1、单位圆与三角函数线,Page 1,人教B版选修4 1.2.2,单位圆与三角函数线,Page 2,Page 3,一、教材分析,三角函数是中学数学的重要内容，而三角函数线的概念及应用贯穿整个三角函数的教学。,三角函数线是研究三角函数的重要工具.,三角函数线的概念及其应用体现数形结合的数学思想。,借助三角函数线能推导三角函数公式，求解三角不等式，探索三角函数的图像和性质。,一.教材分析,借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.,Page 4,一、教材分
2、析,Page 5,正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好思维习惯。,正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。,二、教学方法,Page 6,Page 6,三、学法指导,1,指导学生自主学习，培养学生合作探究的意识.,2,Page 7,观察、实验，体验知识的形成过程.,Page 7,Page 8,四、教学过程,问题(1)、数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？,数轴上的向量 的坐标是一个实数，这个实数的绝对值为线段的长度，如果方向与轴方向相同取正，反之取负.,Page 9,特别的：当轴上向量的起点在原点时轴上向量的坐标等于终点坐标.,问题（2）、角的正弦、余弦、正
3、切是怎样定义的？,从定义可知：角的三角函数是两个变量的比值。,Page 10,我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，如图所示，设任意角与单位圆交于点p(x , y)，则r = |op| = 1,x,y,o,p(x , y),终边,sin=,y,1,= y,cos=,x,1,= x,Page 11,思考1：当终边在第一象限时，角的正余弦与的纵、横坐标y、x之间有何关系？,Page 12,思考2：当角是第一象限角时，能否在坐标轴上找两个以原点为起点的向量,使p点的坐标分别是这两个向量的数量？,过作垂直于X轴于，作垂直于Y轴于，则点，分别是点在X轴和Y轴上的正射影（简称射影),
4、o,P（x,y）,N,x,M,Page 13,y,由问题、你得到角的正余弦值与向量的数量有什么关系？,结论：,第一象限角的余正弦值分别等于终边与单位圆交点的横、纵坐标，也分别等于向量, 的数量, 即,Page 14,Page 15,思考3： 是二、三、四象限角时，角的正弦值与向量 的数量的关系如何？,x,o,p(x , y),x,o,x,y,o,x,y,o,M,M,M,M,p,p,p,正弦线,余弦线,Page 16,O,O,O,O,x,y,x,x,x,y,y,角的余弦和正弦值分别等于角的终边与单位圆交点的横坐标，纵坐标，即,Page 17,总结结论：,思考4：若是第一象限角，能否在坐标系中找到
5、一个垂直于x轴向量，使它的数量为的正切？,点是过单位圆与x轴正半轴交点作圆的切线与终边的交点,y,x,o,P,M,A,Page 18,思考5：角是第二、三、四象限的角时能否找到一个垂直于x轴向量，其数量为tan？,y,（）,（）,Page 19,（1）.角的终边在x轴上时,点P与点M 重合,点T与点A重合,此时,正弦线和正切线变成了一点,它们的数 量为0,而余弦线的数量OM=1或-1.,（2）.当角的终边落在y轴上时,正弦线的数量MP=1或-1,余弦线变成了一点.数量为零,正切线不存在.,思考6：终边在x轴上 、在y轴上时，三角函数线有何特点？数量值是什么？,Page 20,第一步：作出角的终
6、边，与单位圆交于点P；,第二步：过点P作轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；,第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或 其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT.,特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.,请大家总结这三种三角函数线的作法,Page 21,例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.,y,P,x,o,A,T,M,Page 22,x,P,N,M,变式训练：,Page 23,y,P1,P2,x,
7、o,A,T1,M1,M2,T2,例2：利用三角函数线比较三角函数值的大小,(1),(2),(3),Page 24,1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 （1） ； （2） ； （3） ；,Page 25,3、若 则下列各式中正确的（ ）,C,D,2、如果 和 OM 分别是角 的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是（ ）,Page 26,4.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围,5.已知0/2 ，试用单位圆证明：,Page 27,小结：,知识方面：,思想方法方面：,作业：1.教材P 练习B 1.22.思考题：利用三角函数线研究以下问题,Page 28,1.三角函数线的概念及做法； 2.三角函数线的应用,1.数学结合2.分类讨论,Page 29,五、板书设计,谢谢！再见！,
