1、第五章,系统的稳定性,前面课程已经解决的问题,控制系统的建模问题 微分方程 传递函数 频率特性 控制系统的分析问题 暂态响应特性分析“快速性”的问题 稳态响应特性分析“准确性”的问题 本章：稳定性能分析,本章的主要内容,5.1 系统稳定性的概念 5.2 Routh（劳斯）稳定判据 5.3 Nyquist稳定判据 5.4 Bode稳定判据 5.5 系统的相对稳定性,5.1 稳定性（Stability） 的基本概念,两个直观的例子：,a：稳定的（平衡点）：在扰动力作用下，暂时偏离，扰动力消失后，经过一段有限时间，摆又回到这一平衡点。 d：不稳定的（平衡点）：在微小扰动下，一旦偏离平衡位置，则无论怎
2、样，再也回不到原来位置。,a点：稳定的（平衡点），有条件：要求起始偏差不超出d、e区域。 b、c：不稳定的（平衡点）。,5.1.1 “稳定”的定义,若系统在初始偏差作用下，其过渡过程随时间的推移,逐渐衰减并趋于零，具有恢复平衡状态的性能，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。反之为不稳定。 控制理论中所讨论的稳定性都是指自由振荡下的稳定性，也就是说，输入为零，系统仅存在初始偏差不为零时的稳定性。 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数，而与外作用及初始条件无关，是系统的固有特性。,运动稳定性的严密数学定义，首先由俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）于1892年建立，这里不做全面介绍。,不稳定的
3、/发散的,稳定的/收敛的,反馈控制系统,临界稳定等幅振荡,绝对稳定性和相对稳定性,系统的绝对稳定性：系统是否满足稳定（或不稳定）的条件，即充要条件。 系统的相对稳定性：稳定系统的稳定程度。,t,t,相对稳定性好,相对稳定性差,造成自动控制系统不稳定的物理原因,在自动控制系统中，造成系统不稳定的物理原因主要是： 系统中存在惯性或延迟环节（例如机械惯性、电动机电路的电磁惯性、液压缸液压传递中的惯性、晶闸管开通的延迟，齿轮的间隙等），它们使系统中的输出信号在时间上较输入滞后了 时间。 当系统有反馈环节时，又将这种在时间上滞后的信号反馈到输入端。,y(t),当滞后的相位过大，或系统放大倍数不适当(例如
4、过大)，使正反馈作用成为主导作用时，系统便会形成振荡而不稳定了。,y(t),5.1.2 系统稳定的充要条件,如果我们分析了影响系统稳定性的物理原因，可以明确改善系统稳定性的方向。 但系统中的参数（或结构）究竟应取怎样的数值（或结构），才能满足系统稳定性的要求，仅用定性分析是解决不了的。必须应用数学方法来研究系统的稳定性。 在应用数学方法研究系统的稳定性时，首先要研究稳定性和数学模型之间的关系。,其解便是扰动作用过后 系统的运动过程。若解 是收敛的，则系统是稳 定的，若解是发散的， 则系统是不稳定的。,先研究简单情形：,通常，特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只
5、要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。,特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。因此判定系统稳定与否就变成求解系统特征方程根的问题（一般是高次代数方程根的问题）。,系统稳定的必要和充分条件,代数判据 Routh（劳斯）判据 Hurwitz（古尔维茨）判据 几何判据 Nyquist判据 Bode判据,经典控制论中，系统稳定性判据,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,不求解特征方程的根,直接根据特征方程的系数，判断系统的稳定性，回避了求解高次方程根的困难。 系统稳定的必要条件：特征方程中所有项的系数均大于0，只要有一项等于或小于0，则为不稳定系统。 充分必要条件：
6、Routh表第一列元素均大于0。,Routh稳定判据,要使全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件： 特征方程的各项系数都不等于0。 特征方程各项系数符号相同。 可归结为一个必要条件：特征方程各项系数必须大于0。,必要条件证明,系统稳定的充要条件：劳斯表中第一列元素全部大于0。若出现小于0的元素，则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。,系统稳定的充要条件 Routh判据的完整表述,Routh表的列写方法,【结论】：闭环系统不稳定，有两个正实部的根。,【情况1】:Routh表中某一行的第一个元素为0，其它各元素不全为0。,两种特殊情况,这时可用任意小的正数代替某一
7、行第一个为0的元素。然后继续Routh表计算并判断。,【结论】：系统不稳定，并有两个正实部根。,【情况2】:劳斯表中第k行元素全为0,这说明系统的特征根： 或存在两个符号相异,绝对值相同的实根； 或存在一对共轭纯虚根； 或存在实部符号相异,虚部数值相同的复根； 或上述类型的根兼而有之。,此时系统必然不是稳定的。在这种情况下,可作如下处理。(1) 用k-1行元素构成辅助方程.(2) 将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素，继续完成Routh表。,【结论】：系统临界稳定。,上节课内容回顾：,稳定性的基本概念 系统稳定的充分必要条件 Routh判据： 必要条件：特征方程的各项系数大于零； 充分必
8、要条件：Routh表第一列元素大于零。,5.3 Nyquist稳定判据,判据的内容 使用方法,Nyquist稳定判据,反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z=P-2N，式中，P为s右半平面开环极点数，N为开环Nyquist曲线逆时针包围(-1 ,j0) 点的圈数，且有N=N+N- 其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。 其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。 数学依据：幅角原理 特点：由开环特性判断系统的闭环稳定性。,正穿越和半次正穿越,正穿越：随着的增大，开环Nyquist曲线逆时针穿越实轴区间(- , -1) 。 半次正穿越：逆时针方向离开（或中止于）实轴区间(- , -1) 。,正
9、穿越,(-1,j0),半次正穿越,负穿越和半次负穿越,负穿越：随着的增大，开环Nyquist曲线顺时针穿越实轴区间(- , -1) 。 半次负穿越：顺时针方向离开或中止于实轴区间(- , -1) 。,(-1,j0),负穿越,(-1,j0),半次负穿越,补充,若开环传递函数有积分环节，开环Nyquist 曲线在=0时，幅值无穷大，而相角为 。判断稳定性要求=0开始逆时针补半径为无穷大，角度为 的虚线圆弧。 在计算正、负穿越次数时，应将补上的虚线圆弧作为Nyquist 曲线的一部分。,(-1,j0),负穿越,(-1,j0),半次负穿越,例,(-1,j0),闭环系统稳定,(10,j0),例,闭环系统
10、不稳定，有两个右半平面根,例,闭环系统不稳定，有两个右半平面根,例,闭环系统不稳定，有一个右半平面根,5.4 Bode稳定判据,5.4.1 Nyquist图与Bode图的对应关系,Nyquist图：单位圆 Bode图：0dB线(横轴)；|G(j)H(j)|=1，20lg |G(j)H(j)|=0 Nyquist图：负实轴 Bode图：-180线；G(j)H(j)= -180 Nyquist曲线与单位圆交点的频率： Bode图对数幅频曲线与横轴交点的频率，称为“幅值穿越频率”（也叫“截止频率”）。记作：C Nyquist曲线与负实轴交点的频率： Bode图对数相频曲线与-180线交点的频率，称为
11、“相位穿越频率”。记作：g,截止频率C与相位穿越频率g,L(),-180,0,5.4.2 Bode稳定判据,反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z=P-2N，式中，P为s右半平面开环极点数，N为开环对数幅频特性在L()0的所有频率范围内，对数相频曲线穿越-180线的次数和，且有N=N+N- 其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。 其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。,同样，是一种用开环特性判断闭环稳定性的方法。,正穿越和半次正穿越,正穿越：对数相频特性由下而上穿越-180线。 负穿越：对数相频特性由上而下穿越-180线。 半次正穿越：自-180线开始向上。 半次负穿越：自-180线开始
12、向下。,半次正穿越,-180,0,-180,0,半次负穿越,补充,若开环传递函数有积分环节，在对数相频曲线=0+处由下向上补画一条虚线，该曲线通过的相角为：,0.1,0.2,1,2,10,20,100,0dB,20dB,40dB,-20dB,dB,0,L(),180,90,0.1,0.2,1,2,10,20,100,0dB,20dB,40dB,-20dB,dB,0,L(),180,90,（）,5.5 系统的相对稳定性,“相对稳定性”的概念,经典控制论当中，描述相对稳定性的指标：稳定裕度（Stability Margin）,(-1,j0),(-1,j0),稳定裕度的定义,稳定裕度包括幅值裕度和相
13、位裕度。 系统的幅值裕度定义为：开环幅相曲线上，相位为180这一频率g所对应幅值的倒数，即：h的分贝值表示为： 相位裕度定义为： 180加截止频率c所对应的相位角，即：,幅值裕度h与相位裕度,幅值裕度h的含义,幅值裕度的含义：如果系统开环传递函数的系数（增益）增大到原来的h倍，则系统就处于临界稳定状态。,再次说明了？,相位裕度的含义,相位裕度的含义：如果系统对截止频率信号C的相位角迟后再增大度，则系统处于临界稳定状态。,稳定裕度在Bode图上的表示,符号约定： 幅值裕度： Kg(dB)在零分贝线以下为正 Kg(dB)在零分贝线以上为负 相位裕度： 在180线以上为正 在180线以下为负,Kg,稳定裕度与稳定性的关系,对于最小相位系统： G(j)H(j)具有正的幅值裕度与相位裕度时，闭环系统是稳定的；G(j)H(j)具有负的幅值裕度与相位裕度时，闭环系统是不稳定的；,工程当中，对稳定裕度的一般要求,
