1、115.3 抛物线考纲解读五年高考统计考点 内容解读 要求2013 2014 2015 2016 2017 常考题型 预测热度1.抛物线的定义和标准方程1.抛物线定义的应用2.求抛物线的标准方程A 填空题解答题 2.抛物线的性质 抛物线的几何性质及简单运用 A 填空题解答题 分析解读 抛物线在近年高考中没有单独考查,是命题冷点.若高考出题考查,试题难度也会比较低,会重点考查对定义的理解及几何性质的简单运用.五年高考考点一 抛物线的定义和标准方程1.(2016 四川改编,3,5 分)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是 . 答案 (1,0)2.(2015 陕西,14,5 分)若抛物线 y2=2px(
2、p0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦点,则 p= . 答案 2 23.(2014 湖南,15,5 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F 两点,则 = . 答案 1+ 2教师用书专用(4)4.(2013 广东理,20,14 分)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 .设322P 为直线 l 上的点,过点 P作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点.(1)求抛物线 C 的方程;(2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;(3)当点
3、 P 在直线 l 上移动时,求|AF|BF|的最小值.解析 (1)依题意,设抛物线 C 的方程为 x2=4cy,由题意易知 = 且 c0,解得 c=1.|0-2|2 322所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.(2)抛物线 C 的方程为 x2=4y,即 y= x2,14求导得 y= x.12设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,则切线 PA,PB 的斜率分别为 x1, x2,(其中 1=214,2=224) 12 122所以切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1),即 y= x- +y1,即 x1x-2y-2y1=0.1212212同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=
4、0.因为切线 PA,PB 均过点 P(x0,y0),所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x 1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解.所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|BF|=(y 1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程 消去 x 整理得 y2+(2y0- )y+ =0.0-2-20=0,2=4, 20 20由一元二次方程根与系数的关系可得 y1+y2= -2y0,y1y2= ,20 20所以|AF|BF|=y 1y
5、2+(y1+y2)+1= + -2y0+1.2020又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=y0+2,所以 + -2y0+1=2 +2y0+5=2 + .2020 20 (0+12)292所以当 y0=- 时,|AF|BF|取得最小值,且最小值为 .12 92考点二 抛物线的性质1.(2017 课标全国文改编,12,5 分)过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴的上方),3l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MNl,则 M 到直线 NF 的距离为 . 答案 2 32.(2017 课标全国理,16,5 分)已知 F 是抛物线 C:y
6、2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,F M 的延长线交 y 轴于点 N.若M 为 FN 的中点,则|FN|= . 答案 63.(2016 浙江理,9,4 分)若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是 . 答案 94.(2014 课标改编,10,5 分)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为 . 答案 945.(2013 江西理,14,5 分)抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A,B 两点,若ABF 为23 23等边三
7、角形,则 p= . 答案 66.(2017 北京理,18,14 分)已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点(0,12)M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点.(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A 为线段 BM 的中点.解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1),得 p= .12所以抛物线 C 的方程为 y2=x.抛物线 C 的焦点坐标为 ,准线方程为 x=- .(14,0) 143(2)由
8、题意,设直线 l 的方程为 y=kx+ (k0),l 与抛物线 C 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2).12由 得 4k2x2+(4k-4)x+1=0.=+12,2= 则 x1+x2= ,x1x2= .1-2142因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为 y=x,点 A 的坐标为(x 1,x1).直线 ON 的方程为 y= x,点 B 的坐22标为 .(1,212)因为 y1+ -2x1=21212+21-2122=(1+12)2+(2+12)1-2122= = =0,(2-2)12+12(2+1)2(2-2) 142+1-222所以 y1+ =2x1.212故 A
9、为线段 BM 的中点.7.(2016 课标全国,20,12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求 ;|(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由.解析 (1)由已知得 M(0,t),P .(1 分)(22,)又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N ,ON 的方程为 y= x,代入 y2=2px 整理得 px2-2t2x=0,解得 x1=0,x2= .(2,) 22因此 H .(4 分 )(22,2)所以 N
10、为 OH 的中点,即 =2.(6 分)|(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点.(7 分)理由如下:4直线 MH 的方程为 y-t= x,即 x= (y-t).(9 分)2 2代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点.(12 分)三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组考点一 抛物线的定义和标准方程1.(2017 江苏泰州姜堰模拟,7)抛物线 y2=4x 上任一点到定直线 l:x=-1 的距离与它到定点 F 的距离相等,则点F 的坐标为 . 答案 (1
11、,0)2.(苏教选 21,二,4,10,变式)已知抛物线 y2=2px(p0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的方程为 . 答案 y 2=4x3.(2016 江苏扬州中学周测,4)抛物线 y=2x2的准线方程为 . 答案 y=-18考点二 抛物线的性质4.(2018 江苏海安高三阶段测试)抛物线 y2=x 的准线的方程为 . 答案 x=-145.(2018 江苏扬州中学月考)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 - =1 的渐近线的距离为 . 22 28答案 2556.(2017 江苏淮海中学调研)O 为坐标原点,F 为抛物线
12、 C:y2=4 x 的焦点,P 为 C 上一点,若 PF=4 ,则POF 的2 2面积为 . 答案 2 37.(2017 江苏泰州三校期中联考)已知点 A(-2,1),y2=-4x 的焦点是 F,P 是 y2=-4x 上的点,为 使 PA+PF 取得最小值,P 点的坐标是 . 答案 (-14,1)8.(苏教选 21,二,4,12,变式)已知抛物线 y2=2px(p0)的 焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 的值一定等于 . 1212答案 -49.(2018 江苏姜堰中学高三期中)已知抛物线 C:x2=4y,直线 l 过点(2,1).(1)若直线 l 与抛物
13、线 C 只有一个公共点,求直线 l 的方程;(2)若直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,且抛物线 C 在 A,B 两点处的切线的交点在抛物线的准线上,求直线 l的方程.解析 (1)(2,1)满足 x2=4y,点(2,1)在抛物线上,若 l 与抛物线 C 只有一个公共点,则 l 与对称轴平行或与抛物线相切,当 ly 轴时,方程为 x=2.当 l 与抛物线相切时,由 y= ,得 y= ,抛物线在(2,1)处的切线斜率 k= =1,切线方程为 y=x-1.24 2 22直线 l 的方程为 x=2 或 y=x-1.5(2)易知点(2,1)为直线 l 与抛物线 C 的交点,设 A(2,1),则
14、抛物线在 A 处的切线为 y=x-1,与准线 y=-1 的交点为(0,-1),则过点 B 的切线也与准线交于点(0,-1),设 B ,m2,则抛物线在点 B 处的切线方程为 y- = (x-(,24) 24 2m).易知点(0,-1)在此切线上,-1- = (0-m),解得 m=-2,B(-2,1),直线 l 的方程为 y=1.24 2B 组 20162018 年模拟提升题组(满分:35 分 时间:15 分钟)一、填空题(每小题 5 分,共 5 分)1.(2016 江苏扬州中学月考,12)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,ABC 的三个顶点都在抛物线上,并且ABC 的重心是抛物线的
15、焦点,BC 边所在的直线方程为 4x+y-20=0,则抛物线的方程为 . 答案 y 2=16x二、解答题(共 30 分)2.(2017 江苏连云港白塔中学期中)已知抛物线 y2=4x,过点 M(0,2)的直线 l 与该抛物线交于 A,B 两点,且直线l 与 x 轴交于点 C.(1)求证:MA,MC,MB 成等比数列;(2)设 = , = ,求证:+ 为定值. 证明 (1)易知,直线 l 的斜率存在,且不为 0.设直线 l 的方程为 y=kx+2(k0),则 C .(-2,0)由 得 k2x2+(4k-4)x+4=0.=+2,2=4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,
16、x 1x2= ,4-4242MAMB= |x1-0| |x2-0|= ,1+2 1+24(1+2)2而 MC2= = ,( 1+2|-2-0|)24(1+2)2MC 2=MAMB0,即 MA,MC,MB 成等比数列.(2)由 = , = 得 (x1,y1-2)= ,(x2,y2-2)= ,(-2-1,-1) (-2-2,-2)= ,= ,+= .-11+2-22+2-2212-2(1+2)212+2(1+2)+4将(1)中代入得 +=-1,故 + 为定值.3.(2016 江苏扬州期末,18)某隧道设计为双向四车道,车道总宽 20 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道口截面的拱线近似地看成抛物
17、线形状的一部分,如图所示,建立平面直角坐标系 xOy.(1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少?(2)为了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高 h 不小于 6 米,则应如何设计拱高 h 和拱宽 l,使得隧道口截面面积最小?(隧道口截面面 积 公式 为 =23)6解析 (1)设抛物线的方程为:y=-ax 2(a0),因为抛物线过点 ,(10,-32)- =-a100,所以 a= ,y=- x2.32 3200 3200令 y=-6,解得:x=20,所以隧道设计的拱宽 l 是 40 米.(2)因为抛物线最大拱高为 h 米,所以抛物线过点 ,代入抛物
18、线方程得:a= ,(10,-(-92)-92100所以 y=- x2.-92100令 y=-h,则- x2=-h,解得:x 2= ,-92100100-92则 = ,h= ,(2)2100-929222-400h6, 6,即 200,即 S 在(20,20 )上单调递减,在(20 ,40上单调递增,S 在3 3 3 3l=20 时取得最小值,此时 l=20 ,h= .3 3274答:当拱高为 米,拱宽为 20 米时,隧道口截面面积最小.274 3C 组 20162018 年模拟方法题组7方法 1 求抛物线方程的方法1.(2016 福建厦门质检)如图,过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 的
19、直线交抛物线于点 A、B,交其准线 l 于点 C,若BC=2BF,且 AF=3,则此抛物线的方程为 . 答案 y 2=3x2.如图,已知抛物线 y2=2px(p0)有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,两直角边 OA 与 OB 的长分别为 1 和 8,则抛物线的方程为 . 答案 y 2= x455方法 2 抛物线定义的理解3.(2017 南京、盐城二模,8)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A 为垂足.若直线 AF 的斜率 k=- ,则线段 PF 的长为 . 3答案 64.(2016 江苏东海中学期中)已知抛物线 y2=8x
20、 的焦点为 F,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且AK= AF,则AFK 的面积为 . 2答案 8方法 3 抛物线的最值问题5.如图,已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1).(1)求抛物线 C 的方程;(2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M,N 两点,求 MN 的最小值.解析 (1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p0),因为焦点为 F(0,1),所以 =1,2所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y
21、=kx+1.由 消去 y,整理得 x2-4kx-4=0,=+1,2=4所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x 1-x2|=4 .2+18由=11,=-2,解得点 M 的横坐标 xM= = = .211-1211-214 84-1同理,点 N 的横坐标 xN= .84-2所以 MN= |xM-xN|=22| 84-1- 84-2|=8 = ,2| 1-212-4(1+2)+16| 822+1|4-3|令 4k-3=t,t0,则 k= .+34当 t0 时,MN=2 2 .2252+6+1 2当 t0 时,MN=2 .2(5+35)2+1625852综上所述,当 t=- ,即 k=- 时,253 43MN 取得最小值 ,最小值是 .852
