1、4.4 圆,中考数学 (北京专用),2014-2018年北京中考题组,五年中考,1.(2014北京,7,4分)如图,O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,A=22.5,OC=4,CD的长为 ( )A.2 B.4 C.4 D.8,答案 C CO=AO,COE=2A=45. OC=4,CE=OCsinCOE=4 =2 . ABCD,CD=2CE=4 .故选C.,2.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在O上, = ,CAD=30,ACD=50,则ADB= .,答案 70,解析 = ,BAC=CAD=30.又BDC=BAC=30,ACD=50,ADB=180 -30-30-50=70.,
2、3.(2017北京,14,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上的点, = .若CAB=40,则CAD = .,答案 25,解析 连接BC,BD, AB为O的直径,ACB=90, ABC=90-CAB=90-40=50. = , ABD=CBD= ABC=25, CAD=CBD=25.,4.(2018北京,22,5分)如图,AB是O的直径,过O外一点P作O的两条切线PC,PD,切点分别 为C,D,连接OP,CD. (1)求证:OPCD; (2)连接AD,BC,若DAB=50,CBA=70,OA=2,求OP的长.,解析 (1)证明:PC,PD是O的两条切线, PD=PC,OPD=OPC, OP
3、CD. (2)设OP与CD交于点Q,连接OD.,OD=OA, ODA=OAD=50, CBA=70, ADC=110,ODC=60. 又OPCD,OQD=90,OQ=ODsin 60=2 = ,DQ=ODcos 60=1. PD是切线,PDO=90, PDC=30, PQ=DQtan 30=1 = . OP=PQ+QO= .,思路分析 本题第(1)问可以通过切线的相关定理和等腰三角形“三线合一”来解决.本题第 (2)问需要添加辅助线构造三角形来推导角的度数,借助特殊角的三角函数解决问题.,5.(2017北京,24,5分)如图,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作
4、O的切线交CE的延长线于点D. (1)求证:DB=DE; (2)若AB=12,BD=5,求O的半径.,解析 (1)证明:BD是O的切线,OBD=90. CEOA,ACE=90. OBA+EBD=A+AEC=90. OA=OB,A=OBA, EBD=AEC. 又AEC=BED, BED=EBD,DB=DE. (2)如图,连接OE,则OEAB,AE=BE=6.,过点D作DMAB于点M, DE=DB, BM= BE=3, 在RtBMD中,由勾股定理得,DM=4. 易证OBE=BDM, 又BEO=DMB, RtOBERtBDM, = , OB= .,6.(2016北京,25,5分)如图,AB为O的直径
5、,F为弦AC的中点,连接OF并延长交 于点D,过点D 作O的切线,交BA的延长线于点E. (1)求证:ACDE; (2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路.,解析 (1)证明:连接OC,如图.OA=OC,F为AC的中点, ODAC. DE是O的切线,ODDE. ACDE. (2)求解思路如下: 在RtODE中,由OA=AE=OD=a,可得ODE,OFA为含30角的直角三角形; 由ACD= AOD=30,可知CDOE;,由ACDE,可知四边形ACDE是平行四边形; 由ODE,OFA为含有30角的直角三角形,可求DE,DF的长,进而可求四边形ACDE的面 积.,思路分析 (
6、1)要证明两条直线平行,在圆中可借助90角的相关性质(切线的性质、等腰三角 形的三线合一、直径所对的圆周角等);(2)要从边的数量关系得特殊角的数量关系,从而求相 应的线段长.,解题关键 解决本题第(2)问的关键是要从边的数量关系发现特殊角的数量关系,从而发现特 殊的直角三角形.,7.(2015北京,24,5分)如图,AB是O的直径,过点B作O的切线BM,弦CDBM,交AB于点F,且 = ,连接AC,AD,延长AD交BM于点E. (1)求证:ACD是等边三角形; (2)连接OE,若DE=2,求OE的长.,解析 (1)证明:AB是O的直径,BM是O的切线, ABBM. CDBM,ABCD. =
7、. = , = = . AD=AC=DC. ACD是等边三角形. (2)连接BD,如图.AB是O的直径,ADB=90. ABD=C=60,DBE=30.,在RtBDE中,DE=2,可得BE=4,BD=2 . 在RtABD中,可得AB=4 . OB=2 . 在RtOBE中,由勾股定理可得OE=2 .,思路分析 (1)要证明等边三角形,可以借助弧等弦等的性质.(2)多次应用勾股定理求线段 的长.,解题关键 解决本题的关键是要熟练应用解直角三角形的相关知识,发现可解的直角三角形.,8.(2014北京,21,5分)如图,AB是O的直径,C是 的中点,O的切线BD交AC的延长线于点D, E是OB的中点,
8、CE的延长线交切线DB于点F,AF交O于点H,连接BH. (1)求证:AC=CD; (2)若OB=2,求BH的长.,解析 (1)证明:连接BC.AB是O的直径, ACB=90. C是 的中点, = .AC=BC. CAB=CBA=45. BD是O的切线, ABD=90. CBD=D=45. BC=CD.AC=CD.,(2)连接OC. OA=OC,OCA=CAB=45. COE=90. E是OB的中点,OE=BE. CEO=FEB, RtCOERtFBE.BF=OC. OB=2,BF=2. 由勾股定理,得AF=2 . ABF=AHB=90, BH= = .,9.(2013北京,20,5分)如图,
9、AB是O的直径,PA,PC与O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于 点D,DEPO交PO的延长线于点E. (1)求证:EPD=EDO; (2)若PC=6,tanPDA= ,求OE的长.,解析 (1)证明:PA,PC与O分别相切于点A,C, PA=PC,APO=EPD. AB是O的直径, PAAB. DEPO, A=E=90. POA=DOE, APO=EDO. EPD=EDO. (2)连接OC,则OCPD.,在RtPAD中,A=90,PA=PC=6,tanPDA= , 可得AD=8,PD=10.CD=4. 在RtOCD中,OCD=90,CD=4,tanODC= , 可得OC=3,OD=5.
10、 在RtPCO中,由勾股定理得,PO=3 . 可证得RtDEORtPCO. = ,即 = . OE= .,10.(2012北京,20,5分)已知:如图,AB是O的直径,C是O上一点,ODBC于点D,过点C作O 的切线,交OD的延长线于点E,连接BE. (1)求证:BE与O相切; (2)连接AD并延长交BE于点F,若OB=9,sinABC= ,求BF的长.,解析 (1)证明:连接OC.EC与O相切,C为切点, ECO=90. OB=OC, OCB=OBC. ODBC, DB=DC. 直线OE是线段BC的垂直平分线. EB=EC. ECB=EBC.,ECO=EBO. EBO=90. AB是O的直径
11、, BE与O相切. (2)过点D作DMAB于点M,则DMFB. 在RtODB中, ODB=90,OB=9,sinABC= , OD=OBsinABC=6. 由勾股定理得BD= =3 . 在RtDMB中, DM=BDsinABC=2 , BM= =5. O是AB的中点, AB=18.,AM=AB-BM=13. DMFB, AMDABF. = . BF= = .,教师专用题组,考点一 圆的有关概念及性质,1.(2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O 相交于点D,连接BD,则DBC的大小为 ( )A.15 B.25 C.35 D.45,答案
12、 A AB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,BAC= ACD=50,根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50,所以DBC=ABC-ABD=65- 50=15,故选A.,2.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在O中,点C在优弧 上,将弧 折叠后刚好经过AB的中点D. 若O的半径为 ,AB=4,则BC的长是 ( )A.2 B.3 C. D.,答案 B 连接AO,并延长交O于点D,则ABD=90.连接BD,CD,DD,DD交BC于点E,连接 OD,OB,OC,D为AB的中点,ODAB,AB=4,BD= AB=2,OB= ,OD= = 1,BD=2OD=2,即B
13、D= BD,显然点D与点D关于直线BC对称.ABD=90,ABC=CBD= 45,根据圆周角定理得AOC=90,DOC=90,CD= OC= ,CBD=45, BD=2,BE=ED= ,根据勾股定理得CE= =2 ,所以BC=BE+CE=3 ,故选B.,方法指导 在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段 或角或垂直关系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行 求解.,3.(2017福建,8,4分)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定 与ACD互余的角是 ( )A.ADC B.ABD C.BAC D.B
14、AD,答案 D AB是O的直径, ADB=90, BAD+B=90, 易知ACD=B, BAD+ACD=90,故选D.,4.(2017黑龙江哈尔滨,7,3分)如图,O中,弦AB、CD相交于点P,A=42,APD=77,则B的 大小是 ( )A.43 B.35 C.34 D.44,答案 B 由三角形外角的性质可得C=APD-A=77-42=35,B与C所对的弧均 为 ,B=C=35.故选B.,5.(2017甘肃兰州,4,4分)如图,在O中, = ,点D在O上,CDB=25,则AOB= ( )A.45 B.50 C.55 D.60,答案 B 连接OC,CDB=25,COB=50,又 = ,AOB=
15、COB=50,故选B.,6.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为M.若AB=12,OMMD =58,则O的周长为 ( )A.26 B.13 C. D.,答案 B 连接OA,设OM=5x(x0),则MD=8x,OA=OD=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在 RtAOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x= (舍负),半径OA= ,O的周长为13.,方法规律 如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则 +d2=r2(h=r-d或h= r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.,7.(2017陕西,9,3分)如图,ABC
16、是O的内接三角形,C=30,O的半径为5.若点P是O上的 一点,在ABP中,PB=AB,则PA的长为 ( )A.5 B. C.5 D.5,答案 D 连接OB、OA、OP,C=30,AOB=60,OA=OB,OAB是等边三角形,AB=5.PB=AB=OA=OP,OB AP,AP=2ABcos 30=25cos 30=25 =5 .故选D.,8.(2016陕西,9,3分)如图,O的半径为4,ABC是O的内接三角形,连接OB、OC.若BAC与 BOC互补,则弦BC的长为 ( )A.3 B.4 C.5 D.6,答案 B BOC+CAB=180,BOC=2CAB, BOC=120,作ODBC交BC于点D
17、, BC=2BD. OB=OC, OBD=OCD= =30, BD=OBcos 30=2 , BC=2BD=4 ,故选B.,9.(2016河北,9,3分)下图为44的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是 ( )A.ACD的外心 B.ABC的外心 C.ACD的内心 D.ABC的内心,答案 B 设每个小正方形的边长为1,则OA=OB=OC= ,所以点O到ABC三个顶点的距离 都相等,所以点O在三角形三边垂直平分线的交点上,故点O是ABC的外心.,10.(2015吉林长春,7,3分)如图,四边形ABCD内接于O,若四边形ABCO是平行四边形,则 ADC的大小为 ( )A.45 B.50 C.
18、60 D.75,答案 C 设ADC=x,则AOC=2x.四边形ABCO是平行四边形,B=AOC.B+ D=180,x+2x=180.x=60.ADC=60.故选C.,11.(2015甘肃兰州,9,4分)如图,经过原点O的P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上 一点,则ACB= ( )A.80 B.90 C.100 D.无法确定,答案 B 根据同弧所对的圆周角相等,得到ACB=AOB=90,故选B.,12.(2015河北,6,3分)如图,AC,BE是O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中,外心 点O 的是 ( )A.ABE B.ACF C.ABD D.ADE,答案 B 外心即为三
19、角形外接圆的圆心,ACF的顶点F不在圆O上,圆O不是ACF的 外接圆,点O不是ACF的外心,故选B.,13.(2015上海,6,4分)如图,已知在O中,AB是弦,半径OCAB,垂足为点D,要使四边形OACB为 菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是 ( )A.AD=BD B.OD=CD C.CAD=CBD D.OCA=OCB,答案 B 根据垂径定理知OD垂直平分AB,所以添加OD=CD即可判定四边形OACB是菱形, 故选B.,14.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点, = .若AOB=58,则BDC= 度.,答案 29,解析 连接OC(图略), = ,AOB=BOC
20、=58,又点D在圆上,BDC= BOC= 29.,思路分析 连接OC,由 与 相等可得圆心角AOB=BOC,再根据同弧所对的的圆周角 是圆心角的一半即可求得BDC的度数.,15.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分 CAB,若AD=6,则AC= .,答案 2,解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以 BAD=30,因为 =cos 30,所以AB= = =4 .在RtABC中,AC=ABcos 60=4 =2 .,16.(2018内蒙古包头,17,3分)如图,AB是O的直径,点C在O上
21、,过点C的切线与BA的延长线 交于点D,点E在 上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若D=40,则BEC= 度.,答案 115,解析 如图,连接OC,AC,CD是O的切线,DCO=90, 1=90-D=50. OA=OC,2= (180-1)=65. BEC=180-2=180-65=115.,17.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点, 则DOE= .,答案 60,解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D 是AB的中点,BD= AB= BO,BOD=30,B=60,又
22、OBAC,A=120,在四边 形ADOE中,DOE=360-90-90-120=60.,解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.,18.(2017江苏南京,15,2分)如图,四边形ABCD是菱形,O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连 接AC、AE.若D=78,则EAC= .,答案 27,解析 四边形ABCD是菱形, ADBC,CA平分DCB. D=78,DCB=180-D=102, ACE= DCB=51. A、E、C、D四点共圆, D+AEC=180, AEC=102. 在AEC中,EAC=180-AEC-ACE=180-102-51=27.,解后反思 本题综合
23、考查菱形的性质、圆的内接四边形对角互补的性质,掌握这两个性质是 解决问题的关键.,19.(2016山东青岛,11,3分)如图,AB是O的直径,C,D是O上的两点,若BCD=28,则ABD= .,答案 62,解析 AB是O的直径,ACB=90.BCD=28, ACD=90-28=62,ABD=ACD=62.,20.(2016新疆乌鲁木齐,13,4分)设I为ABC的外心,若BIC=100,则A的度数为 .,答案 50或130,解析 当I在ABC的内部时,如图1,A= BIC=50; 当I在ABC的外部时,如图2,A+ BIC=180,A=130.图1 图2,21.(2016江苏南京,13,2分)如
24、图,扇形AOB的圆心角为122,C是 上一点,则ACB= .,答案 119,解析 如图,在扇形AOB所在圆优弧AB上取一点D,连接DA,DB.AOB=122,D=61, ACB+D=180,ACB=119.,22.(2015内蒙古包头,18,3分)如图,O是ABC的外接圆,AD是O的直径,若O的半径是4, sin B= ,则线段AC的长为 .,答案 2,解析 连接CD,在O中,因为AD为直径,所以ACD=90,因为B=D,所以AC=ADsin D=8 =2.,23.(2015江西南昌,10,3分)如图,点A,B,C在O上,CO的延长线交AB于点D,A=50,B=30,则 ADC的度数为 .,答
25、案 110,解析 在O中,BOC=2A=250=100,所以DOB=180-BOC=180-100=80, 所以ADC=B+DOB=30+80=110.,24.(2015陕西,14,3分)如图,AB是O的弦,AB=6,点C是O上的一个动点,且ACB=45.若 点M、N分别是AB、BC的中点,则MN长的最大值是 .,答案 3,解析 依题意,知MN= AC,且当AC为O的直径时,MN的长度最大. 连接OB,ACB=45,AOB=90, 设O的半径为r,则 r=6,解得r=3 , 故MN的最大值为3 .,25.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作
26、出BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,解析 (1)尺规作图如图所示. (4分)(2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE,所以 = , 易得OEBC,所以EM=3. RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5, 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦CE的长为 . (10分),思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得 = ,可推出OE BC,最后利用勾股定理求出CE.,26.
27、(2015安徽,20,10分)在O中,直径AB=6,BC是弦,ABC=30,点P在BC上,点Q在O上,且OP PQ. (1)如图1,当PQAB时,求PQ长; (2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.,解析 (1)OPPQ,PQAB,OPAB. 在RtOPB中,OP=OBtanABC=3tan 30= . (3分) 如图,连接OQ,在RtOPQ中,PQ= = = . (5分) (2)PQ2=OQ2-OP2=9-OP2, 当OP最小时,PQ最大.此时,OPBC. (7分) OP=OBsinABC=3sin 30= . PQ长的最大值为 = . (10分),27.(2017江苏南京,2
28、4,8分)如图,PA、PB是O的切线,A、B为切点.连接AO并延长,交PB的延 长线于点C.连接PO,交O于点D. (1)求证:PO平分APC; (2)连接DB.若C=30,求证:DBAC.,证明 (1)如图,连接OB.PA、PB是O的切线, OAAP,OBBP. 又OA=OB, PO平分APC. (4分) (2)OAAP,OBBP, CAP=OBP=90.,C=30, APC=90-C=90-30=60, PO平分APC, OPC= APC= 60=30, POB=90-OPC=90-30=60. 又OD=OB, ODB是等边三角形, OBD=60, DBP=OBP-OBD=90-60=30
29、, DBP=C, DBAC. (8分),28.(2017湖南长沙,23,9分)如图,AB与O相切于点C,OA,OB分别交O于点D,E, = . (1)求证:OA=OB; (2)已知AB=4 ,OA=4,求阴影部分的面积.,解析 (1)证明:如图,连接OC,则OCAB, = ,AOC=BOC. 在AOC与BOC中, AOCBOC(ASA),OA=OB. (2)由(1)知AC=BC= AB=2 , 在RtAOC中,OC= = =2= OA, OAC=30,COE=AOC=60,S阴影=SOBC-S扇形OCE= 22 - =2 - .,思路分析 (1)连接OC,则OCAB,然后根据等弧对等角求得AO
30、C=BOC,再判定AOC BOC,根据全等三角形的性质可得证;(2)由(1)可求得AC=2 ,运用勾股定理求出OC的长,进 而求得COE=60,利用S阴影=SOBC-S扇形OCE求得结果.,29.(2017贵州贵阳,22,10分)如图,C,D是半圆O上的三等分点,直径AB=4,连接AD,AC,DEAB,垂 足为E,DE交AC于点F. (1)求AFE的度数; (2)求阴影部分的面积.(结果保留和根号).,解析 (1)如图,连接OD,OC,C,D是半圆O的三等分点, = = , AOD=DOC=COB=60, CAB=30, DEAB,AEF=90, AFE=90-30=60. (5分) (2)由
31、(1)可知,AOD=60, OA=OD,AB=4, AOD为等边三角形,OA=2, DEAO,DE为AOD的高,且DE= ,S阴影=S扇形AOD-SAOD= - 2 = - . (10分),思路分析 (1)先根据C、D为半圆的三等分点,求出CAB=30,进而求出结果;(2)根据已知条 件得出AOD为等边三角形,进而求出扇形AOD和等边三角形AOD的面积即可求出阴影部分 的面积.,30.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD 于BC,过点C作CE AD交ABC的外接圆O于点E,连接AE. (1)求证:四边形AECD为平行四边形; (2)连接CO,求证:C
32、O平分BCE.,证明 (1)B=D,B=E,D=E. CEAD,E+DAE=180. D+DAE=180.AEDC. 四边形AECD是平行四边形. (5分) (2)过点O作OMEC,ONBC,垂足分别为M、N. 四边形AECD是平行四边形,AD=EC. 又AD=BC,EC=BC, OM=ON,CO平分BCE. (10分),思路分析 (1)根据“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等”可推出E=B,再由D= B,CEAD可推出AEDC,问题得证;(2)作OMCE,ONBC,垂足分别为M、N,由已知及(1) 得出CE=BC,再根据“同一个圆内等弦对应的弦心距相等”可得OM=ON,从而由角平分线的 判
33、定定理可得结论.,解题关键 抓住“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦对应的弦心距相 等”是解决本题的关键.,31.(2016宁夏,23,8分)已知ABC,以AB为直径的O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC. (1)求证:AB=AC; (2)若AB=4,BC=2 ,求CD的长.,解析 (1)证明:ED=EC, CDE=C, 又四边形ABED是O的内接四边形, CDE=B, B=C, AB=AC. (4分) (2)连接AE,则AEBC,BE=EC= BC, 在ABC与EDC中,C=C,CDE=B,ABCEDC, (6分) = ,得DC= = , 由AB=4,BC=2 ,
34、得DC= = . (8分),评析 本题考查圆内接四边形的性质,三角形相似的判定与性质.属中档题.,32.(2015山东威海,22,9分)如图,在ABC中,AB=AC,以AC为直径的O交AB于点D,交BC于 点E. (1)求证:BE=CE; (2)若BD=2,BE=3,求AC的长.,解析 (1)证明:连接AE. (1分)AC为O的直径,AEC=90.AEBC. (3分) 又AB=AC,BE=CE. (4分) (2)连接DE. (5分)四边形ACED为O的内接四边形, BED=BAC.,又B=B,BEDBAC. = . (7分) BE=CE=3,BC=6. 又BD=2,AB=9. (8分) AC=
35、9. (9分),33.(2015江苏南京,26,8分)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线 交于点E,且DC=DE. (1)求证A=AEB; (2)连接OE,交CD于点F,OECD.求证:ABE是等边三角形.,证明 (1)四边形ABCD是O的内接四边形, A+BCD=180. 又DCE+BCD=180,A=DCE. DC=DE,DCE=AEB. A=AEB. (4分) (2)A=AEB,ABE是等腰三角形. OECD,CF=DF. OE垂直平分CD. ED=EC. 又DC=DE,DC=DE=EC. DCE是等边三角形.AEB=60. ABE是等边三角形. (8分),
36、34.(2015江苏苏州,26,10分)如图,已知AD是ABC的角平分线,O经过A、B、D三点,过点B作 BEAD,交O于点E,连接ED. (1)求证:EDAC; (2)若BD=2CD,设EBD的面积为S1,ADC的面积为S2,且 -16S2+4=0,求ABC的面积.,解析 (1)证明:AD是ABC的角平分线, BAD=DAC. E=BAD,E=DAC. BEAD,E=EDA. EDA=DAC.EDAC. (2)BEAD,EBD=ADC. 由(1)知E=DAC, EBDADC,且相似比k= =2. =k2=4,即S1=4S2, -16S2+4=0,16 -16S2+4=0,即(4S2-2)2=
37、0, S2= . = = = =3,SABC= .,35.(2014山东烟台,24,8分)如图,AB是O的直径,延长AB至P,使BP=OB.BD垂直于弦BC,垂足为 点B,点D在PC上.设PCB=,POC=. 求证:tan tan = .,证明 连接AC. (1分) 则A= POC= . (2分) AB是O的直径, ACB=90, tan = . (3分) BDBC,tan = , (4分) 又易知BDAC, PBDPAC. = . (6分) PB=OB=OA, = = . (7分) tan tan = = = . (8分),36.(2014福建福州,20,11分)如图,在ABC中,B=45,
38、ACB=60,AB=3 ,点D为BA延长线上 的一点,且D=ACB,O为ACD的外接圆. (1)求BC的长; (2)求O的半径.,解析 (1)过点A作AEBC,垂足为E. AEB=AEC=90. 在RtABE中,sin B= , AE=ABsin B=3 sin 45=3 =3. B=45,BAE=45.BE=AE=3. 在RtACE中,tanACB= , EC= = = = . BC=BE+EC=3+ .,(2)由(1)得,在RtACE中,EAC=30,EC= , AC=2 . 解法一:连接AO并延长交O于M,连接CM. AM为直径,ACM=90. 在RtACM中,M=D=ACB=60,si
39、n M= , AM= = =4.O的半径为2.,解法二:连接OA,OC,过点O作OFAC,垂足为F,则AF= AC= . D=ACB=60, AOC=120. AOF= AOC=60. 在RtOAF中,sinAOF= , AO= =2,即O的半径为2.,考点二 与圆有关的位置关系及综合运用,1.(2018重庆,9,4分)如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点 B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若O的半径为4,BC=6,则PA的长为 ( )A.4 B.2 C.3 D.2.5,答案 A 连接DO,PD与O相切于点D,PDO=90.BCPC,PCB=90,DO B
40、C,PODPBC, = , = ,PA=4,故选A.,思路分析 利用切线的性质得出PDO=90,再利用相似三角形的判定和性质求出结果.,2.(2017湖北武汉,9,3分)已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为 ( ) A. B. C. D.2,答案 C 如图,AB=7,BC=5,AC=8. 过点A作ADBC于点D, 设BD=x,则CD=5-x. 由勾股定理得AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2, 则72-x2=82-(5-x)2, 解得x=1,AD=4 . 设ABC的内切圆的半径为r, 则有 (5+7+8)r= 54 , 解得r= .,故选C.,3.(2015重庆
41、,9,4分)如图,AB是O的直径,点C在O上,AE是O的切线,A为切点,连接BC并延 长交AE于点D.若AOC=80,则ADB的度数为 ( )A.40 B.50 C.60 D.20,答案 B AE是O的切线,BAE=90,B= AOC=40,ADB=90-B=50,故 选B.,4.(2015江苏南京,6,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与O相切于E、 F、G三点,过点D作O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为 ( )A. B. C. D.2,答案 A 在矩形ABCD中,O分别与边AD、AB、BC相切,又DM为O的切线,所以由切线 长定理得AE=AF=
42、BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,设MN=MG=x,在RtDCM中, DM2=MC2+DC2,即(3+x)2=(3-x)2+42,解得x= ,则DM=3+ = .故选A.,5.(2018山西,15,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径 作O,O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为 .,答案,解析 如图,连接OF.FG为O的切线,OFFG. RtABC中,D为AB中点, CD=BD,DCB=B. OC=OF,OCF=OFC,CFO=B, OFBD,ABFG. O为CD的中
43、点,F为BC的中点, CF=BF= BC=4. RtABC中,AB= =10,sinB= = , 在RtBGF中,FG=BFsinB=4 = .,思路分析 连接OF,可判断OFFG,由OCF=OFC,OCF=B可得OFC=B,所以OF BD,所以ABFG.在RtABC中求出sinB,再在RtBFG中,利用FG=BFsinB求得FG.,6.(2016黑龙江哈尔滨,18,3分)如图,AB为O的直径,直线l与O相切于点C,ADl,垂足为D, AD交O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为 .,答案 4,解析 设OC与BE相交于点F, AB是O的直径,AEB=90, AO=5,
44、AB=10. 在RtAEB中,AE=6,BE= =8. 直线l是O的切线,OCCD, 又ADCD,AEEB, 四边形CDEF为矩形,DC=EF= BE=4.,7.(2015江苏镇江,10,2分)如图,AB是O的直径,OA=1,AC是O的弦,过点C的切线交AB的延长 线于点D.若BD= -1,则ACD= .,答案 112.5,解析 连接OC,因为DC是O的切线,所以OCCD.因为OC=OB=OA=1,OD=OB+BD= ,所 以DC= =1,所以OC=CD,所以COD=45,所以ACO= COD=22.5,所以ACD =22.5+90=112.5.,8.(2014山东青岛,12,3分)如图,AB是O的直径,BD,CD分别是过O上点B,C的切线,且BDC =110.连接AC,则A的度数是 .,答案 35,解析 连接BC,易知DB=DC,所以DBC= (180-BDC)=35,又A+ABC=DBC+ABC =90,所以A=DBC=35.,
