1、1考点规范练 24 平面向量的概念及线性运算基础巩固1.设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )A.a=-b B.abC.a=2b D.ab,且 |a|=|b|2.(2017 北京丰台一模)设 E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AB,BC 上的点,且 AE=AB,BF=BC.如果 +n(m,n为实数),那么 m+n 的值为( )A.- B.0 C. D.13.设向量 a,b 不共线, =2a+pb,=a+b,=a-2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值是( )A.-2 B.-1C.1 D.24.如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的两
2、个三等分点, =a,=b,则 =( )A.a-b B.a-bC.a+b D.a+b5.已知点 O,A,B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 2=2,则( )A.点 P 在线段 AB 上B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上C.点 P 在线段 AB 的延长线上D.点 P 不在直线 AB 上6.已知点 O 为 ABC 外接圆的圆心,且 =0,则 ABC 的内角 A 等于( )A.30 B.60C.90 D.1207.若点 M 是 ABC 所在平面内的一点,且满足 5+3,则 ABM 与 ABC 的面积比为( )A. B. C. D.8.如图,在 ABC 中, AD=DB,点 F 在线
3、段 CD 上,设 =a,=b,=xa+yb,则的最小值为( )A.6+2 B.6C.6+4 D.3+229.已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若),则的夹角为 . 10.已知 D 为 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足 =0,= ,则实数 的值为 . 11.如图,在 ABC 中,已知 BAC=,AB=2,AC=4,点 D 为边 BC 上一点,满足 +2=3,点 E 是 AD 上一点,满足 =2,则 BE= . 12.在任意四边形 ABCD 中, E,F 分别是 AD,BC 的中点,若 =+ ,则 += . 能力提升13.已知在 ABC 中, D 是 AB 边上的一点, = ,|=2,
4、|=1,若 =b,=a,则用 a,b 表示为( )A.a+b B.a+bC.a+b D.a+b14.在 ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若 =x+(1-x),则实数 x 的取值范围是( )A.(- ,0) B.(0,+ )C.(-1,0) D.(0,1)15.已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,且 a+b 与 c 共线,b +c 与 a 共线,则 a+b+c 等于( )A.a B.b C.c D.016.(2017 安徽马鞍山质检)已知 ABC 是边长为 4 的正三角形, D,P 是 ABC 内的两点,且满足),则 APD 的面积为( )A. B.C.
5、D.217.如图,在 ABC 中, =2=m=n,m0,n0,则 m+2n 的最小值是 . 高考预测18.若点 O 是 ABC 所在平面内的一点,且满足 |=|-2|,则 ABC 的形状为 . 答案：1.C 解析:由表示与 a 同向的单位向量,表示与 b 同向的单位向量,故只要 a 与 b 同向即可,观察可知 C 满足题意 .32.C 解析:如图, =-=-)=-.=m+n ,m=- ,n=,m+n=. 故选 C.3.B 解析: = a+b,=a-2b,= 2a-b.又 A,B,D 三点共线, 共线 .= ,即 2a+pb= (2a-b). 2=2 ,p=-.= 1,p=-1.4.D 解析:连
6、接 CD(图略),由点 C,D 是半圆弧的三等分点,得 CD AB,且 a,所以 =b+a.5.B 解析:因为 2=2,所以 2.所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上,故选 B.6.B 解析:由 =0,知点 O 为 ABC 的重心 .又 O 为 ABC 外接圆的圆心,所以 ABC 为等边三角形,故 A=60.7.C 解析:设 AB 的中点为 D.由 5+3,得 3-3=2-2,即 3=2.如图,故 C,M,D 三点共线,且,也就是 ABM 与 ABC 对于边 AB 上的两高之比为 3 5,则 ABM与 ABC 的面积比为,选 C.8.D 解析: =xa+yb=2x+y.C ,F,D 三点共
7、线, 2x+y=1,即 y=1-2x,其中 x0,y0.令 f(x)=,得 f(x)=,令 f(x)=0 得 x=-1(x=-1 舍去) .当 0-1 时, f(x)0.故当 x=-1 时, f(x)取得最小值 f(-1)=3+2.故选 D.9.90 解析:由)可得 O 为 BC 的中点,则 BC 为圆 O 的直径,即 BAC=90,故的夹角为 90.10.-2 解析:如图,由 = ,且 =0,得 P 为以 AB,AC 为邻边的平行四边形的顶点,因此 =-2,则 =- 2.411.解析:如图,延长 AB 到 F,使 AF=2AB,连接 CF,则 AC=AF.取 CF 的中点 O,连接 AO,则
8、 +2=2=3,A ,D,O 三点共线, BAC=, CAO=,且 AO CF,AC=4,AO= 2.AD=.又 =2,AE= 2ED=AD=.又 AB=2, BAE=, 在 ABE 中,由余弦定理,得 BE2=4+-22.BE=.12.1 解析:如图,因为 E,F 分别是 AD 与 BC 的中点,所以 =0,=0.又因为 =0,所以 .同理 .由 + 得,2 +()+()=,所以),所以 = ,=. 所以 += 1.13.A 解析:由题意知, CD 是 ACB 的角平分线,故)=a+b,故选 A.14.A 解析:设 = ( 1),则 += (1- )+.又 =x+(1-x),所以 x+(1-x)=(1- )+.所以 = 1-x1,得 x 0,n0,m+ 2n=(m+2n) +2+2=3,当且仅当 m=n 时,等号成立 .故 m+2n 的最小值为 3.18.直角三角形 解析: - 2,|=|.故 A,B,C 为矩形的三个顶点, ABC 为直角三角形 .
