1、http:/ http:/ 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载难点 28 求空间距离空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.难点磁场() 如图，已知 ABCD 是矩形，AB =a,AD=b,PA平面 ABCD，PA=2c,Q 是 PA的中点.求：(1)Q 到 BD 的距离；(2)P 到平面 BQD 的距离.案例探究例 1把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点，点 O 是原正方形的中心，求：(1)EF 的长；(2)折起后EOF 的大小
2、.命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属级题目.知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式.错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直 .技巧与方法：建系方式有多种，其中以 O 点为原点，以 、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向OBCD最为简单.解：如图，以 O 点为原点建立空间直角坐标系 Oxyz,设正方形 ABCD 边长为 a,则A(0， a,0),B( a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0, a, a),F( a, a,0)2224242http:/ 804)2(40),),2,()2( 2
3、3,4320(42(04|1 2 OFEaOFEaaaEFaaEFEOF=120例 2正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，求异面直线 A1C1 与 AB1 间的距离.命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属级题目.知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.错解分析：本题容易错误认为 O1B 是 A1C 与 AB1 的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值
4、法求得.解法一：如图，连结 AC1，在正方体 AC1 中，A 1C1AC,A 1C1平面AB1C， A 1C1 与平面 AB1C 间的距离等于异面直线 A1C1 与 AB1 间的距离.连结 B1D1、BD，设 B1D1A 1C1=O1,BDAC=OACBD，ACDD 1，AC平面 BB1D1D平面 AB1C平面 BB1D1D，连结 B1O，则平面 AB1C平面 BB1D1D=B1O作 O1GB 1O 于 G，则 O1G平面 AB1CO 1G 为直线 A1C1 与平面 AB1C 间的距离，即为异面直线 A1C1 与 AB1 间的距离.在 Rt OO1B1 中，O 1B1= ，OO 1=1，OB
5、1= = 226O 1G= ，即异面直线 A1C1 与 AB1 间距离为 .31 3解法二：如图，在 A1C 上任取一点 M，作 MNAB 1 于 N，作 MRA 1B1 于 R，连结RN，http:/ A1B1C1D1平面 A1ABB1，MR平面 A1ABB1，MRAB 1AB 1RN，设 A1R=x,则 RB1=1xC 1A1B1=AB 1A1=45，MR=x,RN=NB 1= )(2(0x13)(2)1(22 xxRNM )当 x= 时，MN 有最小值 即异面直线 A1C1 与 AB1 距离为 .313锦囊妙记空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)
6、点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 .(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化
7、成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.歼灭难点训练一、选择题1.()正方形 ABCD 边长为 2，E、F 分别是 AB 和 CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角 (如图)，M 为矩形 AEFD 内一点，如果MBE=MBC，MB 和平面 BCF所成角的正切值为 ，那么点 M 到直线 EF 的距离为( )21 21 D. 23C. B.1 2A.2.() 三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1=1，AB =4，BC=3，ABC=90,设平面A1BC1 与平面 ABC 的交线为 l，则 A1C1 与 l 的距离为( )A.
8、B. C.2.6 D.2.40http:/ 如左下图，空间四点 A、B、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于 a，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段 CD 上，则 P 与 Q 的最短距离为 _.4.() 如右上图，ABCD 与 ABEF 均是正方形，如果二面角 EABC 的度数为30，那么 EF 与平面 ABCD 的距离为_.三、解答题5.()在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB =4，BC=3，CC 1=2，如图：(1)求证：平面 A1BC1平面 ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点 B1 到平面 A1BC1 的距离.6.()已知正四棱柱 ABCDA
9、1B1C1D1，点 E 在棱 D1D 上，截面 EACD 1B 且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45,AB=a,求：(1)截面 EAC 的面积；(2)异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离；(3)三棱锥 B1EAC 的体积.7.() 如图，已知三棱柱 A1B1C1ABC 的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 A1A 与 AB、 AC 均成 45角，且 A1EB 1B 于E，A 1FCC 1 于 F.(1)求点 A 到平面 B1BCC1 的距离；(2)当 AA1 多长时，点 A1 到平面 ABC 与平面 B1BCC1 的距离相等.8.()如图，在梯形 ABCD 中，ADBC ，AB
10、C= ,AB= AD=a,231ADC=arccos ,PA面 ABCD 且 PA=a.52http:/ AD 与 PC 间的距离；(2)在线段 AD 上是否存在一点 F，使点 A 到平面 PCF 的距离为 .36参考答案难点磁场解：(1)在矩形 ABCD 中，作 AEBD，E 为垂足连结 QE，QA平面 ABCD，由三垂线定理得 QEBEQE 的长为 Q 到 BD 的距离在矩形 ABCD 中，AB =a,AD=b,AE= 2ba在 Rt QAE 中，QA= PA=c1QE= 22bacQ 到 BD 距离为 .22(2)解法一：平面 BQD 经过线段 PA 的中点，P 到平面 BQD 的距离等
11、于 A 到平面 BQD 的距离在AQE 中，作 AHQE，H 为垂足BDAE,BDQE,BD平面 AQE BD AHAH平面 BQE，即 AH 为 A 到平面 BQD 的距离.在 Rt AQE 中，AQ=c,AE= 2baAH= 22)(cbaP 到平面 BD 的距离为 22)(bac解法二：设点 A 到平面 QBD 的距离为 h，由VABQD=VQABD,得 S BQDh= SABD AQ3131http:/ 22)(bacSAQBD歼灭难点训练一、1.解析：过点 M 作 MM EF,则 MM平面 BCFMBE =MBCBM为EBC 为角平分线，EBM =45,BM = ,从而 MN=22答
12、案：A2.解析：交线 l 过 B 与 AC 平行，作 CDl 于 D，连 C1D，则 C1D 为 A1C1 与 l 的距离，而 CD 等于 AC 上的高，即 CD= ,RtC 1CD 中易求得 C1D= =2.6553答案：C二、3.解析：以 A、 B、 C、 D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、 Q 分别为 AB、CD 的中点，因为 AQ=BQ= a,PQ AB,同理可得 PQCD，故线段2PQ 的长为 P、Q 两点间的最短距离，在 RtAPQ 中，PQ=a2)(23(2 aA答案： a4.解析：显然FAD 是二面角 EABC 的平面角，FAD=30,过 F 作 FG平面AB
13、CD 于 G，则 G 必在 AD 上，由 EF平面 ABCD.FG 为 EF 与平面 ABCD 的距离，即 FG= .2a答案： 2a三、5.(1)证明：由于 BC1AD 1，则 BC1平面 ACD1同理，A 1B平面 ACD1，则平面 A1BC1平面 ACD1(2)解：设两平行平面 A1BC1 与 ACD1 间的距离为 d，则 d 等于 D1 到平面 A1BC1 的距离.易求 A1C1=5， A1B=2 ，BC 1= ，则 cosA1BC1= ,则 sinA1BC1= ,则 S =53652651CB,由于 ，则 S d= BB1,代入求得 d= ,611DCDV1BC)(31 62即两平行
14、平面间的距离为 .62(3)解：由于线段 B1D1 被平面 A1BC1 所平分，则 B1、D 1 到平面 A1BC1 的距离相等，则由(2)知点 B1 到平面 A1BC1 的距离等于 .66.解：(1)连结 DB 交 AC 于 O，连结 EO，http:/ ABCD 是正方形DOAC，又 ED面 ABCDEOAC，即EOD =45又 DO= a，AC= a，EO= =a，S EAC = a245cosDO2(2)A 1A底面 ABCD，A 1AAC ，又 A1AA 1B1A 1A 是异面直线 A1B1 与 AC 间的公垂线又 EOBD 1，O 为 BD 中点，D 1B=2EO=2aD 1D=
15、a，A 1B1 与 AC 距离为 a22(3)连结 B1D 交 D1B 于 P，交 EO 于 Q，推证出 B1D面 EACB 1Q 是三棱锥 B1EAC 的高，得 B1Q= a332431 aaVEAC7.解：(1)BB 1A 1E，CC 1A 1F，BB 1CC 1BB 1平面 A1EF即面 A1EF面 BB1C1C在 Rt A1EB1 中，A 1B1E=45，A 1B1=aA 1E= a,同理 A1F= a,又 EF=a，A 1E= a222同理 A1F= a,又 EF=aEA 1F 为等腰直角三角形，EA 1F=90过 A1 作 A1NEF ，则 N 为 EF 中点，且 A1N平面 BC
16、C1B1即 A1N 为点 A1 到平面 BCC1B1 的距离A 1N= 2a又AA 1面 BCC1B，A 到平面 BCC1B1 的距离为 2aa=2，所求距离为 2(2)设 BC、B 1C1 的中点分别为 D、D 1，连结 AD、DD 1 和 A1D1，则 DD1 必过点 N，易证 ADD1A1 为平行四边形.B 1C1D 1D,B1C1A 1NB 1C1平面 ADD1A1BC平面 ADD1A1得平面 ABC平面 ADD1A1，过 A1 作 A1M平面 ABC，交 AD 于 M，若 A1M=A1N，又A 1AM=A 1D1N，AMA 1=A 1ND1=90AMA 1 A1ND1,AA 1=A1
17、D1= ,即当 AA1= 时满足条件 .338.解：(1)BCAD ,BC 面 PBC,AD面 PBC从而 AD 与 PC 间的距离就是直线 AD 与平面 PBC 间的距离.过 A 作 AEPB，又 AEBChttp:/ PBC，AE 为所求.在等腰直角三角形 PAB 中，PA=AB=aAE= a2(2)作 CMAB，由已知 cosADC= 52tanADC= ,即 CM= DM21ABCM 为正方形，AC= a,PC= a23过 A 作 AHPC,在 RtPAC 中，得 AH= 6下面在 AD 上找一点 F，使 PCCF取 MD 中点 F，ACM、FCM 均为等腰直角三角形ACM+ FCM=45+45 =90FCAC,即 FCPC在 AD 上存在满足条件的点 F.http:/
