1、第十二章 试验设计,下一张,主 页,退 出,上一张,*正交设计,在试验研究中，对于单因素或两因素试验，因其因素少 ，试验的设计 、实施与分析都比较简单 。但在实际工作中 ，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素 ，若进行全面试验 ，则试验的规模将很大 ，往往因试验条件的限制而难于实施 。正 交设计就是安排多因素试验 、寻求最优水平组合 的一种高效率试验设计方法。,下一张,主 页,退 出,上一张,一、正交设计的概念及原理 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它利用从试验的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果
2、的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。,下一张,主 页,退 出,上一张,例如，影响某品种鸡的生产性能有3个因素：A因素是饲料配方，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是光照，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是温度，设C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验 ，各因素的水平之间全部可能的组合有27种 。如果试验方案包含各因素的全部水平组合 ，即进行全面试验，可以分析各因素的效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合。这是全面试验的优点 。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大 ，由于受试验场地、试验动物、经费等限制而难于实施 。若试验的主要目的是 寻 求 最 优水平组合
3、，则 可利用正交 设,计来安排试验。,正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验，它 不 可 能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合 ，因 而 很 受实际工作者青睐。,下一张,主 页,退 出,上一张,如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。(二) 正交设计的基
4、本原理 在试验安排中 ，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格 ，如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。如上例中，3个因素的选优区可以用一个立方体表示(图12-2)，3个因素各取 3个水平，把立方体划分成27个格点，反映在 图12-2上就是立方体内的27个“.”。若27个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如表12-20所示。,下一张,主 页,退 出,上一张,3 因 素 3 水 平 的 全 面试验水平组合数为33=27，4 因素3水平的全面试验水平组合数为34=81 ，5因素3水平的全面试验水平组合数为35=243，这在动物试验中是不可能做到的。,下一张,主 页,退 出
5、,上一张,正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。图12-2中标有试验号的九个“()”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即： (1)A1B1C1 (2)A2B1C2 (3)A3B1C3 (4)A1B2C2 (5)A2B2C3 (6)A3B2C1 (7)A1B3C3 (8)A2B3C1 (9)A3B3C2,下一张,主 页,退 出,上一张,上述选择 ，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次 。对于A、B、C 3个因素来说 ， 是在27个全面试验点中选择9个试验点 ，仅 是全面试验的 三
6、分之一。从图12-2中可以看到 ，9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上 ，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强的代表性 ， 能 够比较全面地反映选优区内的基本情况。,下一张,主 页,退 出,上一张,二、正交表及其特性(一) 正交表 由于正交设计安排试验和分析试验结果都要 用 正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。表12-20是一张正交表，记号为L8(27)，其中“L”代表正交表；L右下角的数字“8”表示有8行 ，用这张正交表安排试验包含8个处理(水平组合) ；括号内的底数“2” 表示因素的水平数，括号内2的指数“7
7、”表示有7列 ，用这张正交表最多可以安排7个2水平因素。,下一张,主 页,退 出,上一张,下一张,主 页,退 出,上一张,常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交设计时选用。2水平正交表除L8(27)外，还有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)等（详见附表14及有关参考书）。(二) 正交表的特性 任何一张正交表都有如下两个特性：1、任一列中，不同数字出现的次数相等例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次 。,下一张,主 页,退 出,上一张,2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次
8、数相等 例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。,下一张,主 页,退 出,上一张,根据以上两个特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的 。 由 图12-2可以看出，在立方体中 ，任一平
9、面内都包含 3 个“()”， 任一直线上都包含1个“()” ，因此 ，这些点代表性强 ，能够较好地反映全面试验的情况。,下一张,主 页,退 出,上一张,整齐可比是指 每 一个因素的各水平间 具 有可 比性。因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平 ，当比较某因素不 同 水平时，其它 因素 的 效 应 都 彼 此 抵消。如在A、B、C 3个因素中，A因素的3个水平 A1、A2、A3 条件下各有 B 、C 的 3 个不同水平，即：,在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的
10、效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有可比性。,下一张,主 页,退 出,上一张,(三) 正交表的类别1、相同水平正交表 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为2，称为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称为3水平正交表。2、混合水平正交表 各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。如L8(424)表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2。也就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素。再如L16
11、(4423)，L16(4212)等都混合水平正交表。,下一张,主 页,退 出,上一张,三、正交设计方法【例12.7】 在进行矿物质元素对架子猪补饲试验中，考察补饲配方、用量、食盐3个因素，每个因素都有3个水平。试安排一个正交试验方案。 正交设计一般有以下几个步骤： (一) 确定因素和水平 影响试验结果的因素很多，我们不可能把所有影响因素通过一次试验都予以研究，只能根据以往的经验，挑选和确定若干对试验指标影响最大、有较大经济意义而又了解不够清楚的因素来研究。同时还应根据实际经验和专业知识，定出各因素适宜的水平，列出因素水平表。【例12.7】的因素水平表如表12-22所示。,下一张,主 页,退 出
12、,上一张,(二) 选用合适的正交表 确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素，又要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。,此例有3个3水平因素，若不考察交互作用，则各因素自由度之和为因素数个数(水平数-1)=3(3-1)=
13、6，小于L9(34)总自由度9-1=8，故可以选用L9(34)；若要考察交互作用，则应选用L27(313)，此时所安排的试验方案实际上是全面试验方案。,下一张,主 页,退 出,上一张,(三) 表头设计 所谓表头设计，就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上。在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按该正交表的交互作用列表安排 各 因 素与交互作用。此例不考察交互作用，可将矿物质元素补饲配方(A)、用量(B)和食盐 (C)依次安排在L9(34)的第1、2、3列上，第 4 列 为空列，见表12-23。,(四) 列出试验方案 把正交表中安排各因素的
14、每个列(不包含欲考察的交互作用列)中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验方案。表12-23就是例12.4 的正交试验方案。,下一张,主 页,退 出,上一张,根据表12-23，1 号试验处理是 A1B1C1，即配 方I、用量15g、食盐为0；2号试验处理是A1B2C2，即配方II 、 用 量 25g 、食 盐 为 4g， ；9号试验处理为A3B3C2，即配方III、用量20g、食盐4g。,下一张,主 页,退 出,上一张,四、正交试验结果的统计分析 若各号试验处理都只有一个观测值，则称之为单独观测值正交试验；若各号试验处理都有两个或两个以上观测值，则称之为有重复观测值正交试验。下
15、面分别介绍单独观测值和有重复观测正交试验结果的方差分析。,下一张,主 页,退 出,上一张,(一) 单独观测值正交试验结果的方差分析 对【例12.7】用L9(34)安排试验方案后，各号试验只进行一次，试验结果(增重)列于表12-24。试对其进行方差分析。该次试验的9个观测值总变异由A因素、B因素、C因素及误差变异四部分组成，因而进行方差分析时平方和与自由度的划分式为：SST = SSA+SSB+SSC+SSedfT = dfA + dfB + dfC + dfe (12-6),下一张,主 页,退 出,上一张,用n表示试验(处理)号数；a、b、c表示A、B、C因素各水平重复数；ka、kb、kc表示
16、A、B、C因素的水平数。本例，n=9、a=b=c=3、 ka=kb=kc=3。,下一张,主 页,退 出,上一张,表12-24中，Ti为各因素同一水平试验指标（增重）之和。如 A因素第1水平T1=y1+y2+y3=63.4+68.9+64.9=197.2，A因素第2水平T2=y4+y5+y6=64.3+70.2+65.8=200.3，A因素第3水平T3=y7+y8+y9=71.4+69.5+73.7=214.6；,下一张,主 页,退 出,上一张,B因素第1水平 T1=y1+y4+y7=63.4+64.3+71.4=199.1， B因素第3水平 T3=y3+y6+y9=64.9+65.8+73.7
17、=204.4。 同理可求得C因素各水平试验指标之和。,为各因素同一水平试验指标的平均数。如A因素第1水平 =197.2/3=65.7333，A因素第2水平 =200.3/3=66.7667，A因素第3水平=214.6/3=71.5333。同理可求得B、C因素各水平试验指标的平均数。,下一张,主 页,退 出,上一张,1、计算各项平方和与自由度矫正数 C = T2/n = 612.12/9 = 41629.6011总平方和 SST =y2-C=63.42+68.92+73.72 - 41629.6011=101.2489,A因素平方和 SSA= /a-C =(197.22+200.32+214.6
18、2)/3 41629.6011=57.4289,B因素平方和 SSB = /b-C=(199.12+208.62+204.42)/3 -,41629.6011 =15.1089,C因素平方和 SSC=T2C/c-C=(198.72+206.92+206.52)/3 误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC=101.2489-57.4289-15.1089 -,下一张,主 页,退 出,上一张,41629.6011 =14.2489,14.2489 =14.4622,总自由度 dfT =n-1=9-1=8A因素自由度 dfA =ka-1=3-1=2B因素自由度 dfB =kb-1=3-1
19、=2C因素自由度 dfC =kc-1=3-1=2误差自由度 dfe = dfT-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2 = 2,2、列出方差分析表，进行F检验,下一张,主 页,退 出,上一张,F 检验结果表明，三个因素对增重的影响都不显著。究其原因可能是本例试验误差大且误差自由度小(仅为2)，使检验的灵敏度低，从而掩盖了考察因素的显著性。由于各因素对增重影响都不显著，不必再进行各因素水平间的多重比较。此时，可直观地从表12-17中选择平均数大的水平A3、B3、C2组合成最优水平组合A3B3C2。,下一张,主 页,退 出,上一张,上述无重复正交试验结果的方差分析，其误差是由“空列”来估计的。
20、然而“空列”并不空，实际上是被未考察的交互作用所占据。这种误差既包含试验误差，也包含交互作用，称为模型误差。若交互作用不存在，用模型误差估计试验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模型误差会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性。这时，试验误差应通过重复试验值来估计。所以，进行正交试验最好能有二次以上的重复。正交试验的重复，可采用完全随机或随机单位组设计。,下一张,主 页,退 出,上一张,(二) 有重复观测值正交试验结果的方差分析【例12.7】试验重复了两次，且重复采用随机单位组设计，试验结果列于表12-26。试对其进行方差分析。用n表示试验(处理)号数，r表示试验处理的重复数。a、b、c
21、、ka、kb、kc的意义同上。此例n=9、r=2、a=b=c=3、ka=kb=dc=3。,下一张,主 页,退 出,上一张,下一张,主 页,退 出,上一张,对于有重复、且重复采用随机单位组设计的正交试验，总变异可以划分为处理间、单位组间和误差变异三部分，而处理间变异可进一步划分为A因素、B因素、C因素与模型误差变异四部分。此时，平方和与自由度划分式为：SST=SSt+SSr+SSe2dfT = dft + dfr + dfe2而 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1dft = dfA + dfB + dfC + dfe1于是 SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2 dfT
22、 = dfA + dfB + dfC + dfr + dfe1 + dfe2 (12-7),下一张,主 页,退 出,上一张,式中：SSr为单位组间平方和；SSe1为模型误差平方和；SSe2为试验误差平方和；SSt为处理间平方和；dfr、dfe1、dfe2 、dft为相应自由度。注意，对于重复采用完全随机设计的正交试验，在平方和与自由度划分式中无SSr、dfr项。1、计算各项平方和与自由度矫正数 C =T2/ r n = 1347.42/29=100860.3756,下一张,主 页,退 出,上一张,总平方和 SST=y2-C=63.42+68.92+92.82 - 100860.3756 =19
23、78.5444单位组间平方和 SSr=T2r/n-C=(612.12+735.32)/9 - 100860.3756=843.2355,处理间平方和 SSt = T2t / r - C = (130.82+156.12+166.52)/2 -100860.3756= 819.6244A因素平方和 SSA = T2A / ar - C= (418.12+441.72+487.62)/32 -100860.3756= 416.3344,B因素平方和 SSB =T2B / br - C=(411.82+475.52+430.12)/32 -100860.3756=185.2077C因素平方和 SSC
24、 = T2C / cr - C= (423.92+473.22+450.32)/32 -100860.3756= 202.8811,模型误差平方和 SSe1 = SSt SSA SSB - SSC=819.6244-416.3344-185.2077 -202.8811=15.2012试验误差平方和 SSe2 =SST SSr - SSt=1978.5444-843.2355 - 819.6244=315.6845,总自由度 dfT=rn-1=29-1=17单位组自由度 dfr=r-1=2-1=1处理自由度 dft=n-1=9-1=8A因素自由度 dfA=ka-1=3-1=2B因素自由度 df
25、B=kb-1=3-1=2C因素自由度 dfC=kc-1=3-1=2,下一张,主 页,退 出,上一张,模型误差自由度 dfe1= dft-dfA-dfB-dfC= 8-2-2-2-2 = 2试验误差自由度 dfe2=dfT-dft =17-1-8 = 8,2、列出方差分析表，进行F检验,下一张,主 页,退 出,上一张,首先检验MSe1与MSe2差异的显著性，若经F检验不显著，则可将其平方和与自由度分别合并，计算出合并的误差均方，进行F检验与多重比较，以提高分析的精度；若F检验显著，说明存在交互作用，二者不能合并，此时只能以MSe2进行F检验与多重比较。本例MSe1/ MSe21，MSe1与MSe
26、2差异不显著，故将误差平方和与自由度分别合并计算出合并的误差均方MSe，即MSe = ( SSe1+ SSe2)/(dfe1+ dfe2)= (15.2012+315.6845)/(2+8) = 33.09并用合并的误差均方MSe进行F检验与多重比较。,下一张,主 页,退 出,上一张,F检验结果表明，矿物质元素配方对架子猪增得有显著影响，另外两个因素作用不显著；二个单位组间差异极显著。3、 A因素各水平平均数的多重比较表12-28 A因素各水平平均数多重比较表(SSR法) 单位：kg,下一张,主 页,退 出,上一张,因为，由dfe=10和k=2, 3, 查得SSR值并计算出LSR值列于表12-
27、30。表12-29 SSR值与LSR值表多重比较结果表明：A因素A3水平的平均数显著或极显著地高于A2、A1；A2与A1间差异不显著。,下一张,主 页,退 出,上一张,此例因模型误差不显著 ，可以认为因素间不存在显著的交互作用。可由 A、B、C因素的最优水平组合成最优水平组合。A因素的最优水平为A3；因为B、C因素水平间差异均不显著，故可任选一水平。如B、C因素选择使增重达较高水平的B2及C2 ，则得最优水平组合为A3B2C2，即配方III、用量25克、食盐4克。若模型误差显著，表明因素间交互作用显著，则应进一步试验，以分析因素间的交互作用。,下一张,主 页,退 出,上一张,五、因素间有交互作
28、用的正交设计与分析在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作用。对于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设计，除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外，其它基本相同。【例12.8】 某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、C 3种成分组成，各有两个水平，除考察A、B、C三个因素的主效外，还考察A与B、B与C的交互作用。试安排一个正交试验方案并进行结果分析。,下一张,主 页,退 出,上一张,(一) 选用正交表，作表头设计 由于本试验有3个两水平的因素和两个交互作用需要考察，各项自由度之和为：3(2-1)+2(2-1)(2-1)=5，因此可选用L8(27)来安排试验方案。正交表L8(27)中有基本列
29、和交互列之分，基本列就是各因素所占的列，交互列则为两因素交互作用所占的列。可利用L8(27)二列间交互作用列表(见表12-30)来安排各因素和交互作用。,下一张,主 页,退 出,上一张,下一张,主 页,退 出,上一张,如果将A因素放在第1列 ，B 因素 放在第 2列，查表12-30可知，第1列与第2列的交互作用列是第3列 ，于是将 A与B 的交互作用 AB放在第3列。这样第3列不能再安排其它因素 ，以免出现“混杂”。然后将C放在第4列， 查表 12-30 可知，BC应放在第6列，余下列为空列 ，如此可得表头设计，见表12-31。,下一张,主 页,退 出,上一张,(二) 列出试验方案 根据表头设
30、计，将A、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平，得出试验方案列于表12-32。,下一张,主 页,退 出,上一张,下一张,主 页,退 出,上一张,(三) 结果分析 按表12-33所列的试验方案进行试验，其结果见表12-34。表中Ti、 计算方法同前。此例为单独观测值正交试验，总变异划分为A因素、B因素、C因素、AB、BC、与误差变异5部分，平方和与自由度划分式为： SST=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSBC+SSedfT = dfA + dfB + dfC +dfAB + dfBC + dfe (12-8),下一张,主 页,退 出,上一张,1、计算各项平方和与自由度矫正
31、数 C=T2/n=6652/8=55278.1250,总平方和 SST=y2-C=552+382+612 -55278.1250 =6742.8750 A因素平方和 SSA=T2A/a-C=(2792+3862)/4-55278.1250=1431.1250,B因素平方和 SSB=T2B/b-C=(3392+3262)/4-55278.1250=21.1250C因素平方和 SSC=T2C/c-C=(3532+3122)/4-55278.1250=210.1250AB平方和SSAB=T2AB/4-C=(2332+4322)/4 -55278.1250=4950.1250,下一张,主 页,退 出,
32、上一张,BC平方和 SSBC =T2BC /4 - C= (3272+3382)/4 - 55278.1250= 15.1250误差平方和 SSe = SST-SSA-SSB-SSAB-SSBC= 6742.8750-1431.1250-21.1250-210.1250-4950.1250-15.1250=115.2500,下一张,主 页,退 出,上一张,总自由度 dfT=n-1=8-1=7 各因素自由度 dfA=dfB=dfC=2-1=1 交互作用自由度 dfAB=dfBC=(2-1)(2-1)=1 误差自由度 dfe=dfT-dfA-dfC-dfAB -dfBC=7-1-1-1-1-1=2
33、,下一张,主 页,退 出,上一张,*试验结果以对照为100计。,2、列出方差分析表，进行F检验,下一张,主 页,退 出,上一张,F检验结果表明：A因素和交互作用AB显著，B、C因素及BC交互作用不显著。因交互作用AB显著，应对A与B的水平组合进行多重比较，以选出A与B的最优水平组合。3、A与B各水平组合的多重比较先计算出A与B各水平组合的平均数：A1B1水平组合的平均数=(55+38)/2=46.50A1B2水平组合的平均数=(97+89)/2=93.00A2B1水平组合的平均数=(122+124)/2=123.00A2B2水平组合的平均数=(79+61)/2=70.00,下一张,主 页,退
34、出,上一张,列出A、B因素各水平组合平均数多重比较表，见表12-35。,下一张,主 页,退 出,上一张,因为 由dfe=2与k=2, 3, 4, 查临界q值，并计算,出LSR值，见表12-36。,多重比较结果表明，A2B1显著优于A2B2，A1B1；A1B2显著优于A1B1，其余差异不显著。最优水平组合为A2B1。从以上分析可知，A因素取A2，B因素取B1，若C因素取C1，则本次试验结果的最优水平组合为A2B1C1。,下一张,主 页,退 出,上一张,注意，此例因dfe=2，F检验与多重比较的灵敏度低。为了提高检验的灵敏度，可将F1的SSB、dfB，SSBC、dfBC合并到SSe、dfe中，得合并的误差均方，再用合并误差均方进行F检验与多重比较。这一工作留给读者完成。,下一张,主 页,退 出,上一张,
