1、数据结构,7.1 图的定义和术语,第七章 图,7.2 图的存储结构,7.3 图的遍历,7.4 图的连通性问题,7.5 有向无环图的应用,数学家欧拉曾经解决过著名的七桥问题：城市中有一条河，河中有A、D两个岛，河上有七座桥来连接两个岛及河的B、C两岸，问：能否刚好经过每座桥一次，既无重复也无遗漏？,在线性结构中，数据元素之间仅具有线性关系； 在树结构中，结点之间具有层次关系； 在图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系。,不同结构中逻辑关系的对比,在线性结构中，元素之间的关系为前驱和后继； 在树结构中，结点之间的关系为双亲和孩子； 在图结构中，顶点之间的关系为邻接。,不同结构中逻辑关系的对比,7.
2、1 图的定义和术语,一.图的定义,例1 G1= V1=v1,v2,v3,v4 ,v5 E1=(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v4),(v3,v5),G1图示,无序对(vi,vj)： 用连接顶点vi、vj的线段 表示，称为无向边；,无向图：在图G中，若所有边是无向边，则称G为无向图；,例2 G2= V2=v1,v2,v3,v4 E2=(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4),G2图示,完全图：若具有n个结点的无向图,其边数达到最大值 n(n-1)/2,则称图为完全图；,例3 G3= V3=v1,v2,v
3、3,v4 E3=, , , ,G3图示,有序对 ： 用以为vi起点、以vj为终点 的有向线段表示，称为有向 边或弧；,有向图：在图G中，若所有边是有向边，则称G为有向图； 有向完全图:具有n(n-1)条弧的有向图。,例1 交通图（公路、铁路）顶点：地点边：连接地点的公路交通图中的有单行道双行道，分别用有向边、无向边表示； 例2 电路图顶点：元件边：连接元件之间的线路 例3 通讯线路图顶点：地点边：地点间的连线 例4 各种流程图如产品的生产流程图顶点：工序边：各道工序之间的顺序关系,1.顶点的度,对于有向图而言, 有:顶点的出度:以顶点v为出发点的边的数目,记为OD(v)。顶点的入度:以顶点v
4、为终止点的边的数目,记为ID(v)。顶点的度： TD(v) = OD(v) + ID(v) 对于无向图而言，有：顶点的入度=顶点的出度 图的度为图中结点度的最大值。,2. 路径和回路,无向图D=(V,E)中的顶点序列v1,v2, ,vk,若(vi,vi+1)E(i=1,2,k-1), v =v1, u =vk, 则称该序列是从顶点v到顶点u的路径；若v=u，则称该序列为回路；有向图D=(V,E)中的顶点序列v1,v2, ,vk, 若E ( i=1,2,k-1), v =v1, u =vk, 则称该序列是从顶点v到顶点u的路径；若v=u，则称该序列为回路；,3.子图,图1,图2,图3,4. 连通
5、图和连通分量,在无向图G=（V, E）中，若对任何两个顶点v、u都存在从v到u的路径，则称G是连通图。,非连通图的极大连通子图称为连通分量。,连通图,非连通图,是子图； 子图是连通的； 连通子图含有极大顶点数； 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。,5. 强连通图和强连通分量,在有向图G=( V, E )中，若对任何两个顶点v、u都存在从v到u的路径，则称G是强连通图。,强连通图,非强连通图的极大强连通子图称为强连通分量。,非强连通图,观察：强连通分量中一般存在回路；划分后可能会丢掉一些弧，但顶点不能丢。,6.生成树,极小连通子图：该子图是G的连通子图，在该子图 中删除任何一条
6、边，子图不再连通。,若T是G的生成树当且仅当T满足如下条件：T是G的连通子图T包含G的所有顶点T中无回路,说明,6.生成树,一棵有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，但有n-1条边和n个顶点的图不一定是生成树。,如果一个图有n个顶点和少于n-1条边，则该图一定不是连通图。,说明,如果一个图有n个顶点和多于n-1条边，则该图一定有环。,6.生成树,画出下图的生成树：,规律：一棵有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边。,7.2 图的存储结构,一.数组表示法（邻接矩阵）,7.2 图的存储结构,一.数组表示法（邻接矩阵）,7.2 图的存储结构,无向图数组表示法特点,无向图邻接矩阵是对称矩阵，同一条边表示
7、了两次；,顶点v的度：等于二维数组对应行（或列）中1的个数；,一.数组表示法（邻接矩阵）,7.2 图的存储结构,无向图数组表示法特点,判断两顶点v、u是否为邻接点：只需判断二维数组对应分量是否为1；,顶点不变，在图中增加、删除边：只需对二维数组对应分量赋值1或清0；,一.数组表示法（邻接矩阵）,7.2 图的存储结构,无向图数组表示法特点,设存储顶点的一维 数组大小为m, G占用存储空间:m+m2,G占用存储空间只与它的顶点数有关，与边数无关，适用于边稠密图。,一.数组表示法（邻接矩阵）,7.2 图的存储结构,有向图数组表示法特点,有向图的邻接矩阵的第i行元素1的个数为第i个顶点的出度;第i列元
8、素1的个数为第i个顶点的入度。,一.数组表示法（邻接矩阵）,7.2 图的存储结构,网的邻接矩阵是满足如下条件的n阶矩阵：,#define INFINITY INT_MAX /最大值 #define MAX_VERTEX_NUM 20 /最大顶点个数 typedef enum DG,DN,UDG,UDN GraphKind; /图种类有向图，有向网，无向图，无向网 typedef struct ArcCell /边(弧)信息 VRType adj; /图取值0或1，网取值InfoType *info; /弧相关信息指针ArcCell, AdjMatrixMAX_VERTEX_NUMMAX_VER
9、TEX_NUM; typedef struct VertexType vexsMAX_VERTEX_NUM; /存储顶点的一维数组AdjMatrix arcs; /存储邻接矩阵的二维数组int vexnum, arcnum; /图的当前顶点数和弧数GraphKind kind; /图的种类标志 Mgraph;,一.数组表示法（邻接矩阵）,161页,设G是Mgraph 类型的变量，用于存储无向图，该图有n个顶点，e条边G的图示如下：,一.数组表示法（邻接矩阵）,status CreateUDN(MGraph ,162页,优点：容易实现图的操作，如：求某顶点的度、判断顶点之间是否有边（弧）、找顶点
10、的邻接点等等。缺点：n个顶点需要n*n个单元存储边(弧);空间效率为O(n2)。对稀疏图而言尤其浪费空间。,一.数组表示法（邻接矩阵）,二.邻接表,1 . 无向图的邻接表,顶点：通常按编号顺序将顶点数据存储在一维数组中； 关联同一顶点的边：用线性链表存储,例,二.邻接表,1 . 无向图的邻接表,表头结点,边(弧)结点,data：顶点信息,firstarc：指向关联该顶点的第一条边(弧)链表,adjvex：边(弧)的另一顶点的在数组中的位置,nextarc：指向下一条边(弧)结点的指针,Info,Info：该弧的相关信息的指针,二.邻接表,#define MAX_VERTEX_NUM 20 ty
11、pedef struct ArcNode /边(弧)结点的类型定义int adjvex; /该弧所指向顶点的位置 struct ArcNode *nextarc;InfoType *info; /该弧相关信息的指针 ArcNode; typedef struct VNode /表头结点的类型定义VertexType data; /顶点信息ArcNode * firstarc; VNode, AdjListMAX_VERTEX_NUM; typedef struct AdjList vertices; /顶点数组int vexnum, arcnum; /图的当前顶点数和弧数int kind; /
12、图的种类标志 ALGraph;,设G是ALGraph 类型的变量，用于存储无向图G，该图有n个顶点，e条边。G的图示如下：,无向图G,G.vertices G.vexnumG.arcnumG.kind,V1 V2 V3 V4 V5,5 6 UDG,2,data firstarc,adjvex nextarc,1）在G邻接表中，同一条边对应两个结点； 2）顶点v的度：等于v对应线性链表的长度； 3）判定两顶点v ，u是否邻接：要看v对应线性链表中有无对应的结点； 4）在G中增减边：要在两个单链表插入、删除结点； 5）设存储顶点的一维数组大小为m, 图的边数为e，G占用存储空间为：m+2*e。G占
13、用存储空间与G的顶点数、边数均有关；适用于边稀疏的图；,说明,二.邻接表,2 . 有向图的邻接表,顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为起点的弧：用线性链表存储,D.verticesD.vexnumD.arcnuD.kind,V1 V2 V3 V4,4 4 DG,0,1,2,3,二.邻接表,3 . 有向图的逆邻接表,顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为终点的弧： 用线性链表存储表,D.vertices D.vexnumD.arcnuD.kind,V1 V2 V3 V4,4 4 DG,0,1,2,3,优点：空间效率高；容易寻找顶点的邻接点。缺点：判断两顶点间是否有边或弧，需
14、搜索两结点对应的单链表，没有邻接矩阵方便。,二.邻接表,自学：十字链表表示法,164页,三.有向图邻接表的构造,A,B,L,M,C,F,D,E,G,H,J,K,I,13,13 ABCDEFGHIGKLM AB AC AF AL BM DE GH GI GK HK JL JM LM,例,.txt 文件,data firstarc,data firstarc,G.verG.vexnumG.arcnum,1234513,A B C D E,13 13,M,12,adjvex nextarc,6,3,12,13,12,5,在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的 倍。,A. 1/2 B. 1 C. 2 D. 4,练习,3. 一个n个顶点的无向图最多有 边。,A. n B. n(n-1) C. n(n-1)/2 D. 2n,练习,
