1、第一章 行列式,线性代数,线性代数,第一章 行列式,12,13,11 全排列、逆序数与对换,2,第一章 行列式,14,15,线性代数,第一节 全排列、逆序数与对换,二、三阶行列式,三、小结、思考题,一、引例,3,第一章 行列式,线性代数,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,这个问题相当于把三个数字分别放在百位、十位、与个位上，有几种不同的方法？,4,第一章 行列式,线性代数,把 3 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？,对于 n 个不同的元
2、素，也可以提出类似的问题。,5,第一章 行列式,线性代数,定义,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（也简称排列）.,6,第一章 行列式,线性代数,7,第一章 行列式,线性代数,对于n 个不同的元素，若规定各元素之间有一个标准次序, 通常对n 个不同的自然数，我们选定1，2，3， n，即按由小到大排列起来的排列叫标准排列.,定义,在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序.,一个排列中所有逆序的总数称此排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列
3、称为偶排列.,8,第一章 行列式,线性代数,下面来讨论计算排列的逆序数的方法,9,第一章 行列式,线性代数,例1 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,5是最大数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,于是排列32514的逆序数为,10,第一章 行列式,线性代数,定义,把一个排列中任意两个元素的位置互换，而其余的元素不动，就得到另一个排列，这样一个变换叫做对换,将相邻两个元素对换，叫做相邻对换,经过1，2对换，排列 2431 就变成了 1432；,
4、例如，,排列 2134 就变成了 1234。,11,第一章 行列式,线性代数,定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性,证明,先证相邻对换的情形，设排列为,显然，在排列（1）中，a ,b与其它元素构成逆序，,12,第一章 行列式,线性代数,则在排列（2）中仍然构成逆序，,如不构成逆序则在（2）中也不构成逆序；,因此，对于相邻对换的情形，定理是对的。,如果原来 a ,b 组成逆序，那么经过对换，逆序数就减少一个；,如果原来 a ,b 不组成逆序，那么经过换，逆序数就增加一个.,无论是增加 1还是减少 1，排列的逆序数的奇偶性总是变了.,13,第一章 行列式,线性代数,不同的只是 a ,b 的次序。,经过对换 ，,再证一般对换的情形,设排列为,排列（3）变为,不难看出，这样一个对换可以经过一系列相邻对换来实现。,14,第一章 行列式,线性代数,2m+1 是奇数，相邻对换改变排列的奇偶性， 故这两个排列的奇偶性相反.,15,第一章 行列式,线性代数,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，,证明,由定理1知对换的次数就是排列 奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此，知推论成立.,16,第一章 行列式,线性代数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,
