1、第七章 量子力学中的力学量,第1节 表示力学量的算符,上一章解决了问题：如何求出一个系统的波函数（写出哈密顿算符，求解其本征方程薛定谔方程，本征函数即为波函数）。,已知波函数，如何求得对应的力学量的值？,一，本征值方程：,算符：作用在一个函数上得到另一个函数得运算符号。,如：某个操作（运算）把函数uv，可以写成：,对任一算符，都可以写出：,本征值方程,本征值，本征函数。,一般力学量的算符：,二：力学量的算符,前面已知的算符例子：,动量算符,能量算符,自由粒子的能量算符，或动能算符,哈密顿算符,1，利用自由粒子的波函数得到动量和能量算符，再设坐标算符就是坐标本身；,2，力学量的其他算符，可以由其
2、经典形式得出：设力学量F，其经典表达式为 F = F (r, p)，则对应算符为,角动量算符,经典力学中，动量为p，坐标r的粒子，绕坐标原点O的角动量：L = r p，则量子力学中，对应的角动量算符为：,（注意区别其中i，分别表示虚数单位和x方向单位矢量）,考虑总角动量与分量之间的关系：,等等。,经典力学中没有，而量子力学中特有的力学量（例如自旋），则通过另外的方法引入。,三：算符的一般性质和运算规则,1：算符的和：,称为算符的和。,交换律：,加法结合律：,2：算符的积：,一般不满足交换律：,例如：,即：,交换后不相等。,3：算符的对易式：,定义对易式：,则2中的结果可以表示成：,同样：,而：
3、,一般情况写成：,量子力学的基本对易式,其中,离散Dirac函数,四：算符和力学量之间的关系：,前面已经求解了两个定态问题（一维无限深势阱和一维线性谐振子），其共同特征是求解定态薛定谔方程：,一维无限深势阱：,一维线性谐振子：,量子力学认为：当体系处于哈密顿算符的本征态n时，算符所对应的本征值E有确定值En。由此总结出下面的假定（量子力学的基本假设之一）：,（思考）如果体系状态不是该力学量算符的本征态，那么力学量的值应该是多少？,五：厄密算符：,1，厄密算符的本征值是实数：,定义：如果对于任意两个函数和，有算符满足等式,则称为厄密算符。积分范围是所有变量变化的整个区域。,证明：由于和的任意性，
4、可以取 = ，且为厄密算符的本征函数，对应的本征值为，则上面的式子左边为：,而右边为：,即：,可知 为实数。,说明：1)，厄密算符的本征值为实数；,2)，表示力学量的算符为厄密算符，才能使对应的本征值（即力学量的值）为实数。,2，厄密算符的属于不同本征值的本征函数相互正交：,1)，正交性：如果两个不同的函数 1 和 2 满足关系式：,称 1 和 2 相互正交。式中的积分是对变量变化的全部区域进行的。,2)，厄密算符的本征函数之间相互正交。,证明：设厄密算符 F，其本征值为 1 ，2 ，n ，且都不相等，对应的本征函数为1 ，2 ，n ，任意取两个本征方程：,则有：,厄密算符的定义式：,左边：,
5、右边：,即：,由于通常 k 还是归一化的，即：,所以上面的结论可以写成：,本征函数的正交归一化条件。,如果算符的本征值组成连续谱，则上述条件可以写成：,满足上述正交归一化条件的函数系 k （分立谱）或 （连续谱）称为正交归一系。,第2节 动量算符和角动量算符,本节介绍常见的力学量：动量和角动量算符的一些性质。,一：动量算符：,三维：,一维：,本征方程：,1，本征值px为任意实数，连续谱。,2，本征函数(x)不能按照通常的方法归一化，下式不成立：,此类波函数可使用周期性边界条件，进行箱归一化。,二：角动量算符：,1：角动量算符的形式：,量子力学中的角动量算符表示为：,其分量形式为：,等等。,角动
6、量平方算符：,2：球坐标系中的角动量算符：,用球坐标系，则：,则角动量z分量和平方算符在球坐标系中可以写成：,3：角动量平方以及z分量算符的本征值和本征函数：,角动量平方算符的本征方程为：,数学物理方法里面介绍，此方程的本征值为 2，其中,本征函数为球函数（球谐函数）Y(,)，其形式为：,缔合勒让德多项式,归一化系数,说明：,1，每个 l 对应一个不同的本征值 2 = l (l+1) 2，其中 l 称为角量子数。,2，每个本征值 l (l+1) 2 对应 2l+1 个不同的本征函数Ylm(,)，其中m= -l, ., 0, 1, 2, ., l，共有 2l+1 个不同的取值。其中m称为磁量子数
7、。,3，多个本征函数对应于一个本征值的情形简并。一个本征值所对应的本征函数数目简并度。角动量平方算符本征值的简并度为2l+1。（本征值对应着能量，本征函数对应状态，则相当于同一个能级上有多个不同的状态。）,角动量z分量算符，其本征方程为：,其形式解为：,A 归一化常数,是2为周期的，则有(+2) = ()，即：,可解出本征值为：,对应本征函数为：,归一化：,可以证明球函数Ylm(,)，也是Lz的本征函数（证明过程略），即有：,一般称 l = 0 的状态为 s 态，l = 1, 2, 3,.的状态分别为p, d, f, .，处于这些态的粒子，分别称为s, p, d, f 粒子。,下面列出前面几个
8、球函数：,第3节 电子在库仑场中的运动 氢原子,考虑一个电子在一个带正电的核所产生的电场（库仑场）中运动。电子质量 ，电荷 - e ，核的电荷 +Ze 。则：Z=1对应氢原子，Z1对应类氢原子，比如：He+(Z=2),Li+(Z=3)等等。,电子受核吸引的势能：,(SI),(CGS),r 电子到核的距离,则体系的哈密顿算符为：,本征方程（即定态薛定谔方程）为：,写成球坐标系中的形式：,用分离变量法，设本征函数为：,代入薛定谔方程，可分离为两个方程：,径向方程,式中 为常数。其中第二个方程正好是前面讨论过的角动量算符的本征方程，其本征值和本征函数为：= l (l +1)，l = 0, 1, 2,
9、 .，Y (,)即为球函数。,把 = l (l +1)，l = 0, 1, 2, .代入径向方程：,此方程为变系数二阶常微分方程（与谐振子模型类似，可用类似的方法求解），可解得：,分析径向方程可知：当E为负，为束缚态；当E为正，能量具有连续谱。上面公式中：n 总量子数，或称主量子数。,氢原子第一玻尔轨道半径,缔合拉盖尔多项式（具体内容可参见数学物理方法课程）,归一化常数,说明：,1，当E为负时，获得了分立的能级,2，nlm (r, , )=Rnl (r) Ylm(, ),3，能级En只与主量子数 n 有关，对应一个 n，l可以取l = 0, 1, 2, , n-1，共 n 个值；对应一个 l，
10、m 可以取 m = - l, ., 0, ., l，共有 2 l + 1个不同的值。则对于能级 En，共有：,个不同的状态。En是n2度简并的。,下面列出前面几个径向函数Rnl (r),如果考虑核的位置不固定，即：电子与核均可以运动，则成为较为实际的氢原子的情形。在数学处理的过程中，如果引入约化质量和约化坐标，求解氢原子的过程与求解库仑场中的电子类似。,当 n 增加时，能级之间的距离逐渐减少。n时，电子不再束缚在核的周围，发生电离现象。E 与基态 E1 之间的差称为电离能：,电子由能级 En 跃迁至 En 时会发出光，它的频率为：,Rc里德堡常数，上式即为量子力学推导出的巴尔末公式,当氢原子处
11、于nlm(r, , )时，电子在 (r, , )点周围的体积元d = r2 sin dr d d 内的几率为：,s, p, d, f 态电子的角分布,电子的距离分布,第4节 算符与力学量的关系,如果F是满足某种条件的厄密算符，且有本征方程：,n为正交归一系，则任何函数都可展开为：,其中cn为常系数，称为几率振幅。可以证明：,引入假设：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是对应算符的本征值之一，测得 n 的几率是 |cn|2 。,按照由几率求平均值的法则，可以求得力学量F在态中的平均值为：,上两式等价
12、的证明：,上式中的是归一化的，如果没有归一化，则公式为：,第5节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系,一，对易关系,定义,算符对易,算符不对易,二，对易的情形（两力学量同时具有确定值的条件）,定理：如算符F，G有共同的本征函数n，且组成完全系，则F与G对易。,定理的推广：如果一组算符有共同的本征函数，而且这些共同的本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立。,三，不对易的情形（测不准关系）：,设算符F, G满足：,算符或者数,在共同状态中，算符 F, G在该态中的平均值定义为：,考虑如下积分，其中为实参数：,另一方面：,由于F，G均为表示力学量的厄密算符，则：,考虑其中的：,则有：,解此不等式，则有：,测不准关系,例：,坐标与动量的测不准关系。,说明：,1，量子力学的基本关系。,2，反映了微观世界的波粒二象性。,
