1、递归算法(Recursion),本章内容 递归算法定义 递归算法举例 递归算法复杂性的计算,递归(Recursion)定义,直接或间接地调用自身的算法称为递归算法 直接或间接调用自身的函数称为递归函数 尾递归是指递归调用的语句在递归函数的最后一句 递归算法的特点： 用于解决一类递归定义的问题 算法易于实现，简单明了,递归算法：,1 (n=0,1) n! = n(n-1)！ (n1),函数的递归调用,1. 定义： 在调用一个函数的过程中直接或间接地调用该函数本身。直接调用 int f(x) int x; int y,z;z=f(x);return (2*z); ,f 函数,调用 f函数,int
2、f1(x) int x; int y,z;z=f2( y);return (2*z); ,int f2(t) int t; int a,c;c=f1(a);return (3+c); ,间接调用,特点是无终止的递归调用，因此，应该给定一个限制递归次数的条件。,float fac ( int n)float f;if(n0) printf(“n0,data error!n”);else if(n= =0|n= =1) f=1;else f=fac(n-1)* n ;return f;,例如：写一函数求n!,以求4的阶乘为例：,fac(4)=4*fac(3),fac(3)=3*fac( 2),fa
3、c(2)=2*fac( 1),fac(1)=1,fac(4)=4*3*2*1,fac(2)=2*1,fac(3)=3*2*1,下 推,回 代,利用栈实现递归调用,递归的执行情况分析,long Fact ( int n) long s;if ( n= =1) s=1; else s=n*Fact(n-1);return(s); ,使用递归的准则,如果待解决的问题具备下列两个特性，就可以考虑使用递归。 1)复杂的问题可以转换为简单些的1个或几个子问题； 2)最简单的问题可以直接解决,例1.3斐波那契(Fibonacci)序列：F0= F1 = 1Fi = Fi-1 + Fi-2 （i1)算法 求斐
4、波那契数procedure F(n)/返回第n个斐波那契数/integer nif n 1 then return(1)else return(F(n-1) + F(n-2)endifend F算法效率：对F(n-1) 、F(n-2)存在大量的重复计算 ，可以改进算法：保存中间结果,例1.4 欧几里得算法 已知两个非负整数a和b，且ab0，求这两个数的最大公因数。辗转相除法：若b=0，则a和b的最大公因数等于a；若b0，则a和b的最大公因数等于b和用b除a的余数的最大公因数。算法1.8 求最大公因数procedure GCD(a,b) / 约定ab /if b=0 then return(a)
5、else return (GCD(b,a mod b)endifend GCD例： GCD(22,8) = GCD(8,6) = GCD(6,2) = GCD(2,0) = 2;,例1.5 递归在非数值算法设计中的应用已知元素x，判断x是否在A（1：n）中。算法 在A（1：n）中检索xprocedure SEARCH(i)/如果在A（1：n）/中有一元素A（k）=x，则将其第一次出现的下标k返回，否则返回0/global n,x,A(1:n)case :in: return(0):A(i) = x; return(i):else: return(SEARCH(i+1)endcaseend SE
6、ARCH,子程序的调用形式,STACK,2.递归算法设计,定义递归（数学公式，数列等的定义。） 数据结构递归（单链表，树，二叉树） 可用递归解决的问题P（hanoi问题）问题P具有大规模 不同规模的问题P，具有相同性质；并且大规模的问题由小规模的问题构成 小规模的问题是可解的 关键： 找到递归的递推关系 找到结束递归的条件,递归求解的伪代码,procedure P(参数表) beginif 满足递归出口then 简单操作elsebegin 简单操作; CALL P; 简单操作; end; end endp,简单的0/1背包问题,设一个背包容纳的物品最大质量为m,现有n件物品，质量为m1,m2,
7、 ,mn,均为正整数。要求从中挑选若干件，使背包质量之和正好为m. （在此问题中，第i件物品要么取，要么不取，不能取一部分，故问题可能有解，可能无解）设用knap(m,n)来表示此问题。有解为true,否则为false,先考虑将物品mn放入背包的情况： knap(m,n) = 若mn = m , 则knap(m,n) true 若mn m,则knap(m,n) knap(m,n-1)即放弃mn物品，从n-1中选取 否则mn m， 则 knap(m,n) knap(m,n-1) knap(m-mn,n-1) 即如果选中mn，问题转化为knap(m-mn,n-1)是否有解；如果无解，放弃mn物品问
8、题转化为knap(m,n-1) 是否有解。,bool knap(m,n) if( n = 1 ) /出口条件if( m1 = m ) return true;else return false;if( mn = m ) return true;if( mn m ) return knap(m,n-1);if( knap( m-mn,n-1 ) return true;return knap(m,n-1); ,棋子移动,问题描述：有2n（n3）个棋子排成一行，白子用0代表，黑子用1代表。n=5的状态为：0000011111_ _ (右边至少两个空位) 移动规则： (1)每次必须移动相邻的两个棋子
9、，这两个棋子不能互换位置 (2)移动的颜色不限，移动的方向不限 要求： 最后成为 _ _ 0101010101 的状态(中间无空格)。,N=4,(4,5)-(9,10) n=6, (6,7)-(13,14)(8,9)-(4,5) (11,12)-(6,7)(2,3)-(8,9) n=5(7,8)-(2,3)(1,2)-(7,8) N=5, (5,6)-(11,12)(9,10)-(5,6)n=4 由数学归纳法可知；递归出口为n=4,如果2n个棋子的移动用chess(n) 则递归关系 move（n,n+1)(2n+1,2n+2)move (2n-1,2n)(n,n+1)chess( n-1),空
10、格在任何地方都是可等价变换的 问题规模为n和为n-1有相似的地方吗？000000111111_ _ (问题的规模n) 0000011111_ _01 (问题的规模 n-1,?) 结论： (1)规模为n的问题可以通过两步的移动变成规模为n-1的问题! (2)初值（递归的结束条件n=?可以解）,1.初值的判断： n=2, 0011_ _ 0_ _ 101 010_ _ 1 , 无解 n=3, 无解 n=4:,0 0 0 0 1 1 1 1 _ _ 0 0 0 _ _ 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 _ _ 1 0 _ _ 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 _ _
11、0 1 _ _ 0 1 0 1 0 1 0 1,2.递推关系式: 0 0 0 . . . 0 0 0 1 1 1 . . . 1 1 1 _ _ (n) 0 0 0 . . . 0 0 _ _ 1 1 . . . 1 1 1 0 1 0 0 0 . . . 0 0 1 1 1 1 . . . 1 _ _ 0 1 (n-1) 对n-1个棋子进行递归的移动直到n=4为止,3.算法实现： (对棋子的位置进行编号，从1,2,2n,2n+1,2n+2)void chess(int n)/n为移动的棋子数，n4if( n = 4 ) /递归出口else if( n4 ) /进入递归move_to(n,n+
12、1, 2n+1,2n+2);move_to(2n-1,2n,n,n+1);chess(n-1); ,4.思考： 如果棋子的移动规则改为每次移动相邻的3个(4,5,)棋子，其他条件不变，则如何解决此问题？ 递归关系式的推导 初值的判断(n=?有解) 算法的实现,Hanoi塔问题,汉诺塔（Tower of Hanoi）游戏据说来源于布拉玛神庙。游戏的装置如图所示（图上以3个金片例），底座上有三根金的针，第一根针上放着从大到小64个金片。游戏的目标是把所有金片从第一根针移到第三根针上，第二根针作为中间过渡。每次只能移动一个金片，并且大的金片不能压在小的金片上面。该游戏的结束就标志着“世界末日”的到来
13、。,分析：,游戏中金片移动是一个很繁琐的过程。通过计算，对于64个金片至少需要移动 264 1 = 1.61019 次 。,不妨用A表示被移动金片所在的针（源），C表示目的针，B表示过渡针。对于把n（n1）个金片从第一根针A上移到第三根针C的问题可以分解成如下步骤：,（1）将n-1个金片从A经过C移动到B。,（2）将第n个金片移动到C。,（3）再将n-1个金片从B经过A移动到C。,这样就把移动n个金片的问题转化为移动n-1个金片的问题，即移动n个金片的问题可用移动n-1个金片的问题递归描述，以此类推，可转化为移动一个金片的问题。显然，一个金片就可以直接移动。,void hanoi(int n,
14、 int a, int b, int c)if (n 1)hanoi(n-1, a, c, b);move(n,a,b);hanoi(n-1, b, a, c);else move(n,a,b); /结束条件,n个元素的全排列,N=1, 输出 1 N=2, 输出 1,22,1 N=3, 输出 1,2,31,3,22,1,32,3,13,1,23,2,1,解决： 递推关系式 初始值(递归的出口) 算法实现,a = 1,2.3,4,n; /对ak an 进行全排列 void Range(a,k,n) if( k = n ) Print(a); /输出排列elsefor(i=k;in;i+)ak a
15、i; /交换值Range(a,k+1,n); /递归排列剩下的元素ai ak; /交换值 初始调用： Range(a,0,n);,3.递归关系式的计算,递归算法时间复杂度的分析 递归算法时间复杂度的计算,递归算法时间复杂度分析,根据递归算法思想，可以得到递归算法的时间复杂度的递推关系式 求解递推关系式即可,例：一个楼有n个台阶，有一个人上楼有时一次跨一个台阶，有时跨2个台阶。问此人共有几种不同的上楼方法，并分析算法的时间复杂度。 解：设H(n)为上楼的方法总数，则： 当n=1, H(1) = 1 当n=2, H(2) = 2 当n2时, H(n) = H(n-1) + H(n-2) 下面分析时
16、间复杂度：设为T(n),T(n) 2T(n-1) 22T(n-2) 2n-1T(1) = O(2n),时间复杂度的计算-迭代法,T(n) = 2T(n/2) +cn = 2(2T(n/4) +c*n/2) +cn= 22T(n/4) + cn + cn= 23T(n/23) + cn + cn +cn= = 2kT(n/2k) + cn + cn + + cn= 2k*0 + kcn= cnlog2n = O(nlogn),K个,设 n/2k = 1, 则 k = log2n,求O(T(n)=?,recursion tree （递推树、迭代树）,汉诺塔（Tower of Hanoi）问题： 假
17、设move所需的时间为1，则其时间复杂度：,T(n) = 2T(n-1) + 1 = 2 2T(n-2)+1 + 1 = 22T(n-2) + 2 + 1 = 23T(n-3) + 22 + 2 + 1= = 2n-1T(1) + 2n-2 + + 23 + 22 + 2 + 1= 2n-1 + 2n-2 + + 23 + 22 + 2 + 1= 2n -1,若有64个圆盘，则需要移动 264-1 = 1.61019次,T(n) = 2T(n-1) + n = 2 2T(n-2)+n-1 + n = 22T(n-2) + 2(n-1) + n = 23T(n-3) + 22(n-2) + 2(
18、n-1) + n= = 2n-1T(1) + 2n-2*2 + + 23(n-3) + 22(n-2) + 2(n-1) + n= 2n-1+ 2n-2*2 + + 23(n-3) + 22(n-2) + 2(n-1) + n,求O(T(n)=?,T(n) = 2n-1+ 2n-2 + + 23 + 22 + 2 + 20 +2n-2 + + 23 + 22 + 2 + 20 +22 + 2 + 20 +2 + 20 +20= (2n-1) + (2n-1-1) + + (22-1) + (2-1)= 2n+1 -2 n= O(2n),作业,1.写出的递归求解算法。 2.求O(T(n) = ?,
