, 转（3）继续探测。 （a）如y2y3, 则初始区间得到：a=mina1,a3， b=maxa3,a1，函数最小值所在的区间为a， b 。,31,搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。假定在搜索区间内a,b 任取两点a1,b1;,f1f（a1）， f2f（b1）,一维搜索的区间消去方法,32,*一、黄金分割法 1、在寻找一个区间 Xa , Xb ，使函数 f (X)在该区间的极小点 X* Xa , Xb 。2、用黄金分割法在区间 Xa , Xb 中寻找 X* 。 Xa ，X
11、1， X2， Xb 如何消去子区间？ f (X1) f (X2) ，消去X2， Xb，保留Xa， X2 f (X1) f (X2) ，消去Xa， X1，保留X1， Xb,33,第三章 一维搜索的最优化方法,二、一维搜索的插值类方法,牛顿迭代公式：,34,目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。,（1）间接法要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。 （2）直接法不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。,无约束优化问题是：,求n维设计变量,使目标函数,第 四 章 无约束最优化方法,搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。,35
12、,*一、 梯度法,负梯度方向 是函数最速下降方向。梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即k=1,2, ,n,第 四 章 无约束最优化方法,基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。,36,在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。,图4-2 最速下降法的搜索路径,*会证明：,37,方法特点 （1）初始点可任选，每次迭代计算量小，存储量少，程序简短。即使从一个不好的初始点出发，开始的几步迭代，目标函数值下
13、降很快，然后慢慢逼近局部极小点。 （2）任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。,38,二、 牛顿法及其改进,39,牛顿法的迭代公式 阻尼牛顿法的迭代公式牛顿方向,40,方法特点（1） 初始点应选在X*附近，有一定难度；（2） 若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向； （3） 不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。此外，对于二阶不可微的F(X)也不适用。 虽然阻尼牛顿法有上述缺点，但在特定条件下它具有收敛最快的优点，并为其他的算法提供了思路和理论依据。,41,三、 共轭方向法 1、共
14、轭方向 定义： 设 A 为 n n 阶实对称正定矩阵，有一组非零的 n 维向量 d1、 d2 、 dn，若满足diT A dj则称向量系 di ( i=1,2,n ) 对于矩阵 A 共轭。,在n维空间中互相共轭的非零向量的个数不超过n个。,42,2 二次收敛性定义：对于一个 n 维的二次函数若应用某种优化方法，经过有限次（一般不超过 n 次）一维搜索，就能找到极小点，则称该优化方法具有二次收敛性质。定理：共轭方向法具有二次收敛性。,43,3 共轭梯度法,共轭梯度法的基本原理,共轭梯度法是共轭方向法中的一种，该方法中每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来。,44,*4、鲍威尔 (Po
15、well)法 直接法鲍威尔法原理，如何构成共轭方向？！改进的算法。,基本思想：在不用导数的前提下，在迭代中逐次构造G的共轭方向。,45,*四、 单纯形方法,单纯形思想、原理、特点；四种操作：反射、扩张、收缩和缩边。,基本思想单纯形替换法也是一种不使用导数的求解无约束极小化问题的直接搜索方法，与前面几种方法不同的是，单纯形替换法不是利用搜索方向从一个点迭代到另一个更优的点，而是从一个单纯形迭代到另一个更优的单纯形。,46,基本思想变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标。通过尺 度变换可以把函数的偏心程度降到最低限度。,例如在用最速下降法求 的极小,值时 ,需要进行10次迭代才能达到极小点,如作变换,
16、y1=x1, y2=5x2,五、 变尺度法,47,Ak 是需要构造nn的一个对称方阵 ，,如Ak=I, 则得到梯度法 ；,变尺度法的关键在于尺度矩阵Ak的产生 。,搜索方向：,48,表1 无约束优化方法搜索方向之间的相互联系 间接法,49,有约束优化方法,随机方向法 复合形法 可行方向法 惩罚函数法,50,（1）直接法 直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可变容差法和可行方向法。 （2）间接法 间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法等。 约束优化问题间接解法的基本迭代过程,根据求解方式的不同，约束优化设计问题可
17、分为:直接解法、间接解法。,51,第五章 约束优化设计,一、关于设计约束的若干概念可行域 所有满足全部约束条件的点的集合。,52,可行点 可行域中的点，即满足所有约束条件的点。边界点 在可行域边界上的点。若有点 Xk 使得则 Xk 为一个边界点。内点 除边界点以外的所有可行点。若有点 Xk 满足则 Xk 为一个内点。,53,非可行域 可行域以外的区域。非可行点 非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。适时约束 若有点 X k 使某个不等式约束 gu(X) 0 的等号成立，即则称 g i(X) 0 为点 X k 的一个适时约束。等式约束始终是适时约束。,54,*三、 约束优化设计的复合形法对约
18、束优化问题1 确定初始复合形选择 （n+1K2n）顶点，这 k 个顶点必须是可行点。2 确定搜索方向 计算 k 个顶点的函数值，设 记 最坏点 X (1) 为 X (H) 次坏点 X (2) 为 X (SH) 最好点 X (k) 为 X (L),55,求出 X (2)、 X (3)、 X (k-1)、 X (k) 的点集的中心(几何中心) X (S) 以 X (H) 指向 X (S) 的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的点 X (R) 。若 f (X (R) ) f (X (H) ) ，则以 X (R) 代替 X (H) ，构成新的复合形。,56,1）内点法构造惩罚项的方法对于约束优化
19、问题内点法的惩罚函数为,*四、 惩罚函数法,或,1、内点法,57,2）内点法初始点的选择内点法要求初始点 X(0) 是一个内点。3）惩罚因子 r(k) 的选择,58,2、外点 惩罚函数法,外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。,外点惩罚函数的形式为：,r是惩罚因子 ,外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知，当迭代点x 不可行时，惩罚项的值大于0。,59,3、混合法,混合法是用内点法处理不等式约束，用外点法处理等式约束。可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。,混合惩罚函数的形式为：,r是惩罚因子 ,混合法具有内点法的特点，迭代过程在可行域之内进行，参数的选择同内点法。,
