1、2.2用样本估计总体,理解教材新知,把握热点考向,应用创新演练,第二章统计,知识点一,知识点二,考点一,考点二,考点三,2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征,青年歌手大奖赛中评分规则是去掉最高分与最低分，然后取平均分为成绩，已知6位评委给某位参赛选手打的分是9.0,9.5,9.4,9.6,9.9,9.5.,问题1：6位评委打的分中出现次数最多的是哪个数据？ 提示：9.5 问题2：将6个数据从小到大排列，排列中间的数是哪一个？ 提示：9.5. 问题3：如何计算其平均分？,众数、中位数、平均数(1)众数：一组数据中重复出现次数 的数称为这组数的众数在频率分布直方图中，众数的估计值为最高矩形
2、的底边 的横坐标,最多,中点,(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最 位置的那个数称为这组数据的中位数在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积 当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的 那个数当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的 ,中间,相等,中间,平均数,(x1x2xn),面积,问题3：观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？提示：从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中故乙的射击水平更稳定,标准差、方差(1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般 用s表示，s,(2)方差的求法： 标准差的平方s2叫做
3、方差 s2,其中，xn是 ，n是 ，是 ,样本数据,样本容量,样本平均数,1众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变这是中位数、众数都不具有的性质2众数反映各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题,3中位数不受少数几个极端数据的影响，某些数据的变动对中位数没有影响中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中4标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数
4、据的离散程度越小,例1 某公司人员及工资构成如下：,精解详析 (1)由表格可知：众数为200元 23个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为220. 中位数为220元 平均数为(2 2001 5001 1002 000100)236 90023300(元),(2)虽然平均数为300元/周，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该公司的工资水平,一点通1深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用2如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；
5、反之，说明数据中存在许多较小的极端值在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策,3平均数对极端值敏感，而中位数对极端值不敏感因此两者结合，可较好地分析总体的情况,1甲、乙两台机床同时生产一种零件，现要检验它们的 运行情况，统计10天中两台机床每天出次品数分别为甲：0,1,0,2,2,0,3,1,2,4；乙：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则从平均数考虑，甲、乙两台机器出次品数较小的为( ) A甲 B乙 C相同 D不能比较,答案：B,2高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次 语文测验中，男同学的平均分是82分，中位
6、数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分 (1)求这次测试全班平均分(精确到0.01)； (2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？ (3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因,至少有11人得分不超过80分 全班至少有25人得分低于80分(含80分) (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大.,例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的
7、平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定 思路点拨 先求平均数，再由方差公式求方差最后判定质量的稳定性,一点通 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准差)标准差越大，说明数据的离散性越大；标准差越小，说明数据的离散性越小或数据越集中、稳定,3为了稳定市场，确保农民增收，某农产品7月份的 每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前6个月的市场收购价格：,答案：B,4如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶 中心的圆面为10环，靶中各数
8、字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次 (1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来； (2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较,解：(1),例3 某中学举行电脑知 识竞赛，现将高一参赛学 生的成绩进行整理后分成 五组绘制成如图所示的频 率分布直方图，已知图中从 左到右的第一、二、三、四、 五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.,求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数 (2)高一参赛学生的平均成绩 思路点拨 根据数字特征在直方图中的求法求解,精解详析 (1)由图可知众数为65， 又第一个小矩形的面积为0.3， 设中位数为
9、60x，则0.3x0.040.5，得x5， 中位数为60565. (2)依题意，平均成绩为 550.3650.4750.15850.1950.0567， 平均成绩约为67.,一点通1利用频率分布直方图估计数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点(2)中位数左右两侧直方图的面积相等(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标2利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致,52010年3月，十一届全国人 大三次会议在北京隆重召 开，针对中国的中学教育 现状，现场的2 500名人大 代表对其进行了综合评分， 得到了如图的频率分布直方图根据频率分布直方图，估计综合
10、评分的平均分为 ( ),A82分 B82.2分 C82.8分 D83分,答案：B,6从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如 下的频率分布直方图,由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数 (2)这50名学生的平均成绩,解：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数在直方图中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75. 将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求 0.004100.006100.0210 0.040.060.20.3， 前三个小矩形面积的和为0.3.,而第四个小矩形面积为0.03100.3,0.
11、30.30.5， 中位数应位于第四个小矩形内 设其底边为x，高为0.03，令0.03x0.2得x6.7， 故中位数应为706.776.7. (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可,平均成绩为45(0.00410)55(0.00610)65(0.0210)75(0.0310)85(0.02110)95(0.01610)74， 综上，(1)众数是75，中位数约为76.7；(2)平均成绩均为74.,1平均数受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)影响大，因此若在数据中存在少量极端数据时，平均数对总体估计的可靠性较差，往往用众数或中位数去估计总体有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体,2用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似实际应用中，当所得数据平均数不同时，须先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况,点击下图片进入“应用创新演练”,
