1、正弦函数图像与性质,正弦函数图像的作出,以上我们作出了y=sinx，x0，2的图象，因为sin(2k+x)=sinx (kZ)，所以正弦函数y=sinx在x2，0，x2，4，x4，6时的图象与x0，2时的形状完全一样，只是位置不同。,现在把上述图象沿着x轴平移2，4，就得到y=sinx，xR的图象。 叫做正弦曲线,正弦函数y=sinx，xR，的图象叫做正弦曲线,例1 用五点法作下列函数的简图 (1) y=sinx，x0，2， (2) y=1+sinx，x0，2，,(1),(2) y=1+sinx (x0, 2 ),例2 利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：,正弦函数y=sinx性质,
2、(1)定义域：,y=sinx的定义域是实数集R,(2)值域:正弦函数的值域是1，1.,当且仅当x 2k，kZ时，正弦函数取得最大值1；,当且仅当x 2k，kZ时，正弦函数取得最小值1,(3) 周期性:,由sin(x2k)sinx (kZ)知：正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的这种性质称为三角函数的周期性。,正弦函数y=sinx性质,对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任意x，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。,对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
3、（有些周期函数没有最小正周期）.,注意： (1) 周期函数中，x定义域M，则必有x+TM, 且若T0，则定义域无上界；T0则定义域无下界；,(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+T)f (x0)）；,(3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2k都是周期,最小正周期是2.）,(4) 奇偶性:,由sin(x)sinx,可知：ysinx为奇函数, 因此正弦曲线关于原点O对称.,(5)单调性,例3：设sinx=t3，xR，求t的取值范围。,解：因为1sinx1,所以1t31,由此解得2t4.,解：,(1) 令w2x，那么xR得ZR，且使函数ysinw，w
4、R，取得最大值的集合是ww 2k，kZ,由2xw 2k，,得x k.,即 使函数ysin2x，xR取得最大值的x的集合是xx k，kZ,函数ysin2x，xR的最大值是1.,(2) 当3x+ =2k+ 即 x= (kZ)时, y的最大值为0.,例5：求下列三角函数的周期： y=sin(x+ )； (2) y=3sin( + ) (3) y=|sinx|,解： (1) 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz,即：f (2+z)=f (z) ,f (x+2)+ =f (x+ ),函数的周期T=2 .,(2) y=3sin( ),解：令z= ， 则,f (x)=3sinz=3sin(z+2),函数的周期T=4 .,=f (x+4),=3sin( ),=3sin( +2),(3) y=|sinx|,解：f(x+)=|sin(x+)|=|sinx|, 所以函数的周期是T=.,一般地，函数yAsin(x) （其中 ）的周期是,例6：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0, (1)sin( )sin( )； (2)sin( )sin( ),解：(1) ,且函数ysinx，x ， 是增函数,即sin( )sin( )0,(2)sin( )sin,sin( )sin,函数y=sinx在区间( )内为增函数,sin( )sin( )0.,
