1、第二编 函数与基本初等函数,2.1 函数及其表示,要点梳理 1.函数的基本概念（1）函数定义设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 一个数x,在集合B中,数集,任意,基础知识 自主学习,都有 的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为 从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xA. (2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中，x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数 值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 .显 然，值域是集合B的子集. (3)函数的三要素： 、 和 . (4)相等函数：如果两个函数的 和 完 全一致，
2、则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.,唯一确定,定义域,值域,定义域,值域,对应关系,定义域,对应关系,2.函数的表示法表示函数的常用方法有： 、 、 . 3.映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射. 4.由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A,B必须是 .,解析法,图象法,列表法,都有唯,一,函数,非空数集,基础自测 1.设集合M=x|0x2，N=y|0y2，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合
3、N的函数关系的有 ( ) A. B. C. D.解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除，选C.,C,2.给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f（x）=是函数；函数y=2x（xN）的图象是一条直线；f（x）= 与g(x)=x是同一个函数.其中正确的有 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析 由函数的定义知正确.满足f（x）= 的x不存在，不正确.又y=2x（xN)的图象是一条直线上的一群孤立的点，不正确. 又f（x）与g（x）的定义域不同，也不正确.,A,3.下列各组函数是同一函数的是 ( ),解析 排除A；排除B； 当 即x1时,y=|
4、x|+|x-1|=2x-1,排除C. 故选D. 答案 D,4.函数 的定义域为 .解析 若使该函数有意义，则有x-1且x2,其定义域为x|x-1且x2.,x|x-1且x2,5.已知f（ ）=x2+5x,则f(x)= .解析,题型一 求函数的定义域 【例1】（2009江西理，2）函数的定义域为 （ ）A.（-4，-1） B.（-4，1）C.（-1，1） D.（-1，1求函数f(x)的定义域，只需使解析式有意义，列不等式组求解.解析,思维启迪,C,题型分类 深度剖析,探究提高 （1）求函数的定义域，其实质就是以函 数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等 式组，然后求出它们的解集，其准则一般
5、是： 分式中，分母不为零； 偶次方根中，被开方数非负； 对于y=x0，要求x0； 对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； 由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题 的约束. （2）抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的 关系.,知能迁移1 (2008湖北)函数的定义域为 （ ）A.（-，-42，+）B.（-4，0）（0，1）C.-4，0）（0，1D.-4，0）（0，1）,解析答案 D,题型二 求函数的解析式 【例2】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为，求f(x)的解析式；（2）已知（3）已知f(x)满足2f(x)
6、+ =3x,求f(x).问题（1）由题设f（x）为二次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x， ，可用解方程组法求解.,思维启迪,解 （1）f（x）为二次函数， 设f(x)=ax2+bx+c (a0)，且f(x)=0的两根为x1,x2. 由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0. 由已知得c=1. 由、式解得b=2,a= ,c=1, f（x）= x2+2x+1.,探究提高 求函数解析式的常用方法有:(1)代入法， 用g(x)代入f(x)中的x,即得到fg(x)的解析式； (2)拼凑法，对fg(x
7、)的解析式进行拼凑变形， 使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有 “g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入fg(x)，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法， 若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式,根 据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变 量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.,知能迁移2 （1）已知f( +1)=lg x，求f（x）；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1) =2x+17，求f（x）；(3)设f(x)是R上的函数，且f(0)=1,对任意x，yR 恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x
8、)的表达式.,解 （1）（2）设f（x）=ax+b（a0），则 3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17， a=2，b=7，故f（x）=2x+7. （3）方法一 f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）， 令y=x，得f（0）=f（x）-x（2x-x+1）， f（0）=1，f（x）=x2+x+1. 方法二 令x=0，得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,再 令y=-x,得f(x)=x2+x+1.,题型三 分段函数 【例3】设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为
9、（ ）A.1 B.2 C.3 D.4求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系数法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程.,思维启迪,解析 由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2, x0时，显然x=2是方程f(x)=x的解;x0时，方程 f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方 程f（x）=x解的个数为3. 答案 C分段函数是一类重要的函数模型.解决分 段函数问题，关键要抓住在不同的段内研究问题.如 本例，需分x0时，f（x）=x的解的个数和x0时， f（x）=x的解的个数.,探究提高,知能迁移3 设 则fg(3)=_, =_.解析 g(3
10、)=2,fg(3)=f(2)=32+1=7，,7,题型四 函数的实际应用 【例4】 （12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；,（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本 增加的比例x应在什么范围内？准确理解题意，构建函数模型. 解 （1）依
11、题意,本年度每辆摩托车的成本为1+x(万 元)，而出厂价为1.2(1+0.75x) (万元)， 销售量为1 000(1+0.6x) (辆). 故利润y=1.2(1+0.75x)-(1+x)1 000 (1+0.6x), 4分 整理得y=-60x2+20x+200 (0x1). 6分,思维启迪,（2）要保证本年度利润比上一年有所增加， 则y-(1.2-1)1 0000, 8分 即-60x2+20x+200-2000, 即3x2-x0. 10分 解得0x ,适合0x1. 故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加 的比例x的取值范围是0x . 12分函数的实际应用问题，要准确构建数学模 型，求
12、得函数解析式后，要写出函数的定义域（一般 情况下，都要受到实际问题的约束）.,探究提高,知能迁移4 （2009浙江，文15理14）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下：,若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）.,解析 高峰时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电 价为500.568元，后150千瓦时为1500.598元.低 谷时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为50 0.288元，后50千瓦时为500.318元，电价为50 0.568+1500.5
13、98+500.288+500.318= 148.4（元）. 答案 148.4,1.若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同,则两个函数为同一函数. 2.函数有三种表示方法列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视.,思想方法 感悟提高,方法与技巧,3.求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R
14、；若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.,1.建立实际问题的函数式，首先要选定变量,而后寻找等量关系，求函数解析式,但要根据实际问题确定定义域. 2.判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象惟一”.但要注意：（1）A中不同元素可有相同的象，即允许多对一,但不允许一对多;(2)B中元素可无原象,即B中元素可有剩余.,失误与防范,
15、一、选择题 1.下列四组函数中，表示同一函数的是 ( ),定时检测,解析答案 D,2.已知f(x)= 使f(x)-1成立的x的 取值范围是 ( )A.-4,2) B.-4,2 C.(0,2 D.(-4,2解析,B,3.已知函数f(x)=lg(x+3)的定义域为M,g(x)= 的 定义域为N,则MN等于 ( ) A.x|x-3 B.x|-3-3,N=x|x2.MN=x|-3x2.,B,4.（2008山东）设函数的值为 （ ）解析,A,5.（2008陕西）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,则f(-3)等于( )A.2 B.3 C.6
16、D.9解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+201=f(0)+f(1),f(0)=0.f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2(-1)1=f(-1)+f(1)-2,f(-1)=0.f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2(-2)1=f(-2)+f(1)-4,f(-2)=2.f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2(-3)1=f(-3)+f(1)-6,f(-3)=6.,C,6.已知函数f(x)的定义域为-1,5.在同一坐标系下, 函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点个数为 ( )A.0个 B.1个C.2个 D.0个或1个均有可能解析 f(x)的定
17、义域为-1,5,而1-1,5，点(1,f(1)在函数y=f(x)的图象上,而点(1,f(1)又在直线x=1上，直线x=1与函数y=f(x)的图象至少有一个交点(1,f(1)。根据函数定义知,函数是一个特殊的映射,即对于定义域-1，5的任何一个元素,在其值域中只有唯一确定的元素f(1)与之对应,故直线x=1与y=f(x)的图象有且只有一个交点.,B,二、填空题 7.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以 内为起步价8元(即行程不超过3千米,一律收费8元),若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价,若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱,该乘客下车时乘车里程数为7
18、.4,则乘客应付的车费是 元.解析 车费为8+（7.4-3）1.5=14.615（元）.,15,8.(2009北京文，12)已知函数若f(x)=2,则x= .解析 当x1时，3x=2,x=log32;当x1时，-x=2,x=-2(舍去).,log32,9.函数 的定义域为_.解析 要使f(x)有意义，f(x)的定义域为x|x4且x5.,x|x4且x5,三、解答题 10.求下列函数的定义域：解借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为(2)-x2+2x0,即x2-2x0.0x2，函数的定义域为(0,2).,11.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为 3 000元时,可全部租出.当每辆
19、车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？,解 （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未 租出的车辆数为 ，所以这时租出 了88辆车. （2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月所以,当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)= 307 050. 即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月 收益最大，最大月收益为307 050元.,12.已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当x-1,2时, f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）为奇函数，求函数f（x）的表达式.解 设f(x)=ax2+bx+c (a0),则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3,又f(x)+g(x)为奇函数，a=1，c=3.f（x）=x2+bx+3，对称轴x= .当 ，即b-4时，f(x)在-1，2上为减函数，f（x）的最小值为f（2）=4+2b+3=1.,返回,
