1、31 数系的扩充与复数的概念 31.1 数系的扩充与复数的概念,了解数系的扩充过程，理解复数的代数表示，理解复数相等的充要条件，能用复数的代数形式解决相关问题,本节重点：复数的有关概念 本节难点：复数的分类及复数相等的条件,1复数的概念与代数形式 我们把形如z 的数叫做复数，其中i叫做 ，a、b分别叫做复数z的 与 zabi(a、bR)这一表示形式叫做复数的 形式全体复数所构成的集合C叫做复数集 C ,虚数单位,实部,虚部,代数,abi|a、bR,abi(a、bR),4复数的集合表示不全为实数的两个复数不能比较大小,例1 下列命题中，正确命题的个数是 ( ) 若x，yC，则xyi1i的充要条件
2、是xy1； 若a，bR且ab，则aibi； 若x2y20，则xy0. A0 B1 C2 D3 分析 由题目可获取以下主要信息： 题中给出了三个命题； 判断正确命题的个数 解答本题只需根据复数的有关概念判断即可,答案 A 解析 由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，是假命题 由于两个虚数不能比较大小，是假命题 当x1，yi时，x2y20成立，是假命题,点评 1.数系扩充的原则 (1)为了解决x210这样的方程在实数集中无解的问题，人们引进了一个新数i，叫做虚数单位，并且规定i21.这样原数集中不能解决的问题在新数集中就能够解决了 (2)规定i与实数可以进行四则
3、运算，在进行运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，即与原数集不矛盾,2关于复数的代数形式 复数zabi(a，bR)中注意以下几点： (1)a，bR，否则不是代数形式 (2)从代数形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数 反之，若z是纯虚数，可设zbi(b0，bR)； 若z是虚数，可设zabi(b0，bR)； 若z是复数，可设zabi(a，bR),分析 在本题是复数的标准形式下，即zabi(a，bR)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合即可,点评 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值有意义，如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m30，就会酿成根本性的错
4、误，其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，多与少都是不对的，解答后进行验算是很有必要的 对于复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它这是解复数问题的重要思路之一,例3 已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1，1,4i，若MPP，求实数m的值 分析 由MPP知，M是P的子集，从而可知(m22m)(m2m2)i1或4i，利用复数相等的条件就可求得m的值,点评 (1)复数相等的条件，是求复数值及在复数集内解方程的重要依据 (2)根据复数相等的定义可知，在ac，bd中，只要有一个不成立，那么abicdi.所以
5、，一般地，两个复数只有说相等或不相等，而不能比较大小，例如，1i和35i不能比较大小,一、选择题 1设C复数，A实数，B纯虚数，全集UC，那么下列结论正确的是 ( ) AABC BUAB CAUB DBUBC 答案 D 解析 B纯虚数，BC，BUBC.故应选D.,答案 A,3复数43aa2i与复数a24ai相等，则实数a的值为 ( ) A1 B1或4 C4 D0或4 答案 C,二、填空题 4a0是复数abi(a，bR)为纯虚数的_条件 答案 必要不充分 解析 当abi为纯虚数时a0；当a0时，需b0，abi才为纯虚数，所以a0是复数abi(a，bR)为纯虚数的必要不充分条件,5已知复数zm2(1i)(mi)(mR)，若z是实数，则m的值为_；若z是虚数，则m的取值范围是_；若z是纯虚数，则m的值为_ 答案 1 (，1)(1,1)(1，) 0 解析 zm2m2imi(m2m)(m21)i 若z是实数，则m210，解得m1； 若z是虚数，则m210，解得m1；,三、解答题 6设复数zlg(m22m2)(m23m2)i(mR)，当实数m取何值时 (1)z是纯虚数 (2)z是实数,
