1、2013,第4章 交流电路分析,4.1 正弦交流电的基本概念,正弦量：随时间按正弦规律做周期变化的量。,+,_,正半周,负半周,正弦交流电的优越性： 便于传输；易于变换； 便于运算； 有利于电器设备的运行； . . . . .,4.1.1 瞬时值、幅值和有效值,设正弦交流电流：,幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。,幅值：瞬时值中的最大值，Im、Um。,幅值必须大写, 下标加 m。,瞬时值,4.1.1 瞬时值、幅值和有效值,有效值：工程上用来衡量正弦量大小的物理量。,定义：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。,则有,交流,直流,有效值 必须大写,同理：,注意：交流电压、电流表测量数
2、据为有效值。,交流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值。,4.1.2 周期、频率和角频率,周期T：正弦量变化一周所需的时间 （s）,频率f：每秒钟变化的周期数 （HZ）,角频率：每秒钟变化的弧度数 （rad/s）,三者之间的关系：,4.1.3 相位、初相位和相位差,初相位： t =0时的相位， 。 决定计时起点t=0时正弦量的大小， 。 计时起点不同，初相位也不同。,相位差 ： ，两同频率的正弦量之间的初相位之差。 与计时起点无关。,则：,若,电压超前电流,若,电压滞后电流,电压与电流同相,若,4.1.3 相位、初相位和相位差,电压与电流正交,若,电压与电流反相,若,设：,，,则：, 不同频率的
3、正弦量比较无意义。, 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。,4.1.3 相位、初相位和相位差,4.2 正弦量的相量表示,正弦量的表示方法,瞬时值表达式,前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。,波形图,相量,4.2.1 复 数,1. 复数的表示形式,A=a+jb 代数式 a=ReA b=ImA,A=|A|(cos +j sin ) 三角函数式|A| ：A的模， ：幅角,A=|A|ej 指数式,4.2.1 复 数,2. 复数的运算,1）复数的加减运算,A1=a1+jb1 ， A2=a2+jb2 A1A2=（a1a2）+ j（b1b2）,2）复数的乘除运算,A1=|A1|ej1
4、 ， A2=|A2|ej2 A1A2=|A1|A2|ej (1+ 2 ),4.2.2 正弦量的相量表示,令正弦量：,复数：,令：,则：, 复指数函数, 振幅（最大值）相量。,可以表示一个正弦量的复值常数称为相量。,4.2.2 正弦量的相量表示, 有效值相量, 振幅相量,上述表明，可以通过数学的方法，把一个实数域的正弦时间函数与一个复数域的复指数函数一一对应起来，而复指数函数的复常数部分是用正弦量的有效值（最大值）和初相结合成一个复数表示出来的。,4.2.2 正弦量的相量表示,相量图 在复平面上表示相量的图形。,简化表示,注：,1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。,2. 只有同频率的
5、正弦量才能画在一张相量图上，不同频率不行。,4.2.2 正弦量的相量表示,旋转因子, 旋转因子,4.2.2 正弦量的相量表示,同频率正弦量的相量运算,1. 同频率正弦量的加减法,设：,求：,2. 同频率正弦量的乘除法,4.2.2 正弦量的相量表示,设：,则：,3. 正弦量的微分运算,设：,4.2.2 正弦量的相量表示,4. 正弦量的积分运算,i的n重积分,例：已知瞬时值，求相量。,4.2.2 正弦量的相量表示,解：,4.2.2 正弦量的相量表示,提示,计算相量的相位角时，要注意所在象限。 如：,4.2.2 正弦量的相量表示,符号说明,瞬时值 - 小写,u、i,有效值 - 大写,U、I,相量 -
6、 大写 + “.”,振幅 - 大写+下标,4.2.2 正弦量的相量表示,4.2.3 KCL和KVL的相量表示,1. KCL的相量形式,KCL的时域形式：,KCL的相量形式：,KVL的时域形式：,KVL的相量形式：,2. KVL的相量形式,4.3 单一元件参数的正弦响应,4.3.1 电阻元件的交流电路,1. 电压与电流的关系,根据欧姆定律:,设：,其中:,4.3.1 电阻元件的交流电路,结论： 1、在电阻元件的交流电路中，电压和电流都是同频率的正弦量。 2、电压和电流同相。 3、电压的幅值（有效值）与电流的幅值（有效值）满足欧姆定律。 4、电压与电流的相量关系也满足欧姆定律：,4.3.1 电阻元
7、件的交流电路,1）瞬时功率p(t),2. 功率,4.3.1 电阻元件的交流电路,2）平均功率P（有功功率）,由于瞬时功率随时间而变化，故实用意义不大，在电工技术中，衡量元件消耗的功率是用瞬时功率在一个周期内的平均值来表示的，此即为平均功率。,3. 电能W,4.3.2 电感元件的交流电路,1. 电压与电流的关系,根据电感的伏安关系:,设：,其中:,4.3.2 电感元件的交流电路,结论：,1、在电感元件的交流电路中，电压和电流都是同频率的正弦量。,2、电压超前电流900。,3、电压的幅值（有效值）与电流的幅值（有效值）之比值为L。XL= L,称为感抗。, 电感L具有通直阻交的作用,4、电压与电流的
8、相量关系：,4.3.2 电感元件的交流电路,2. 功 率,1）瞬时功率p(t),2）平均功率P（有功功率）,L是非耗能元件,4.3.2 电感元件的交流电路,分析,储能,放能,储能,放能,电感L是 储能元件。,结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。,可逆的能量 转换过程,瞬时功率：,4.3.2 电感元件的交流电路,用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表征，即,3) 无功功率 Q,瞬时功率：,单位：乏（var）,4.3.2 电感元件的交流电路,(2)当 f = 5000Hz 时,所以电感元件具有通低频阻高频的特性。,解：,(1) 当 f = 50Hz 时,
9、1. 电压与电流的关系,则：,设：,根据电容的伏安关系:,其中:,4.3.3 电容元件的交流电路,4.3.3 电容元件的交流电路,结论：,1、在电容元件的交流电路中，电压和电流都是同频率的正弦量。,2、电压滞后电流900。,3、电压的幅值（有效值）与电流的幅值（有效值）之比值为1/C。XC= 1/C,称为容抗。,4、电压与电流的相量的关系：, 电容C具有隔直通交的作用,XC,交流：,4.3.3 电容元件的交流电路,2. 功 率,1） 瞬时功率p(t),2）平均功率P（有功功率）,C是非耗能元件,4.3.3 电容元件的交流电路,充电,放电,充电,放电,所以电容C是储能元件。,结论：纯电容不消耗能
10、量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。,瞬时功率 ：,分析,4.3.3 电容元件的交流电路,同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。,3) 无功功率 Q,单位：var,为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设,则：,单一参数正弦交流电路的分析计算小结,电路 参数,电路图 (参考方向),阻抗,电压、电流关系,瞬时值,有效值,相量图,相量式,功 率,有功功率,无功功率,R,i,u,设,则,u、 i 同相,0,L,C,设,则,则,u领先 i 90,0,0,基本 关系,+,-,i,u,+,-,i,u,+,-,设,u落后 i 90,4.4 RLC串联电路的正弦响应,4.4.1 电压和电流关系,设:,（
11、参考相量）,则:,根据:,令:,则,阻抗,复数形式的 欧姆定律,其中：R是电阻分量，X是电抗分量 （欧姆）,Z 的模表示 u、i 的大小关系，幅角（阻抗角）为 u、i 的相位差。,4.4.1 电压和电流关系,Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。,注意,阻抗模：,阻抗角：,4.4.1 电压和电流关系,电路参数与电路性质的关系：,4.4.1 电压和电流关系,相量图,( 0 感性),XL XC,参考相量,( 0 容性),XL XC,由电压三角形可得:,电压 三角形,4.4.1 电压和电流关系,相量图,电压 三角形,阻抗 三角形,由相量图可求得:,由阻抗三角形：,4.4.1 电压和电流关系,4.4
12、.2 功率,1. 瞬时功率,设：,常量,两倍于原频率的正弦量,4.4.2 功率,2. 平均功率P （有功功率）,单位: W,总电压,总电流,u 与 i 的夹角,4.4.2 功率,根据电压三角形可得：,3. 无功功率Q,单位：var,总电压,总电流,u 与 i 的夹角,根据电压三角形可得：,4.4.2 功率,4. 视在功率 S,电路中总电压与总电流有效值的乘积。,单位：VA,注： SNUN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。,4.4.2 功率,阻抗三角形、电压三角形、功率三角形,将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形,将电压三角形的有效
13、值同乘I得到功率三角形,4.4.2 功率,解：,4.4.2 功率,方法1：,(1),4.4.2 功率,(2),4.4.2 功率,通过计算可看出：,而是,(3) 相量图,(4),或,4.4.2 功率,(4),或,呈容性,方法2：复数运算,4.5 一般正弦交流电路的分析,4.5.1 阻抗的串、并联,1. 阻抗串联,通式:,分压公式：,4.5.1 阻抗的串、并联,2. 阻抗并联,通式:,分流公式：,4.5.2 一般正弦交流电路的分析,一般情况下正弦交电路的响应有两部分构成：稳态响应和瞬态响应，而我们所讨论的主要是前者。,对于线性电路，如果激励都是同一频率的正弦量，那么稳态响应也将是与激励频率相同的正
14、弦量。发生改变的只是振幅和相位。,故引入相量来表示正弦量，把时域的问题转到复数域求解，最后再将结论转换到时域，避免了在时域求解正弦激励条件下微分方程的麻烦。,4.5.2 一般正弦交流电路的分析,1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变),2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图,3、用相量法或相量图求解,4、将结果变换成要求的形式,4.5.2 一般正弦交流电路的分析,解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程,代入已知数据，可得：,4.5.2 一般正弦交流电路的分析,4.5.2 一般正弦交流电路的分析,4.5.2 一般正弦交流电路的分析,解：(1)断开Z3支路，求开路电压,(2)求等效内阻抗,4
15、.5.2 一般正弦交流电路的分析,解题方法有两种：,(1) 用相量(复数)计算,(2) 利用相量图分析求解,4.5.2 一般正弦交流电路的分析,解法1: 用相量计算,所以A读数为 10安,4.5.2 一般正弦交流电路的分析,解法2: 利用相量图分析求解,画相量图如下：,设 为参考相量,由相量图可求得：,I =10 A,超前,滞后,UL= I XL =100V,V =141V,由相量图可求得：,设 为参考相量,4.5.2 一般正弦交流电路的分析,超前,4.5.3 正弦交流电路中功率的计算,1. 由部分到整体,无源二端网络内部各元件上的 有功功率PK、无功功率QLK和QCK。,2. 归一法,4.5
16、.3 正弦交流电路中功率的计算,4.6 功率因素的提高,1. 功率因数 :对电源利用程度的衡量。,的意义：电压与电流的相位差，阻抗角,时,电路中发生能量互换,出现无功,当,功率,这样引起两个问题:,4.6 功率因素的提高,(1) 电源设备的容量不能充分利用,若用户： 则电源可发出的有功功率为：,无需提供的无功功率。,若用户： 则电源可发出的有功功率为：,而需提供的无功功率为:,所以 提高 可使发电设备的容量得以充分利用。,4.6 功率因素的提高,(2) 增加线路和发电机绕组的功率损耗,(费电),所以要求提高电网的功率因数对国民经济的发展有重要的意义。,设输电线和发电机绕组的电阻为 :,所以提高
17、 可减小线路和发电机绕组的损耗。,2. 功率因数cos 低的原因,日常生活中多为感性负载-如电动机、日光灯，其等效电路及相量关系如下图。,4.6 功率因素的提高,常用电路的功率因数,4.6 功率因素的提高,3. 功率因数的提高,提高功率因数的原则：必须保证原负载的工作状态不变。即加至负载上的电压和负载的有功功率不变。,(2) 提高功率因数的措施:,在感性负载两端并电容,4.6 功率因素的提高,结论,并联电容C后：,(2) 原感性支路的工作状态不变:,不变,感性支路的功率因数,不变,感性支路的电流,(3) 电路总的有功功率不变,因为电路中电阻没有变。,4.6 功率因素的提高,4. 并联电容值的计
18、算,又由相量图可得：,即:,4.6 功率因素的提高,4.6 功率因素的提高,即,即,4.6 功率因素的提高,求并C前后的线路电流,并C前:,并C后:,可见 : cos 1时再继续提高，则所需电容值很大（不经济），所以一般不必提高到1。,4.7 谐振电路,在同时含有L 和C 的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。,谐振的概念：,研究谐振的目的：1、在生产上充分利用谐振的特点 (如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用) 2、另一方面又要预防它所产生的危害。,4.7.1 串联谐振,即,谐振条件：,1. 谐振条件,或：,谐振时
19、的角频率,2. 谐振频率,根据谐振条件：,4.7.1 串联谐振,或,或：,可得谐振(角)频率为：,电路发生谐振的方法：,(1)电源频率 f 一定，调参数L、C 使 fo= f ；,(2)电路参数LC 一定，调电源频率 f，使 f = fo,3. 串联谐振特征,4.7.1 串联谐振,当电源电压一定时：,(2) 电流最大,电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗， 和 相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。,(4) 电压关系,电阻电压：UR = R Io = U,大小相等、相位相差180,电容、电感电压：,4.7.1 串联谐振,当 时,有：,UC 、UL将大于 电源电压U,令：,4.7.1 串联谐振,
20、所以串联谐振又称为电压谐振。,相量图：,如Q=100,U=220V,则在谐振时,所以电力系统应避免发生串联谐振。,4.7.1 串联谐振,4.7.1 串联谐振,4. 谐振曲线,容性,感性,4.7.1 串联谐振,(2) 谐振曲线,电流随频率变化的关系曲线。,谐振电流,分析：,Q大,Q小,电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力 称为选择性。,Q值越大，曲线越尖锐，选择性越好。,4.7.1 串联谐振,通频带：,Q大,谐振频率,上限截止频率,下限截止频率,通频带宽度越小(Q值越大)，选择性越好，抗干扰能力越强。,4.7.1 串联谐振,5. 串联谐振应用举例,接收机的输入电路,3个不同电台(不同频率)
21、的电动势信号,4.7.1 串联谐振,已知：,解：,若要收听 节目，C 应配多大？,则：,结论：当 C 调到 204 pF 时，可收听到 的节目。,(1),4.7.1 串联谐振,已知：,信号在电路中产生的电流 有多 大？在 C 上 产生的电压是多少？,(2),已知电路在,这时,所需信号被 放大了78倍,4.7.2 并联谐振,1. 谐振条件,实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有,则：,4.7.2 并联谐振,谐振条件：,或,2. 谐振频率,3. 并联谐振的特征,(1) 阻抗最大，呈电阻性,(当满足 0L R时),(2) 恒压源供电时，总电流最小；,恒流源供电时，电路的端电压最大。,4.7.2 并联谐
22、振,(3)支路电流与总电流 的关系,当 0L R时，,4.7.2 并联谐振,支路电流是总电流的 Q倍 电流谐振,相量图,4.7.2 并联谐振,相量图,解：利用相量图求解,由相量图可知电路谐振，则：,4.7.2 并联谐振,又：,正弦交流电的相量表示法,取复数A的实部和虚部分别用下列符号表示 ReA=a ImA=b复数可以在复平血上表示出来。直角坐标系中，横轴以+1为单位，称为实轴，纵轴以+j为单位，称为虚轴，实轴与虚轴构成的平血即复平血。复平血上的任何一点都与一个复数一一对应。一个复数A可以用一条从原点。指向A对应坐标点的有向线段(矢量)表示。矢量的长度r为复数的模，矢量与正实轴之间的夹角为复数
23、的辐角。在实轴上的投影为复数A的实部a，在虚轴上的投影为复数A的虚部b。它们之间的关系是,正弦交流电的相量表示法,因此,正弦交流电的相量表示法,根据欧拉公式得出,正弦交流电的相量表示法,代人式(3. 11)中，得出复数A的指数式，即为了简便，工程上又常将复数写成极坐标式，即两个复数在进行加减运算时，应采用直角坐标式(代数式)，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，得到一个新的复数。设两个复数则,正弦交流电的相量表示法,若两个复数相乘，通常采用指数式或极坐标式，两复数模相乘，辐角相加 设两个复数则两个复数相除，通常也采用指数式或极坐标式，两复数模相除，辐角相减，即,正弦交流电的相量表示法,下血讨论
24、如何用复数表示正弦量。矢量A以。角速度沿逆时针方向旋转，经时间t后，转过t角度。这时它在虚轴上的投影为可见正弦量可用这样的旋转复矢量的虚部表示 旋转复矢量用复时变函数表示取其虚部,正弦交流电的相量表示法,如前所述，在线性电路中，由某一频率的正弦电源在电路各处产生的正弦电流和电压的频率是相同的，各正弦量的角频率。也是相同的，故式(3. 12)中的旋转因子是共同的，与确定正弦量之间的关系无关，因此，可以取式(3. 12)中的复常数 来表示正弦量，并称之为正弦量的相量。把正弦量变换成相量来分析计算正弦交流电路的方法，称为相量法。相量是表示正弦量的复数，它的模等于所表示的正弦量的幅值，辐角等于正弦量的
25、初相位。,正弦交流电的相量表示法,由于相量是用来表示正弦交流电的复数，为了和一般的复数相区别，规定相量用上方加”的大写字母表示。例如，正弦电流 的相量为正弦量的大小通常用有效值计量，因此，用有效值作相量的模更方便，用有效值作模的相量称为有效值相量。相应地，用最大值作为相量模的相量称为最大值相量。有效值相量用表示正弦量有效值的大写字母上方加“”表示，可通过最大值相量除以 得，即,正弦交流电的相量表示法,例3. 4试分别写出下列3个正弦电流的最大值相量和有效值相量，并画出相量图解(1)最大值相量有效值相量,正弦交流电的相量表示法,(2)先把i2的余弦表达式变为正弦表达式，再写出相量最大值相量有效值相量,正弦交流电的相量表示法,(3)先把i3的余弦表达式变为正弦表达式，再写出相量最大值相量有效值相量这3个正弦电流的有效值相量的相量图如图3. 4所示。相量模为正弦量的有效值，相量与实轴正方向的夹角为正弦量的初相角,
