1、要点梳理 1.函数的单调性在（a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)为 ；f(x)0f(x)为 .,3.2 导数的应用,增函数,减函数,基础知识 自主学习,2.函数的极值（1）判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤求f(x);求方程 的根；检查f(x)在方程 的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .,f(x)0,
2、f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)=0,f(x)=0,极大值,极小值,3.函数的最值（1）在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a,b上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在a,b上单调递减，则 为函数的最大值，为函数的最小值.(3)设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在（a,b)内的 ；将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,f(b),f(a),f(b),极值,f(a),f(b),f(a),4.生活中的优
3、化问题解决优化问题的基本思路是:,基础自测 1.函数y=x3-3x的单调递减区间是 （ ）A.（-，0） B.（0，+）C.（-1，1） D.（-，-1），（1，+）解析 y=3x2-3,由3x2-30,得-1x1.,C,2.函数f(x)=x3+ax-2在区间（1，+）上是增函数，则实数a的取值范围是 （ ）A.3,+) B.-3，+)C.(-3,+) D.(-,-3)解析 f(x)=x3+ax-2在（1，+）上是增函数，f(x)=3x2+a0在（1，+）上恒成立.即a-3x2在（1，+）上恒成立.又在（1，+）上-3x2-3,a-3.,B,3.函数y=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最
4、大值，最小值分别是 （ ）A.5,-15 B.5,-4C.-4,-15 D.5,-16解析 y=6x2-6x-12=0，得x=-1（舍去）或2,故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，而 f（0）=5，f（2）=-15，f（3）=-4,故最大值为5，最小值为-15.,A,4.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f(x)在（a，b）内的图象如图所示,则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析 f(x)0时,f(x)单调递增，f(x)0时，f(x)单调递减.极小值点应在先减后增的特殊
5、点，即f(x)0f(x)=0f(x) 0.由图象可知只有1个极小值点.,A,5.（2009辽宁文，15）若函数f(x)= 在x=1处取极值，则a= .解析 因为f(x)在x=1处取极值，所以1是f(x)=0的根，将x=1代入得a=3.,3,题型一 函数的单调性与导数 【例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.求f(x)f(x)0或f(x)0恒成立a的范围.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 （1）由已知f(x)=3x2-a. f（x）
6、在（-，+）上是增函数， f（x）=3x2-a0在（-，+）上恒成立. 即a3x2对xR恒成立. 3x20,只要a0. 又a=0时，f(x)=3x20， f（x）=x3-1在R上是增函数，a0. （2）由f(x)=3x2-a0在（-1，1）上恒成立. a3x2在x（-1，1）上恒成立. 又-1x1,3x23,只需a3. 当a=3时，f(x)=3(x2-1)在x(-1,1)上， f(x) 0, 即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3. 故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.,探究提高 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x)0)仅是f(x
7、)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f(x)在（a,b)上递增（或递减）的充要条件应是f(x)0或f(x)0,x(a,b)恒成立，且f(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f（x0）=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，,因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f(x)0或f(x)0恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值
8、应舍去，若f(x)不恒为0，则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定.,知能迁移1 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范 围；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解 f(x)=ex-a.(1)若a0，f(x)=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.若a 0,ex-a0,exa,xln a.f(x)的单调递增区间为(ln a,+).,（2）f（x）在R内单调递增，f(x)0在R上恒 成立. ex-a0，即aex在R上恒成立. a（
9、ex）min，又ex0，a0. （3）方法一 由题意知ex-a0在（-,0上恒成立. aex在（-，0上恒成立. ex在（-，0上为增函数. x=0时，ex最大为1.a1. 同理可知ex-a0在0，+）上恒成立. aex在0，+）上恒成立. a1，a=1. 方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点. f(0)=0,即e0-a=0,a=1.,题型二 函数的极值与导数 【例2】设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.（1）函数的导函数在极值点处的函数值为0，列方程
10、组求解.（2）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定义判断.,思维启迪,解 （1）f(x)= +2bx+1,函数定义域为（0，+），列表,x=1是f（x）的极小值点，x=2是f（x）的极大值点.此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值 的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利 用这一关系（f (x)=0）建立字母系数的方程，通过 解方程（组）确定字母系数，从而解决问题.,探究提高,知能迁移2 已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值.（1）讨论f(1）和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.解 （1）f(
11、x)=3ax2+2bx-3,依题意，3a+2b-3=03a-2b-3=0,f(1)=f(-1)=0,即,解得a=1,b=0. f（x）=x3-3x,f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令f(x)=0,得x=-1,x=1. 若x(-,-1)(1,+)，则f(x)0, 故f(x)在（-,-1)上是增函数， f(x)在（1,+)上是增函数. 若x(-1,1)，则f(x)0, 故f(x)在（-1，1）上是减函数. 所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值.,（2）曲线方程为y=x3-3x,点A（0，16）不在曲线上. 设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0= -3x0.
12、因f(x0)=3( -1),故切线的方程为 y-y0=3( -1)(x-x0), 注意到点A（0，16）在切线上， 有16-(x -3x0)=3(x -1)(0-x0), 化简得x =-8,解得x0=-2. 所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0.,题型三 函数的最值与导数 【例3】已知a为实数，且函数f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数f(x);(2)若f(-1)=0，求函数f(x)在-2，2上的最大值、最小值.先求函数的极值，然后再与端点值进行比较、确定最值.解 （1）f(x)=x3-ax2-4x+4a,得f(x)=3x2-2ax-4.,思维启迪,（2）因为
13、f(-1)=0,所以a= , 有f(x)=x3- x2-4x+2,所以f(x)=3x2-x-4. 又f(x)=0,所以x= 或x=-1. 又f = ,f(-1)= , f(-2)=0,f(2)=0, 所以f(x)在-2，2上的最大值、最小值分别为、 .,探究提高 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时，要先求函数y=f（x）在a，b内所有使f（x）=0的点，再计算函数y=f（x）在区间内所有使f（x）=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.,知能迁移3 已知a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a).若f(-1)=0，求函数y=f(x)在 ，1上的最大
14、值和最小值.解 f(x)=3x2+2ax+1,又f(-1)=0，3-2a+1=0，即a=2.f（x）=3x2+4x+1=3（x+ ）(x+1).由f(x)0，得x-1或x- ；由f(x)0，得-1x- .,因此函数f(x)的单调递增区间为 ，-1， ，1， 单调递减区间为-1， . f（x）在x=-1取得极大值为f(-1)=2; f(x)在x= 取得极小值为f = 又f = f(1）=6，且 f(x)在 ,1上的最大值为f(1)=6, 最小值为f = .,题型四 生活中的优化问题 【例4】(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，
15、预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.,关键抽象出具体函数关系式，运用导数去 解决. 解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函 数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.2分 (2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 令L=0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）.4分 3a5,86+ a . 在x=6+ a两侧L的值由正变
16、负. 所以当86+ a9即3a 时， Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). 7分,思维启迪,当96+ a 即 a5时， Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)12-(6+ a)2 =4(3- a)3. 10分 9(6-a), 3a ,4(3- a)3, a5. 11分 答 若3a ，则当每件售价为9元时，分公司一 年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）； 若 a5，则当每件售价为(6+ a)元时，分公 司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3- a)3(万元).12分,所以Q(a)=,探究提高 （1）解决优化问题的基本思路是：,（2）求函数最
17、值时，不仅可用导数，也可以选择更 为适当的方法求解.,知能迁移4 (2009山东理，21)两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在弧 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.,（1）将y表示成x的函
18、数； （2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.解 （1）根据题意ACB=90，AC=x km,BC= km,且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为 ,对城B的影响度为因此，总影响度 (0x20).,又因为垃圾处理厂建在弧 的中点时，对城A和城 B的总影响度为0.065， 则有 =0.065, 解得k=9, 所以 (0x20).由y=0解得x=4 或x=-4 (舍去)， 易知4 (0,20).,y,y随x的变化情况如下表：,由表可知，函数在（0，4 ）内单调递减，在 （4 ，20
19、）内单调递增，y最小值=y|x=4 = . 此时x=4 , 故在 上存在C点，使得建在此处的垃圾处理厂对城 A和城B的总影响度最小，该点与城A的距离为4 km.,方法与技巧 1.注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值（范围）时，隐含恒成立思想. 2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小. 3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能. 2.求函数最值时，不可想
20、当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. 3.要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识.,一、选择题 1.函数y=x3-2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是 （ ）A.（0，3） B.（0， ）C.（0，+） D.（-，3）解析 令y=3x2-2a=0,得x= (a0，否则函数y为单调增函数).若函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则 1,0a .,B,定时检测,2.已知f(x)=2x3-6x2+m (m为常数)在-2，2上有最大值3，那么此函数在-2，2上的最小值是（ ）A.-37 B.-29 C.-5 D.
21、以上都不对解析 f(x)=6x2-12x=6x(x-2),f(x)在(-2,0)上为增函数,在（0，2）上为减函数,当x=0时，f(x)=m最大.m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.最小值为-37.,A,3.（2008福建文，11）如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=f(x)的图象可能是 （ ）,A,解析 由y=f(x)的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y=f(x)的函数值依次为正负正负.由此可排除B、C、D.,4.（2008湖北理，7）若f(x)= x2+bln(x+2)在 (-1,+)上是减函数,则b的取值范围是（ ） A.-1,+) B.(-1
22、,+) C.（-,-1 D.(-,-1) 解析 由题意知f(x)=-x+ 0,x(-1,+), 即f(x)= 0, 即-x2-2x+b=-(x+1)2+1+b0. 1+b0,b-1.,C,5.若函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是 （ ）A.(0,1) B.(-,1)C.(0,+) D.（0, ）解析 f(x)=3x2-6b,由题意,函数f(x)图象如右.f(0)0,f(1)0,-6b0,3-6b0,D,即,得0b .,6.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则（ ）A.a=-11,b=4 B.a=-4,b=11C.a=11,b=
23、-4 D.a=4,b=-11解析 由f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f(x)=3x2+2ax+b, f(1)=0, 2a+b+3=0,f(1)=10, a2+a+b+1=10.a=4, a=-3,b=-11, b=3.,D,根据已知条件,即,或,解得,(经检验应舍去),二、填空题 7.（2009江苏，3）函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为 .解析 f(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1),令f(x)0得-1x11,函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为（-1，11）.,(-1,11),8.已知函数f(x)=-x3+ax在区间（-1，1）
24、上是增函数，则实数a的取值范围是_.解析 由题意应有f(x)=-3x2+a 0,在区间(-1，1）上恒成立，则a3x2,x(-1,1)恒成立，故 a3.,a3,9.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值又有极小 值，则a的取值范围是 .解析 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1,f(x)=3x2+6ax+3(a+2).令3x2+6ax+3(a+2)=0，即x2+2ax+a+2=0.函数f(x)有极大值和极小值，方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根.即=4a2-4a-80,a2或a-1.,a2或a-1,三、解答题 10.已知向量a=（x2,x+1）, b=(1
25、-x,t).若函数f(x)=ab在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围.解 f（x）=ab=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,f(x)=-3x2+2x+t.f(x)在（-1，1）上是增函数，-3x2+2x+t0在x(-1,1)上恒成立.t3x2-2x,令g(x)=3x2-2x,x(-1,1).g(x) ，5），t5.,11.已知a是实数，函数f(x)=x2(x-a),（1）若f(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点 （1，f(1)处的切线方程；（2）求f(x)在区间0，2上的最大值.解 （1）f(x)=3x2-2ax,因为f(1)=3-2a=3,所以a=0.又当a
26、=0时,f(1)=1,f(1)=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为3x-y-2=0.,(2)令f(x)=0,解得x1=0,x2= , 当 0,即a0时,f(x)在0,2上单调递增, 从而f(x)max=f(2)=8-4a; 当 2时,即a3时,f(x)在0,2上单调递减, 从而f(x)max=f(0)=0; 当0 2,即0a3时,f(x)在0, 上单调递减, 在 ,2上单调递增.8-4a, 0a2,0, 2a3.8-4a, a2,0, a2.,从而f(x)max=,综上所述,f(x)max =,（2009四川文，20）已知函数f(x)=x3+2bx2+cx -2 的图象在
27、与x轴交点处的切线方程是y=5x-10. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=f(x)+ mx,若g(x)的极值存在，求实 数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变 量x的值. 解 （1）由已知，得切点为（2，0），故有f(2)=0, 即4b+c+3=0, f(x)=3x2+4bx+c,由已知，得f(2)=12+8b+c=5. 即8b+c+7=0. 联立、，解得b=-1,c=1, 于是函数解析式为f(x)=x3-2x2+x-2.,12.,(2)g(x)=f(x)+ mx=x3-2x2+x-2+ mx, g(x)=3x2-4x+1+ ,令g(x)=0. 当函数有极值时，0,方程3x2-4x+1+ =0有实根, 由=4(1-m)0，得m1. 当m=1时，g(x)=0有实根x= ,在x= 左右两侧均 有g(x)0,故函数g(x)无极值.,当m1时，g(x)=0有两个实根， x1= (2- ),x2= (2+ ), 当x变化时，g(x)、g(x)的变化情况如下表：故在m(-,1)时，函数g(x)有极值： 当x= (2- )时，g(x)有极大值； 当x= (2+ )时，g(x)有极小值.,返回,
