1、2.3连续型随机变量及其概率密度,1.定义 设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使对于任意实数x，有,则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数，简称为概率密度。,例如：在0，1取点的例，设X为取得点的坐标，则随机变量X的分布函数为,2.3.1连续型随机变量及其概率密度,则X为连续型随机变量。,2. 连续型随机变量的分布函数F(x)性质（1）连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。（2）对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数a的概率均为零，即PX=a=0。事实上，设X的分布函数为F(x)，则PX=a=F(a)-F(a-0) 而F(x)为连
2、续函数，所以有F(a-0)=F(a)，即得： PX=a=0.这里PX=a=0 ，而事件X=a并非不可能事件。就是说，若A是不可能事件,则有P(A)=0；反之，若P(A)=0 ，A并不一定是不可能事件。同样的，对必然事件也有类似的结论。,（3）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，不必区分该区间是开区间或闭区间或半开区间。例如有 PaXb=PaX b = Pa X b=PaXb 3.概率密度f (x)的性质: （1）f(x)0 （2）,反之，满足（1)(2）的一个可积函数 f(x) 必是某连续型随机变量X的概率密度，因此，常用这两条性质检验 f(x) 是否为概率密度。几何意义：曲线y= f
3、(x)与x 轴之间的面积等于1,(3)X落在区间(x1，x2)的概率,几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率Px1Xx2等于区间(x1，x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积,(4)若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x)。,这是因为 ，当f(x)连续时， F(x)可导，所以在f(x)的连续点处，F(x)=f(x).,(5)概率密度 f(x) 的物理意义 由性质4 在f(x)的连续点x处有,这里我们看到概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似，若非均匀直线的线密度为f(x)，则在区间(x1，x2)上的直线的质量为 这就是称f(x)为概率密度的原因，它反映了概率在x点处的密集程
4、度。,4概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系： (1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那么它的分布函数为,(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F(x).,注意：对于F(x)不可导的点x处，f(x)在该点x处的函数值可任意给出。,例1: 设随机变量X具有概率密度,(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求PX0.1。,解: (1)由于 , ，解得k=3.,于是X的概率密度为,(2)从而,例2: 确定常数A，B使得函数,为连续型随机变量X的分布函数，并求出X的概率密度及概率P-1X2。,解: 由分布函数的性质知,所以 B=1.又由连续型随机
5、变量的分布函数的连续性知F(x)在x=0处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A， 所以：A=1/2于是X分布函数为：,X的概率密度为,1设连续随机变量X具有概率密度,则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，记为XU(a，b).若XU(a，b)，则容易计算出X的分布函数为,2.3.2 三种重要的连续型分布：,f(x)及F(x)的图形分别如:,例1: 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900欧1100欧。求R的概率密度及R落在950欧1050欧的概率。 解: 按题意，R的概率密度为,注释 (1) 均匀分布的特性：若XU(a，b)，对于任意的区间(c，c+l)(a，b)，则,就是说在同样长的子区
6、间内概率是相同的，这个概率 只依赖于区间的长度而不依赖于区间的位置。 (2) 我们现在能把一个区间a，b上随机地选取一个点P 的直观概念加以精确化。简单地说就是所选取的点P的坐 标X在a，b上是均匀分布的。,区间( 0, 1)上的均匀分布U(0,1)在计算机模拟中起着重要的作用.,实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随机数. 它是由一种迭代过程产生的.,严格地说，计算机中产生的U (0,1) 随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为伪随机数.,如取n足够大，独立产生n个U(0,1)随机数，则从用这 n 个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于( 0,
7、1)上的均匀分布U(0,1).,2. 指数分布设连续型随机变量X具有概率密度为,其中o为常数，则称X服从参数为的指数分布。容易验证: 指数分布的分布函数为,f(x)及F(x)的图形,指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.设随机变量X满足：对于任意的so，t0,有,则称随机变量X具有无记忆性。,设随机变量X服从参数为的指数分布，则,因此PXs+t|Xs=PXt，即指数分布具有”无记忆性”.,例 设设备在任何长为t 时间内发生故障的次数N(t)(t) 的Possion分布,求相继两次故障间的时间间隔T的分布函数。,解：关键：t0时,Tt=N(t)=0.时间间隔大于t，在0，t时间内未发生故障。因为
8、Tt=N(t)=0,服从参数为的指数分布。,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,高 尔 顿 钉 板 试 验,这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。,下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。,验证f(x)是一个合理的概率密度函数: 显然，f(x)0； 下面验证,（1）定义1：设随机变量X的概率密度为,其中，（0）为常数，则称X服从参数为,2的正态分布,记为XN(,2)。,3正态分布,对于积分 ，作代换 ， 则,定义2：当=0，=1时称X服从标准正态分布，记为 XN(0，1)，其概率密度为,
9、标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,(2) 正态密度函数f(x)的几何特征 因为,得：驻点：x=,为函数的极大值点； 拐点：x=.作图如下,所以 曲线关于x=对称，这表明对于任意ho，有 P-hX= PX+h ； 当x=时取到最大值,X离越远，f(x)的值越小，表明对于同样长度的 区间，当区间离越远，X落这个区间上的概率越 小。,在x=处曲线有拐点，又由于 ， 所以曲线以x轴为水平渐近线。,如果固定，改变的值，则图形沿着Ox轴平移，而不改变其形状，可见正态分布的概率密度曲线y=f(x)的位置完全由参数所确定，称为位置参数。 如果固定，改变，由
10、于最大值 ，可知当越小时图形变得越尖，因而X落在附近的概率越大。,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,如我们遇到过的年降雨量和身高,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.,(3) 正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算 若XN(0，1)，则概率密度 ，如图。,X的分布函数为：,一般的， 通过查表求得。,常用性质
11、:A.对于任意实数x，有(x)+(-x)=1.,一般正态分布的概率计算若XN(，2)，则X的分布函数为：,对此积分作代换 s=(t-)/，则,因此计算F(x)时化为求 ,可查表求得.,一般的，,例1: 设XN(1.5，22)，求P-1x2。 解:,查表得：(3-c)/2=0.43, 即c=2.14,例2: 设X具有分布N(3，4)，求数c，使得 Pxc=2Pxc。 解:,例3 假设测量的随机误差XN(0 , 102),试求在100次独立重复测量中至少有三次测量的绝对值大于19.6(A)的概率,并利用Possion分布求的近似值。 解：设p为每次测量误差绝对值大于19.6的概率,p=P|X|19
12、.6=P|X|/10 19.6/10=P|X|/101.96 =1- P|X|/101.96=1-(1.96)+(-1.96) =1-(1.96)+1-(1.96)=2-2(1.96)=0.05,设Y表示100次独立测量中事件A出现的次数,则： Yb(100 , 0.05),性质 已知X N(, 2).,例4 已知X N(, 2).求：,2）P|X-|2=2(2)-1=0.9544 3）P|X-|3=2(3)-1=0.9944 说明：X N(, 2)落在(-3,3)内的概率为0.9944, 这一事实称为“3规则”这也是N(0 , 1)表只作(-3 , 3)内的概率的原因。,例2 公共汽车车门的
13、高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,解: 设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我们来求满足上式的最小的 h.,再看一个应用正态分布的例子:,因为XN(170,62),查表得 (2.33)=0.99010.99,所以 =2.33,即 h=170+13.98 184,后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布 .,例2: 设分布函数F(x)为严格递增的分布函数，F-1(x)为F(x)的反函数，若XU (0，1),证明Y=F-1(X)的分布函数为F(y)。 证明: 设Y的分布函数为FY(y)，由分布函数的定义有 FY(y)=PYy=P F-1(X)y=P XF(y)=F(y) 这个结论在随机模拟中具有基本的重要性。,4. 其它常用的连续型分布有以下几个： （1）分布：设X具有概率密度,其中0，0为参数，则称X服从分布，记为 X(, )。,其中0为常数，称X服从参数为的瑞利分布。,（2）瑞利(Ragleiqh)分布:设X具有概率密度,
