1、外载约束,边界条件,静力学,动力学,平衡方程,几何方程,本构方程,边界条件及初始条件,运动方程,几何方程,本构方程,力学分析,几何分析,物理关系,求 解,解析方法,数值方法,相互支撑,第三章：弹性和粘性本构关系 主讲：侯鹏飞,固体力学基础：傅衣铭、熊慧而编著，中国科学文化出版社，2003年 7月。,湖南大学工程力学系,柯西弹性和超弹性,线性弹性,各向同性线性弹性,线性粘弹性,重点：线性弹性和各向同性线性弹性。,了解：柯西弹性和超弹性和线性粘弹性。,定位：基础理论部分，属课程学习的重点之一。,柯西弹性和超弹性,线性弹性,各向同性线性弹性,线性粘弹性,3.1 柯西弹性和超弹性,柯西弹性 (应力和应
2、变一一对应),超弹性 （不但一一对应，且有势函。如应变比能w ）,线弹性 （Eijkl =常数 ）,弹性类别,弹性系数,独立的弹性系数,36,21,21,3.1.1 柯西弹性和超弹性,概念：,物理线性（Eijkl =常数 ）,物理非线性（Eijkl 常数 ）,柯西弹性和超弹性,线性弹性,各向同性线性弹性,线性粘弹性,3.1.2 线性弹性材料的本构方程,111 222 333 234 315 126,直角坐标系下（广义胡克定理）：式(3-16) 和(3-18),几种特殊情况下的广义胡克定律,分类,广义胡克定律,独立的弹性常数,有一个弹性对称平面,正交各向异性 （有三个弹性对称平面 ）,横观各向同
3、性 （有一个弹性对称轴 ）,各向同性,式(3-19),式(3-20),式(3-21),式(3-22),13,9,5,2,一般线弹性,式(3-16、18),21,柯西弹性和超弹性,线性弹性,各向同性线性弹性,线性粘弹性,3.2 各向同性线性弹性材料的本构关系,扬氏模量： E,剪切模量：,泊松比： ,拉梅常数：,体积应变：,本构方程：式(3-22)或(3-29),球量和偏量的本构方程：式(3-32),体积弹性模量：,五个弹性常数： E、G、K，只有两个独立。,相关性见表3-1。,胡克定理的应用,思想：应力和应变须满足胡克定理,例题：如图所示钢制圆柱，其直径为d，外面套有一厚度为t的钢制圆筒（圆柱和
4、圆筒间无摩擦），沿圆柱轴向施加均匀压力q，求刚柱内的应力（E、已知）。,解：建立直角坐标如图，分别分析圆柱和圆筒的应力和应变状态。,x,y,O,x,z,O,对圆柱内的任意一点，有：,(1),(2),式(1-2)代入胡克定理,(3),有,(4),(5),对圆筒内表面上的一点 A：,对于应力，利用圆柱和圆筒在接触面上的作用与反作用关系，以及应力边界条件方程可以得到,(6),进一步利用截面法，可以得到,(7),此外，易得到,(8),对于应变，利用圆柱和圆筒在接触面上的变形协调关系，可以得到,A,(9),此外，2x和2z未知。式(6-9)代入胡克定理，有,(10),(11),(12),联列式(4、5、
5、10、11、12)，可以得到应力和应变场，其中刚柱内的应力场为,(13),讨论：,（1）如果外筒为刚性筒，怎么办？,（2）如果是立方体外套刚性筒，怎么办？,（3）如果均匀压力q变成集中力P，有什么变化？,（4）对于情况,有何感想！,课后作业：P100：3-1、3-3,下周三上课时交。,柯西弹性和超弹性,线性弹性,各向同性线性弹性,线性粘弹性,3.5 、3.6 线性粘弹性材料的微分型本构关系,弹性元件,粘性元件,麦克斯韦模型,开尔文模型,伯格斯模型,广义麦克斯韦模型,广义开尔文模型,三维化,3.7 线性粘弹性材料的积分型本构关系,有较大灵活性，便于考虑材料老化和温度影响等因素,3.8 弹性-粘弹性相应原理,利用拉普拉斯积分的正逆变换，线性粘弹性问题的解可以由对应的线弹性问题的解变换得到。,本构关系小结（由厚到薄）,1. 思想：看线路图回忆查漏。,2. 需要记忆的公式,2.1. 各向同性线性弹性本构方程及其中的物理常数G、K 与 E、的关系式；,3. 需要能熟练使用的部分。,各向同性线性弹性本构方程。,2.2. 球量和偏量的本构方程。,柯西弹性和超弹性,线性弹性,各向同性线性弹性,线性粘弹性,
