1、第四章 图形的认识 4.2 三角形及其全等,中考数学 (安徽专用),A组 20142018年安徽中考题组,五年中考,1.(2015安徽,8,4分)在四边形ABCD中,A=B=C,点E在边AB上,AED=60,则一定有 ( ) A.ADE=20 B.ADE=30 C.ADE= ADC D.ADE= ADC,答案 D 由三角形内角和等于180,AED=60,可得ADE=120-A,由四边形内角和为36 0,A=B=C,得ADC=360-3A,所以ADE= ADC,故选D.,解题关键 由三角形内角和为180与四边形内角和为360找出ADE和ADC分别与A之 间的关系是解题的关键.,思路分析 由三角形
2、内角和为180,AED=60可得ADE=120-A,再由四边形内角和为36 0,A=B=C可得ADC=360-3A,从而得到ADE与ADC的关系.,2.(2014安徽,23,14分)如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PMAB交 AF于M,作PNCD交DE于N. (1)MPN= ; 求证:PM+PN=3a; (2)如图2,点O是AD的中点,连接OM、ON.求证:OM=ON; (3)如图3,点O是AD的中点,OG平分MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形,并说明理由.图1,图2 图3,解析 (1)60. (2分) 证明:如图a,连接BE交MP于H点. 在正六边形
3、ABCDEF中,PNCD,又BECDAF,所以BEPNAF. 又PMAB,所以四边形AMHB、四边形HENP为平行四边形,BPH为等边三角形. 所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a. (5分)图a (2)证明:如图b,连接BE,由(1)知AM=EN. 又AO=EO,MAO=NEO=60,所以MAONEO.所以OM=ON. (9分)图b (3)四边形OMGN是菱形.理由如下:,图c,如图c,连接OE、OF,由(2)知MOA=NOE. 因为AOE=120,所以MON=AOE-MOA+NOE=120. (11分) 由于OG平分MON,所以MOG=60, 又FOA=60
4、,所以MOA=GOF. 又AO=FO,MAO=GFO=60,所以MAOGFO.所以MO=GO. 又MOG=60,所以MGO为等边三角形. 同理可证NGO为等边三角形,所以四边形OMGN为菱形. (14分),思路分析 对于(1)中的,连接BE交MP于H点,先证BPH为等边三角形,然后证明PM+PN= AB+BE即可;对于(2),连接BE,则BE过O点,下面只需证明MAONEO即可;对于(3),连接 OE、OF,由(2)知MOA=NOE,下面只需证明MAOGFO即可得MO=GO,又由MOG =60,得MGO为等边三角形,同理可证NGO为等边三角形,问题得解.,评析 本题是压轴题,综合性较强,每个小
5、问都需作出辅助线,然后利用数形结合、转化思想进 行求解,如(1)中的,将证明PM+PN=3a转化为AB+BE=3a,(3)中将问题转化为证明MGO与 NGO都为等边三角形,对学生的思维能力要求较高.,考点一 三角形的相关概念,B组 20142018年全国中考题组,1.(2017山东泰州,3,3分)三角形的重心是 ( ) A.三角形三条边上中线的交点 B.三角形三条边上高线的交点 C.三角形三条边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点,答案 A 三角形的重心是三角形三条边上中线的交点.,2.(2017湖南长沙,6,3分)一个三角形三个内角的度数之比为123,则这个三角形一定是 ( )
6、A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,答案 B 根据三角形的内角和为180,可知三个角分别为30、60、90,因此这个三角形是 直角三角形.故选B.,3.(2016湖南长沙,7,3分)若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是 ( ) A.6 B.3 C.2 D.11,答案 A 设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得7-3x7+3,即4x10,故选A.,4.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根, 则三角形的周长为 .,答案 16,解析 x2-10x+21=(x-3)(x-7)=0, x
7、1=3,x2=7, 3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长, 三角形的第三边长为7, 三角形的周长为3+6+7=16.,5.(2017陕西,12A,3分)如图,在ABC中,BD和CE是ABC的两条角平分线.若A=52,则1+ 2的度数为 .,答案 64,解析 BD平分ABC,CE平分ACB,1= ABC,2= ACB,又ABC+ACB=180 -A,21+22=180-A=128,1+2=64.,6.(2014湖南郴州,14,3分)如图,在ABC中,若E是AB的中点,F是AC的中点,B=50,则AEF= .,答案 50,解析 因为E、F分别为AB、AC的中点,所以EFBC,所以AEF=B=5
8、0.,7.(2016江苏南京,21,8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”. 如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角. 求证:BAE+CBF+ACD=360. 证法1: , BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540. BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3). , BAE+CBF+ACD=540-180=360. 请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.,解析 BAE+1=CBF+2=ACD+3=180; 1+2+3=180. 证法2:如图,过点A作射线AP,使APBD.APBD,CBF=PAB,ACD=EAP. BAE+PAB+EAP=360, BA
9、E+CBF+ACD=360.,1.(2017黑龙江龙东,3,3分)如图,BCEF,ACDF,添加一个条件 ,使得ABC DEF.,考点二 全等三角形的判定与性质,答案 AB=DE(或BC=EF或AC=DF),解析 BCEF,ACDF, ABC=DEF,BAC=EDF, 根据AAS或ASA知,只需有一组对应边相等即可.,2.(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下 列结论:ACBD;CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是 .,答案 ,解析 ABOADO, BAC=DAC,AOB=AOD,AB=AD. AOB+AOD
10、=180, AOB=90,ACBD,正确; AB=AD,BAC=DAC,AC=AC, ABCADC,正确; ABCADC,CB=CD,正确; DA与DC不一定相等,不正确.,3.(2015江西南昌,9,3分)如图,OP平分MON,PEOM于E,PFON于F,OA=OB,则图中有 对全等三角形.,答案 3,解析 根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到AOPBOP,EOPFOP, AEPBFP,所以题图中有3对全等三角形.,4.(2018内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,AB DE,且AB=DE. (1)求证:ABCDEF; (2)若EF=3,D
11、E=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.,解析 (1)证明:ABDE,A=D, AF=CD,AF+FC=CD+FC,即AC=DF, 又AB=DE,ABCDEF. (2) (过点E作EOCF于O, 由EF=3,ED=4,DEF=90,可得DF=5, 所以EO=2.4, 又四边形EFBC为菱形, 所以FO=CO=1.8, 所以AF=CD=5-3.6=1.4).,5.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一 点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=. (1)求证:APMBPN; (2)当MN=
12、2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.,解析 (1)证明:P为AB中点,PA=PB. 又A=B,MPA=NPB, APMBPN. (2)由(1)得PM=PN,MN=2PN, MN=2BN,PN=BN, =B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形, BPN和BNP都为锐角,又B=50, 40BPN90,即4090.,思路分析 (1)根据ASA可证明:APMBPN; (2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果; (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和
13、BNP都为锐角及B=50可得的 取值范围.肛,1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用 SSS求解.,2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的 另一边,利用SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解.,方法归纳 证明三角形全等的一般思路:,3.已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解.,6.(2017吉林,18,5分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:A=D.,证明 BE=CF
14、,BE+EF=CF+EF.BF=CE. (2分) 又B=C,AB=DC, ABFDCE. (4分) A=D. (5分),7.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90, 连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.图1,图2,解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形, ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE, ACEBCD,
15、AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE.,8.(2016重庆,19,7分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CEDF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.,证明 CEDF,ACE=D. 在ACE和FDB中, EC=BD,ACE=D,AC=FD, ACEFDB. AE=FB.,9.(2016四川南充,19,8分)已知ABN和ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,1=2. (1)求证:BD=CE; (2)求证:M=N.,证明 (1)在ABD和ACE中, ABDACE(SAS). (3分) BD=CE. (4分) (2)ABDACE, ADB=A
16、EC. (5分) 又MDO=ADB,NEO=AEC, MDO=NEO. (6分) MOD=NOE, 180-MDO-MOD=180-NEO-NOE, 即M=N. (8分),评析 本题考查了全等三角形的判定与性质,要根据题意选择合适的判定方法.,考点一 三角形的相关概念,C组 教师专用题组,1.(2016河南,6,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则 DE的长为 ( )A.6 B.5 C.4 D.3,答案 D 在ABC中,ACB=90,DE垂直平分AC, AD=DC,DEBC,E为AB的中点,DE= BC,BC= =6,DE= BC=3.故
17、选D.,2.(2015辽宁沈阳,4,3分)如图,在ABC中,点D是边AB上一点,点E是边AC上一点,且DEBC, B=40,AED=60,则A的度数是 ( )A.100 B.90 C.80 D.70,答案 C DEBC,AED=C.又AED=60,C=60.在ABC中,A+B+ C=180,B=40,C=60,A=180-B-C=180-40-60=80.故选C.,3.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在ABC中,B、C的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42, A=60,则BFC= ( )A.118 B.119 C.120 D.121,答案 C 在ABC中,ACB=180-A-ABC=1
18、80-60-42=78.BE、CD分别平分 ABC、ACB, FBC= ABC=21,FCB= ACB=39, BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.故选C.,评析 本题主要考查三角形的内角和定理,角平分线的概念,属容易题.,4.(2015贵州遵义,11,3分)如图,四边形ABCD中,C=50,B=D=90,E、F分别是BC、DC上 的点,当AEF的周长最小时,EAF的度数为 ( )A.50 B.60 C.70 D.80,答案 D 如图,作点A关于BC所在直线的对称点M,及关于CD所在直线的对称点N,连接MN, 分别交BC、DC于点E、F,此时AEF的周长最小.易知M=B
19、AE,N=DAF.在四边形 ABCD中,BAD=360-90-90-50=130,在AMN中,M+N=180-MAN=180-130=50, 所以BAE+DAF=50.所以EAF=130-50=80.故选D.,评析 本题考查了轴对称、四边形内角和、三角形内角和等知识,属中档题.,5.(2014江苏连云港,6,3分)如图,若ABC和DEF的面积分别为S1、S2,则 ( )A.S1= S2 B.S1= S2 C.S1=S2 D.S1= S2,答案 C 过点A作AMBC于点M,过点D作DNEF交FE的延长线于点N,S1= BCAM= 8 5sin 40,S2= EFDN= 58sin 40,所以S1
20、=S2,故选C.,6.(2014江西,14,3分)在RtABC中,A=90,有一个锐角为60,BC=6.若点P在直线AC上(不与 点A,C重合),且ABP=30,则CP的长为 .,答案 2 或4 或6,解析 图1中,ABC=60,BC=6,则AB=3,AC=3 ,又ABP=30,则AP= ,所以CP=2 或CP =4 ;图2中, ACB=60,ABP=30,CBP是等边三角形,CP=CB=6.图1 图2,7.(2016广东,19,6分)如图,已知ABC中,D为AB的中点. (1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法); (2)在(1)的条件下,若DE=4,求B
21、C的长.,解析 (1)如图.(2分) E点,DE即为所求. (3分) (2)DE是ABC的中位线,且DE=4, BC=2DE=24=8. (6分),评析 本题主要考查平面几何中尺规作图的基本方法(中点的作法),以及三角形中位线的性质.,8.(2015浙江杭州,21,10分)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三 边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.(1) 用记号(a,b,c)(abc)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位 长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角形; (2)用直尺和圆规作出三边
22、满足abc的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).,解析 (1)共九种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4). (2)只有a=2,b=3,c=4的一个三角形.如图的ABC即为满足条件的三角形.,1.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的 点A与PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE, AE就是PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABCADC,
23、这样 就有QAE=PAE.则说明这两个三角形全等的依据是 ( )A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS,考点二 全等三角形的判定与性质,答案 D 因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABCADC(SSS),故选D.,2.(2016福建福州,21,8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC. 求证:BAC=DAC.,证明 在ABC与ADC中, ABCADC(SSS). BAC=DAC.,3.(2015陕西,19,7分)如图,在ABC中,AB=AC.作ADAB交BC的延长线于点D,作AEBD、 CEAC,且AE、CE相交于点E.求证:AD=CE.
24、,证明 AEBD,EAC=ACB. AB=AC,B=ACB. EAC=B. (4分) 又BAD=ACE=90,ABDCAE. (6分) AD=CE. (7分),4.(2015江苏苏州,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方 画弧,设两弧交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD. (1)求证:AD平分BAC; (2)若BC=6,BAC=50,求 、 的长度之和(结果保留).,解析 (1)证明:由题意可知BD=CD, 在ABD和ACD中, ABDACD(SSS). BAD=CAD,即AD平分BAC. (2)AB=AC,BAC
25、=50, ABC=ACB=65. BD=CD=BC,BDC为等边三角形. DBC=DCB=60, DBE=DCF=55, BC=6,BD=CD=6. 的长度= 的长度= = . 、 的长度之和为 + = .,5.(2014江苏苏州,23,6分)如图,在RtABC中,ACB=90,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB.连接 CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE,连接EF. (1)求证:BCDFCE; (2)若EFCD,求BDC的度数.,解析 (1)证明:CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE, CD=CE,DCE=90. ACB=90, BCD=90-ACD=FCE. 在BCD和
26、FCE中, BCDFCE. (2)由BCDFCE得BDC=E. EFCD, E=180-DCE=90. BDC=90.,评析 本题考查全等三角形的判定及性质,平行线的性质,属容易题.,6.(2014浙江杭州,20,10分)把一条12个单位长度的线段分成三条线段,其中一条线段长为4个单 位长度,另两条线段长都是单位长度的整数倍. (1)不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形?用直尺和圆规作这些三角形(用 给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹); (2)求出(1)中所作三角形外接圆的周长.,解析 (1)12-4=8,长为8的线段可以分成如下两段:,不全等的三角形有两种,其三边分别为:
27、3,4,5;4,4,4. 当三边为3,4,5时,作图如图1.图1,图2 当三边为4,4,4时,作图如图2. (2)因为32+42=52, 所以三角形O1P1A1是直角三角形, 所以外接圆直径等于斜边长5, 所以外接圆的周长等于5. 因为三角形O2P2A2是等边三角形, 所以外接圆的直径等于2 4cos 30= , 所以外接圆的周长等于 .,7.(2014江苏南京,27,11分) 【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的 判定方法(即“HL”)后,我们继续 对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 【初步思考
28、】 我们不妨将问题用符号语言表示为:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E.然后,对 B进行分类,可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究. 【深入探究】 第一种情况:当B是直角时,ABCDEF; (1)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根据 ,可以知道RtABC RtDEF;,第二种情况:当B是钝角时,ABCDEF. (2)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是钝角.求证:ABC DEF;,第三种情况:当B是锐角时,ABC和DEF不一定全等.,(3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是
29、锐角,请你用尺规在图中作 出DEF,使DEF和ABC不全等;(不写作法,保留作图痕迹)(4)B还要满足什么条件,就可以使ABCDEF?请直接填写结论: 在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,若 ,则ABC DEF.,解析 (1)HL. (2分) (2)证明:如图,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足. ABC、DEF都是钝角, G、H分别在AB、DE的延长线上. CGAG,FHDH, CGA=FHD=90. CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH. 在BCG和EFH中, CGB=FHE,CBG=
30、FEH,BC=EF, BCGEFH. CG=FH. 又AC=DF, RtACGRtDFH. A=D.,在ABC和DEF中, ABC=DEF,A=D,AC=DF, ABCDEF. (6分)图,(3)如图,DEF就是所求作的三角形.图 (9分) (4)本题答案不唯一. BA. (11分),A组 20162018年模拟基础题组 考点一 三角形的相关概念,三年模拟,1.(2017安徽芜湖繁昌模拟)如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,且BNAN,垂足 为N,已知AB=6,BC=10,MN=1,则ABC的周长为 .,答案 24,解析 延长BN与AC相交于E点,因为AN平分BAC,且BNAN,所
31、以ABE为等腰三角形,所以 AE=AB=6,且N为BE的中点,又M为BC的中点,所以MN= CE,因为MN=1,所以CE=2,所以ABC 的周长为6+10+6+2=24.,2.(2016安徽合肥十校第二次联考,9)如图,在ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,B=5 0,A=26,将ABC沿DE折叠,点A的对应点是点A,则AEA的度数是 ( )A.145 B.152 C.158 D.160,答案 B D、E分别是AB、AC的中点, DEBC,AED=C. 又C=180-(A+B)=104, AED=104. 易得AEDAED, AED=AED=104. AEA=360-AED-AED=3
32、60-104-104=152.,3.(2016安徽安庆一模,18)如图,在等腰直角ABC中,ACB=90,AC=BC=2,点D是边AC的中 点,点E是斜边AB上的动点,将ADE沿DE所在的直线折叠得到A1DE. (1)当点A1落在边BC(含边BC的端点)上时,折痕DE的长是多少? (2)连接A1B,当点E在边AB上移动时,求A1B长的最小值.,解析 (1)点D到BC的距离是CD,且DC=DA=1, 当点A1落在边BC上时,点A1与点C重合,如图所示,此时DE所在的直线为AC的垂直平分线,即DE为ABC的中位线,DE= BC=1. (2)如图,连接BD,在RtBCD中,BD= = ,由A1DEA
33、DE得A1D=AD=1, 由A1B+A1DBD得A1BBD-A1D= -1,A1B长的最小值是 -1.,1.(2017安徽合肥长丰竞赛,5)如图,某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块,现在要到玻璃店去 配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )A.带去 B.带去 C.带去 D.带和去,考点二 全等三角形的判定与性质,答案 C 由全等三角形的判定,知满足“ASA”,故选C.,2.(2017安徽阜阳期末联考,13)如图所示,E=F=90,B=C,AE=AF.给出下列结论:1= 2;BE=CF;ACNABM;CD=DN,其中正确的结论是 .(将你认为正确的结 论的序号都填上),答案 ,解析 E=
34、F=90,B=C,AE=AF,ABEACF, AC=AB,BE=CF,故正确; AC=AB,B=C,CAN=BAM,ACNABM,故正确; BAE=CAF,1=BAE-BAC,2=CAF-BAC, 1=2,故正确; E=F,AE=AF,1=2, AEMAFN,AM=AN,CM=BN,又B=C,MDC=NDB,CDMBDN, CD=BD,故错误,故答案为.,3.(2016安徽池州十中月考,12)如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接 DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿BCDA(终点)运动.设点P的运动时间 为t秒,若ABP和DCE全等,则t
35、为 秒.,答案 1或7,解析 ABP和DCE全等有两种情况:一是APDE,此时BP=CE=2,则t=1;二是AP=CE=2,此 时ABPCDE,则t= = =7.,4.(2017安徽安庆期末联考,19)如图,ABC为等边三角形,D为边BA延长线上一点,连接CD,以 CD为一边作等边三角形CDE,连接AE. (1)求证:CBDCAE; (2)判断AE与BC的位置关系,并说明理由.,解析 (1)证明:ABC、DCE为等边三角形, AC=BC,EC=DC,ACB=ECD=DBC=60, ACD+ACB=DCB,ECD+ACD=ECA, ECA=DCB, 在ECA和DCB中, ECADCB(SAS).
36、 (2)AEBC. ECADCB,EAC=DBC=60, 又ACB=DBC=60,EAC=ACB,AEBC.,5.(2016安徽模拟,18)如图,点P在AOB的平分线上,请添加一个条件,使AOPBOP. (1)小明添加的条件是AP=BP,你认同吗? (2)你添加的条件是 ,请用你添加的条件完成证明.,解析 (1)不认同,“SSA”无法证得两个三角形全等. (2)APO=BPO.(答案不唯一) 证明:点P在AOB的平分线上,AOP=BOP, 在AOP和BOP中, AOPBOP(ASA).,1.(2017安徽安庆期末联考,8)如图,ADB=AEC=100,BAD=50,BD=EC,则C= ( )A
37、.20 B.50 C.30 D.40,B组 20162018年模拟提升题组 (时间:35分钟 分值:60分) 一、选择题(每小题3分,共6分),答案 C ADB=AEC=100,ADE=AED=80,AD=AE, BAD=50,B=180-100-50=30, 在ADB与AEC中, ADBAEC(SAS),C=B=30,故选C.,思路分析 由ADB=AEC,可证AD=AE,从而可证ADBAEC,可得B=C,再由三角 形内角和等于180可求出B,进而求出C.,2.(2017安徽合肥包河一模)如图,ABC中,BC=a,AC=b,AB=c(bca),BC的垂直平分线DG交 BAC的平分线AD于点D,
38、DEAB于E,DFAC交AC的延长线于F,则下列结论一定成立的是 ( )A.DG= (a+b) B.CF=c-b C.BE= (a-b) D.AE= (b+c),答案 D 如图,连接DB,DC,AD平分BAC,DEAB,DFAC,DE=DF,DEB=DFC=9 0,DG垂直平分线段BC,DB=DC,在RtDEB和RtDFC中, RtDEBRt DFC,BE=CF,同理,RtADERtADF,AE=AF,AB+AC=(AE+BE)+(AF-CF)=2AE,AE = (AB+AC)= (b+c),故选D.,难点突破 如果题干中出现了线段的垂直平分线,往往需要连接垂直平分线上的点和线段的 两个端点,
39、然后应用垂直平分线的性质进行解题.,3.(2017安徽安庆期末联考,14)如图,ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PRAB,PSAC, 垂足分别是R、S,若AQ=PQ,PR=PS,下面四个结论:AS=AR;QPAR;BRPQSP; AP垂直平分RS,其中正确结论的序号是 (请将所有正确结论的序号都填上).,二、填空题(每小题3分,共6分),答案 ,解析 PRAB,PSAC,PR=PS, 点P在BAC的平分线上,ARP=ASP=90, SAP=RAP, 又AP=AP,RtARPRtASP,AR=AS,故正确; AQ=QP, QAP=QPA, QAP=BAP, QPA=BAP, QPAR,
40、故正确; 在RtBRP和RtQSP中,只知PR=PS,BRP=QSP=90, 故无法证出BRPQSP,故错误;,如图,连接RS,交AP于点D.在ARD和ASD中, ARDASD. RD=SD,ADR=ADS=90. AP垂直平分RS,故正确.,思路分析 由角平分线的判定定理可知点P在BAC的平分线上,从而可证RtARPRt ASP,问题解决;先证QPA=BAP,再由平行线的判定定理可知QPAR;缺少全等成立的 条件;连接RS,然后证明ARDASD,从而可证AP垂直平分RS.,4.(2016安徽安庆二模,14)如图,ABC中,AC=BC,ACB=90,AE平分BAC交BC于E,过E作ED AB于
41、D,连接DC交AE于F,其中BD=1,则在下列结论中:AEDC;AB=2+ ; =2; AECD=2+2 ,其中正确的结论是 (把所有正确结论的序号都填在横线上).,答案 ,解析 AC=BC,ACB=90,B=45,EDAB,DE=BD=1,BE= ,又AE平分 BAC,ACB=90,CE=DE=1,BC=1+ ,AB= BC=2+ ,故正确;在RtADE与Rt ACE中, RtADERtACE,AD=AC,AEDC,故正确;CE=1,AC=BC=1+,AE= = ,ACE=CFE=90,AEC=CEF,ACECFE,= ,CF= = = ,CD=2CF= , = = ,故 错误;AECD=
42、=2 +2,故正确,正确的结论是.,5.(2018安徽安庆一模,23)在等腰直角ABC中,ACB=90,AC=BC,点P在斜边AB上(APBP). 作AQAB,且AQ=BP,连接CQ(如图1). (1)求证:ACQBCP; (2)延长QA至点R,使得RCP=45,RC与AB交于点H,如图2. 求证:CQ2=QAQR; 判断三条线段AH、HP、PB的长度满足的数量关系,并说明理由.,三、解答题(共48分),解析 (1)证明:ACB=90,AC=BC,CAB=B=45, 又AQAB,QAC=CAB=45=B, 在ACQ和BCP中, ACQBCP(SAS). (2)证明:由(1)知ACQBCP,则Q
43、CA=PCB, ACB=90,RCP=45,ACR+PCB=45, ACR+QCA=45,即QCR=45=QAC, 又Q是CQR和AQC的公共角, CQRAQC, = ,CQ2=QAQR. AH2+PB2=HP2.,理由:连接QH,QCH=PCH=45,CQ=CP,CH=CH, QCH PCH(SAS). HQ=HP. 在RtQAH中,QA2+AH2=HQ2, 又QA=PB,AH2+PB2=HP2.,思路分析 (1)由AQAB 及ACB为等腰直角三角形可得QAC=CAB=45=B,从而可证 ACQBCP;(2)由ACQBCP可得QCA=PCB,进一步得出QCR=QAC,从而 可证CQRAQC,
44、问题解决;连接QH,先证QCH PCH,可得HQ=HP,结合RtQAH 中QA2+AH2=HQ2可使问题解决.,6.(2017安徽阜阳颍州初三统考,22)如图,已知等边ABC的边长为2,E,F,G分别在边AB,BC,CA 上,且EFG也是等边三角形. (1)求证:AG=BE; (2)设AE=x,求使EFG的面积为 的x的值.,解析 (1)证明:ABC和EFG都是等边三角形, A=B=C=60,GEF=EFG=EGF=60,EF=FG=EG, AEG+AGE=AEG+BEF=120,AGE=BEF, AEGBFE,AG=BE. (2)易知CGFBFEAEG,于是有SAEG=SBFE=SCGF, 等边ABC的边长为2,AG=BE=2-x, 在AEG中,AE=x,AG=2-x, SAEG= x(2-x), SEFG=SABC-3SAEG= 22-3 x(2-x)= , 即x2-2x+1=0, 解得x1=x2=1,x=1.,
