1、12 点、线、面之间的位置关系,12.2 空间两条直线的位置关系,栏目链接,课 标 点 击,1理解异面直线的概念，画法 2理解并掌握公理4、等角原理 3理解异面直线所成角的概念，会求异面直线所成角,栏目链接,典 例 剖 析,栏目链接,异面直线的判断与证明,如右图，在空间四边形ABCP中，连接AC、PB，D、E是PC上不重合的两点，F、H分别是PA、PB上的点，且与点P不重合 求证：EF和DH是异面直线,栏目链接,分析：根据两直线异面的定义，要直接证明两直线异面是比较困难的，因而往往从问题的反面入手，即采用反证法，当然，还可以直接使用异面直线的判定定理：“过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平
2、面内不经过该点的直线是异面直线”，而进行直接的证明 证明：方法一 假设EF、DH不是异面直线，则由两直线的位置关系知，它们必在同一个平面内 E，D.ED，即PC. P，C.又H，PH.,栏目链接,BPH，B. 同理，由F可得：A. 由此可知，P、A、B、C四点都在平面内，这与四点是空间四边形的四个顶点相矛盾 故假设不成立，于是EF与DH是异面直线 方法二 PAPCP， PA、PC确定一个平面，不妨记平面为. EPC，FPA，E，F.,栏目链接,EF. DPC， D，且DEF. PBP，HPB， H. EF与DH是异面直线,(2)证明两直线异面，一般要从定义出发，由于定义是一个否定形式的命题，因
3、而常用反证法反证法也是常用的一种重要的思维方式和数学方法，它在立体几何中有着广泛的应用反证法的一般步骤为：,规律总结：(1)异面直线的判定方法一般有两种：利用异面直线的判定定理；反证法,栏目链接,反设：即作出与命题结论相反的假设； 归缪：以所作的假设为依据，通过严格的逻辑推理，导出矛盾； 结论：判断产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的，因而原命题正确 导出逻辑矛盾时常出现以下几种情形： 与定义、公理、定理、推论及性质等的矛盾； 与已知条件的矛盾； 与假设的矛盾； 自相矛盾,栏目链接,变式训练 1如右图所示，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，Aa，Ba，Cb，Dc.求证：AD与BC是异面
4、直线证明(反证法)：假设AD与BC共面，所确定的平面为，那么点P、A、B、C、D都在平面内直线a、b、c都在平面内，此与已知条件a、b、c不共面相矛盾AD和BC是异面直线,栏目链接,求异面直线所成的角,如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求： (1)异面直线AB与A1D1所成的夹角； (2)AD1与DC1所成的夹角 分析：依据异面直线所成的角(或夹角)的定义来求,栏目链接,解析：(1)A1B1AB，而A1D1A1B1， A1D1AB.AB与A1D1所成的夹角为90. (2)连接AB1，B1D1，AB1DC1， AB1与AD1所成夹角即为DC1与AD1所成的夹角 又AD1AB1B1D
5、1， AB1D1为正三角形 AD1与AB1所成夹角为60. AD1与DC1所成夹角为60.,栏目链接,规律总结：(1)求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法将异面直线所成角转化成同一平面内的直线所成的角，放到同一三角形中求解 (2)要多角度地平移，不能局限于一个平面,栏目链接,变式训练 2如右下图，空间四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BCAD2EF，求直线EF与直线AD所成的角及直线EF与直线BC所成的角,栏目链接,解析：因为E是BD中点，F是AC中点，故联想三角形中位线定理，取CD中点G，将AD平移至FG，故EF与FG所成的角(EFG)就是平面直线EF与AD所成的
6、角由BCAD2EF，得EFEGFG，所以EFG为正三角形，所以EFG60，即EF与AD所成的角为60，同理EF与BC所成角也为60.,栏目链接,平行公理的应用,如右图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且AC与BD所成的角为90. 求证：四边形EFGH是矩形,栏目链接,分析：充分利用平行线的传递性和推论3以及确定矩形的条件 证明：E、H分别为AB、DA的中点， EH是ABD的中位线,栏目链接,四边形EFGH为平行四边形 又E、F分别为AB、BC的中点， EFAC.又FGBD， EFG为AC与BD所成的角 而AC与BD所成的角为90， EFG90.又四边形E
7、FGH为平行四边形，故四边形EFGH为矩形规律总结：平行公理的本质是线线平行的传递性,栏目链接,变式训练 3如右下图所示，三棱锥ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点 (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)若ACBD，求证：四边形EFGH为菱形； (3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？,栏目链接,栏目链接,又ACBD，EFEH. 由(1)知，四边形EFGH为平行四边形， 四边形EFGH为菱形 (3)解析：当ACBD且ACBD时，四边形EFGH为正方形 EFAC，EHBD， FEH为AC、BD所成的角，即FEH90.由(2)知，四边形EFGH为菱形， 四边形EFGH为正方形,
