1、第一章 数字逻辑基础,1-1 数制与编码,1-2 逻辑代数基础,1-3 逻辑函数的标准形式,1-4 逻辑函数的化简,小结,1-1 数制与编码,进位计数制,数制转换,数值数据的表示,常用的编码,1-2 逻辑代数基础,逻辑变量及基本逻辑运算,逻辑函数及其表示方法,逻辑代数的运算公式和规则,1-3 逻辑函数的标准形式,函数表达式的常用形式,逻辑函数的标准形式,1-4 逻辑函数的简化,代数法化简函数,图解法化简函数,逻辑函数简化中的几个实际问题,进位计数制,1、十进制,=3 102 + 3 101+ 3 100+ 3 10-1 +3 10-2,特点：1)基数10，逢十进一，即9+1=10,3)不同数位
2、上的数具有不同的权值10i。,4)任意一个十进制数，都可按其权位 展成多项式的形式,(333.33)10,位置计数法,按权展开式,(N)10=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)10,2)有0-9十个数字符号和小数点，数码K i从0-9,=Kn-1 10n-1+K1101+K0100+K-1 10-1+K-m 10-m,返 回,数基,表示相对小数点 的位置,返 回,常用数制对照表,返 回,数 制 转 换,十进制,非十进制,非十进制,十进制,二进制,八、十六进制,八、十六进制,二进制,十进制与非十进制间的转换,非十进制间的转换,返 回, 整数部分的转换,十进制转换成二进制,除基取余法：用目
3、标数制的基数（R=2）去除十进制数，第一次相除所得余数为目的数的最低位 K0，将所得商再除以基数，反复执行上述过程，直到商为“0”，所得余数为目的数的最高位Kn-1。,例：（81）10=（？）2,得：（81）10 =（1010001）2,40,20,10,5,2,0,1,K0,0,K1,0,K2,0,K3,1,K4,0,K5,1,K6,1,返 回,小数部分的转换,十进制转换成二进制,乘基取整法：小数乘以目标数制的基数（R=2），第一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位K-1，将其小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止（即根据设备字长限制，取有
4、限位的近似值）。,例： （0.65）10 =( ? )2 要求精度为小数五位。,0.65,K-1,0.3,K-2,0.6,K-3,0.2,K-4,0.4,K-5,0.8,由此得：(0.65)10=(0.10100)2,综合得：(81.65)10=(1010001.10100)2,返 回,如2-5，只要求到小 数点后第五位,十进制,二进制,八进制、十六进制,非十进制转成十进制,方法：,例：,返 回,返 回,非十进制间的转换, 二进制与八进制间的转换,从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每三位分为一组，不足三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，即
5、得目的数。,例8： 11010111.0100111 B = ? Q,11010111.0100111 B = 327.234 Q,11010111.0100111,小数点为界,0,00,7,2,3,2,3,4,返 回,非十进制间的转换, 二进制与十六进制间的转换,从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每四位分为一组，不足四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数。,例9： 111011.10101 B = ? H,111011.10101 B = 3B.A8 H,111011.10101,小数点为界,00,000,B,3,A,8,数值
6、数据的表示,一、真值与机器数,二、带符号二进制数的代码表示,1. 原码X原：,符号位,+,尾数部分（真值）,原码的性质：,返 回,数值数据的表示,2. 反码X反：,符号位,+,尾数部分, 反码的性质,正数：尾数部分与真值形式相同,负数：尾数为真值数值部分按位取反,X2 = -4,X1反 = 00000100,X2反 = 11111011,3、补码X补：,符号位,+,尾数部分,正数：尾数部分与真值同即X补 = X正,负数：尾数为真值数值部分按位取反加1 即X补 = X反 + 1,返 回,补码的性质：,数值数据的表示,符号位,+ 尾数,应用：,两个符号位（S1S0）都作为数值一起参与运算，运算结果
7、的符号如两个符号位相同，结果正确；不同则溢出。,判断是否有溢出,方法：,4、变形补码X变补：,常用编码,常用的编码：, 自然二进制码,常用四位自然二进制码，表示十进制数0-15，各位的权值依次为23、22、21、20。, 格雷码,2.编码还具有反射性，因此又可称其为反射码。,1.任意两组相邻码之间只有一位不同。注：首尾两个数码即最小数0000和最大数1000之间也符合此特点，故它可称为循环码,返 回,常用的编码：,（二）二十进制BCD码, 有权码,有权码表示十进制数符： D = b3w3 + b2w2 + b1w1 + b0w0 + c 偏权系数c = 0时为有权码。,1 8421BCD（NB
8、CD）码,2 7 6 . 8 010 0111 0110 1000,例：（276.8）10 =（ ？ ）NBCD,（276.8）10 =（0010011101101000）NBCD,常用编码,返 回,常用的编码：, 无权码,2.其它有权码,1 .余3码,余3码中有效的十组代码为00111100代表十进制数0-9,2 .其它无权码, 字符编码,ASCII码：七位代码表示128个字符 96个为图形字符 控制字符32个。,常用编码,返 回,1-2 逻辑代数基础,逻辑变量及基本逻辑运算,逻辑函数及其表示方法,逻辑代数的运算公式和规则,逻辑变量及基本逻辑运算,一、逻辑变量,取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和
9、逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态,二、基本逻辑运算,与运算,或运算,非运算,返 回,与逻辑真值表,与逻辑关系表,与逻辑,开关A,开关B,灯F,断 断 断 合 合 断,合 合,灭 灭 灭,亮,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,0,只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生,或逻辑真值表,或逻辑, 1,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,1,0,F= A + B+ .+ N,返 回,返 回,非逻辑,非逻辑真值表,1,A,F,0,1,1,0,三、复合逻辑运算,与非逻辑运算,或非逻辑运算,与或非逻辑运算,异或运算,A,B,F,
10、1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,0,0,=1,同或运算,返 回,0V,3V,工作原理, A、B中有一个或一个以上为低电平0V, 只有A、B全为高电平3V，,二极管与门电路,0V,3V,3V,3V,A,B,F,3V,返 回,（四）正逻辑与负逻辑,则输出F就为低电平0V,则输出F才为高电平3V,A,B,F,VL VL,VL,VL,VH,VL,VL VH,VH VL,VH VH,电平关系,正逻辑,负逻辑,正与 = 负或,正或 = 负与,正与非 = 负或非,正或非 = 负与非, 在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去掉小圈，当一根线上有两个小圈，则无需画圈, 原来的符号互换（与或、同或异或
11、）,返 回,（四）正逻辑与负逻辑,（与门）,（或门）,逻辑函数及其表示方法,一、逻辑函数,用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量A、B、C、.连接起来，所得的表达式F = f（A、B、C、.）称为逻辑函数。,二、逻辑函数的表示方法,真值表,逻辑函数式,逻辑图,波形图,取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑态,F,断“0”,合“1”,亮“1”,灭“0”,0,0,0,0,1,1,0, 挑出函数值为1的项,1, 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项, 这些乘积项作逻辑加,返 回,返 回,逻辑代数的运算公式和规则, 公理、定律与
12、常用公式,公理,交换律,结合律,分配律,0-1律,重叠律,互补律,还原律,反演律,0 0 = 0,0 1 =1 0 =0,1 1 = 1,0+ 0 = 0,0+ 1 =1 + 0 =1,1+ 1 = 1,A B = B A,A+ B = B + A,(A B) C = A (B C),(A+ B)+ C = A+ (B+ C),自等律,A ( B+ C ) = A B+ A C,A+ B C =( A+ B) (A+ C ),A 0=0 A+ 1=1,A 1=A A+ 0=A,A A=A A+ A=A,吸收律,消因律,包含律,合并律,A+A B=A+B A (A+B)=A,证明方法,A B,1
13、,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,返 回,等式右边,公式可推广：,返 回,逻辑代数的运算公式和规则, 三个基本运算规则,任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立,得,由此反演律能推广到n个变量：,利用反演律,基本运算规则,对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：, 若把式中的运算符“.”换成“+”, “+” 换成“.”;, 常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；, 原变量换成反变量，反变量换成原变量,那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。,注：, 保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入括号, 不
14、属于单个变量上的非号有两种处理方法, 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换, 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变,F(A、B、C),其反函数为,或,返 回,基本运算规则,对于任意一个逻辑函数，做如下处理：,1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；,2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”,得到新函数式为原函数式F的对偶式F，也称对偶函数, 对偶规则：,如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即 若 F1 = F2 则F1= F2。使公式的数目增加一倍。, 求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。,注：, 函数式中有“”和“”运算符，求反函
15、数及对偶函数时，要将运算符“”换成“”， “”换成“”。,其对偶式,返 回,1-3 逻辑函数的标准形式,函数表达式的常用形式,逻辑函数的标准形式,函数表达式的常用形式, 五种常用表达式,F(A、B、C),“与或”式,“或与”式,“与非与非”式,“或非或非”式,“与或非”式, 表达式形式转换,返 回,利用还原律,利用反演律,逻辑函数的标准形式,n个变量有2n个最小项，记作mi,3个变量有23（8）个最小项,m0,m1,000,001,0,1,n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）,一、 最小项和最大项,最小项,二进制数,十进制数,编号
16、,0 0 1,A B C,0 0 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,三变量的最小项,最小项的性质：, 同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0。即mimj=0 (ij), 全部最小项之和为1，即, 最大项,n个变量有2n个最大项，记作i,n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）, 同一组变量取值任意两个不同最大项的和为1。即Mi+Mj=1 (ij), 全部最大项之积为0，即, 任意一组变量取值，只有一个最大 项的值为0，其它最大项的值均为1,返 回, 最小项与最大项的关系,相同编号的最小项和最
17、大项存在互补关系,即:,mi =,Mi,Mi =,mi,若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。,=,=,返 回,逻辑函数的标准形式,解：F(A、B、C、D), 从真值表找出F为1的对应最小项,解:, 然后将这些项逻辑加,F(A、B、C),1-4 逻辑函数的简化,代数法化简函数,图解法化简函数,逻辑函数简化中的几个实际问题, 逻辑电路所用门的数量少, 每个门的输入端个数少, 逻辑电路构成级数少, 逻辑电路保证能可靠地工作,逻辑函数的简化,返 回,最简式的标准, 首先是式中乘积项最少, 与或表达式的简化,代数法化简函数,与门的输入端个数少, 消项：
18、 利用A + AB = A消去多余的项AB,代数法化简函数,解：, 或与表达式的简化,返 回,图形法化简函数, 卡诺图（K图）,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,B,AB,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,A,BC,0,1,00,01,11,10,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,图形法化简函数, k图为方形图。n个变量的函数-k图有2n个小方格，分别对应2n个
19、最小项；, k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。, 有三种几何相邻：邻接、相对（行列两端）和对称（图中以0、1分割线为对称轴）方格均属相邻, 几何相邻的2i（i = 1、2、3n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含（n - i）个变量的积项标注该圈。,动画,返 回,图形法化简函数, 与或表达式的简化, 先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小项对应的方格填1，其它填0。, 合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。, 每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则, 最后将全部积项
20、逻辑加即得最简与或表达式,返 回, 根据函数填写卡诺图,1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0。,2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。,例子,3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。,例子, 作圈的步骤,1、孤立的单格单独画圈,2、圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项,3、含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项,图形法化简函数,返 回,例1：直接给出函数的真值表求函数的最简与或式。,见例1,例2：直接给出函数的复杂的运算式。,见例2,例4：含有无关项的函数的化简。,图形法化
21、简函数,返 回, 含有无关项的函数的化简, 填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内填任意符号“”、“d或“”。,处理方法：,对于变量的某些取值组合，所对应的函数值是不定。通常约束项和任意项在逻辑函数中统称为无关项, 化简时可根据需要视为“1”也可视为“0”，使函数化到最简。,例子,图形法化简函数,返 回,逻辑函数简化中的几个实际问题, 具有多输出端电路的简化, 只允许原变量输入的逻辑电路的简化,返 回, 几种常用的数制：二进制、八进制、十六进制和十进制以及相互间的转换, 码制部分：自然二进制码、格雷码、和常用的BCD码,任意一个R进制数按权展开：, 带符号数在计算机中的三种基本表示方法：原码、反码和补码， 运算结果的正确性以及溢出的性质：利用变形补码可判断机器。, 逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、卡诺图和时序图, 分析和设计逻辑电路的重要数学工具：布尔代数,解：,AB,AC,图形法化简函数,例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图,1,1,1,图形法化简函数,例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图,1,1,1,F=,+,得：,图形法化简函数,解：, 填函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1, 化简,不考虑约束条件时：,考虑约束条件时：,解：,AC,AD,BC,化简得：,最简与非与非式为：,图形法化简函数,
