1、113.4 空间几何体的表面积与体积考纲解读五年高考统计考点 内容解读 要求2013 2014 2015 2016 2017 常考题型 预测热度1.表面积 简单几何体表面积求解 A 填空题 2.体积1.简单几何体体积求解2.简单等积变换A 8题5分 8题5分 填空题解答题 分析解读 江苏高考对体积问题几乎是每年必考,主要考查简单几何体的体积求解,偶尔考查简单的体积变换,试题难度中等.五年高考考点一 表面积1.(2017课标全国文,15,5 分)长方体的长,宽,高分别为 3,2,1,其顶点都在球 O的球面上,则球 O的表面积为 .答案 142.(2017课标全国文,16,5 分)已知三棱锥 S-
2、ABC的所有顶点都在球 O的球面上,SC 是球 O的直径.若平面SCA平面 SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥 S-ABC的体积为 9,则球 O的表面积为 . 答案 363.(2016课标全国改编,4,5 分)体积为 8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 . 答案 124.(2015课标改编,9,5 分)已知 A,B是球 O的球面上两点,AOB=90,C 为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC体积的最大值为 36,则球 O的表面积为 . 答案 1445.(2014大纲全国改编,8,5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为 . 答
3、案 8146.(2014山东,13,5 分)一个六棱锥的体积为 2 ,其底面是边长为 2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的3侧面积为 . 答案 127.(2013课标全国,15,5 分)已知正四棱锥 O-ABCD的体积为 ,底面边长为 ,则以 O为球心,OA 为半径的球3223的表面积为 . 答案 24考点二 体积1.(2016课标全国,11,5 分)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA 1=3,则 V的最大值是 . 答案 922.(2015山东改编,7,5 分)在梯形 ABCD中,ABC= ,ADBC,BC=2AD=2AB=2
4、. 将梯形 ABCD绕 AD所在的直线旋转2一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 . 答案 5323.(2015课标改编,6,5 分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8尺,米堆的高为 5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1斛米的体积约为 1.62立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有 斛. 答案 224.(2014江苏,8,5 分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1、S 2,体积分别为 V1、V 2,若它们的侧
5、面积相等,且= ,则 的值是 . 129412答案 325.(2014陕西改编,5,5 分)已知底面边长为 1,侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体2积为 . 答案 436.(2013课标全国理改编,6,5 分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的 体积为 .答案 cm350037.(2013江苏,8,5 分)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1的中点,设三棱锥 F-ADE的体积为V1,三棱柱 A1B1C
6、1-ABC的体积为 V2,则 V1V 2= . 答案 124教师用书专用(89)8.(2014福建,19,12 分)如图,三棱锥 A-BCD中,AB平面 BCD,CDBD.(1)求证:CD平面 ABD;(2)若 AB=BD=CD=1,M为 AD中点,求三棱锥 A-MBC的体积.3解析 (1)证明:AB平面 BCD,CD平面 BCD,ABCD.又CDBD,ABBD=B,AB平面 ABD,BD平面 ABD,CD平面 ABD.(2)解法一:由 AB平面 BCD,得 ABBD.AB=BD=1,S ABD = .12M 是 AD的中点,S ABM = SABD = .12 14由(1)知,CD平面 AB
7、D,三棱锥 C-ABM的高 h=CD=1,因此三棱锥 A-MBC的体积 VA-MBC=VC-ABM= SABM h= .13 112解法二:如图,过点 M作 MNBD 交 BD于点 N,由 AB平面 BCD知,平面 ABD平面 BCD,又平面 ABD平面 BCD=BD,所以 MN平面 BCD,且 MN= AB= ,12 12又 CDBD,BD=CD=1,S BCD = .12三棱锥 A-MBC的体积 VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD= ABSBCD - MNSBCD = .13 13 1129.(2013重庆,19,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD中,PA底面 ABCD,PA=2
8、,BC=CD=2,ACB=ACD= .33(1)求证:BD平面 PAC;(2)若侧棱 PC上的点 F满足 PF=7FC,求三棱锥 P-BDF的体积.4解析 (1)证明:因 BC=CD,即BCD 为等腰三角形,又ACB=ACD,故 BDAC.因为 PA底面 ABCD,所以 PABD.从而 BD与平面 PAC内两条相交直线 PA,AC都垂直,所以 BD平面 PAC.(2)三棱锥 P-BCD的底面 BCD的面积 SBCD = BCCDsinBCD= 22sin = .12 12 23 3由 PA底面 ABCD,得VP-BCD= SBCD PA= 2 =2.13 13 3 3由 PF=7FC,得三棱锥
9、 F-BCD的高为 PA,故 VF-BCD= SBCD PA= 2 = ,18 13 18 13 3 18 314所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2- = .1474三年模拟A组 20162018 年模拟基础题组考点一 表面积1.(苏教必 2,一,3,变式)将边长为 1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是 .答案 22.(2017江苏南京高淳质检,8)若正四棱锥的底面边长为 2 ,体积为 8,则其侧面积为 . 2答案 4 223.(苏教必 2,一,3,变式)如图,斜三棱柱 ABC-ABC中,底面是边长为 a的正三角形,侧棱长为 b,侧棱 AA与底面相邻
10、两边 AB与 AC都成 45角,求此斜三棱柱的表面积.解析 如图,过 A作 AD平面 ABC于 D,过 D作 DEAB 于 E,DFAC 于 F,连结 AE,AF,AD.AEAB,AFAC,AAE=AAF,AA=AA,RtAAERtAAF,AE=AF,DE=DF,AD 平分BAC,又AB=AC,BCAD,BCAD,ADAD=D,5BC平面 AAD,BCAA,而 AABB,BCBB,四边形 BCCB是矩形,斜三棱柱的侧面积为 2absin 45+ab=( +1)ab.2又斜三棱柱底面三角形的面积为 a2,34斜三棱柱的表面积为( +1)ab+ a2.232考点二 体积4.(2018江苏盐城时杨中
11、学高三月考)在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,已知 AB=2,AA1=4,若 E,F分别是棱 BB1和 CC1上的点,则三棱锥 A-A1EF的体积是 . 答案 4335.(2018江苏天一中学高三调研考试)在矩形 ABCD中, AB=4,BC=3,沿 AC将矩形 ABCD折成一个二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD的外接球的体积为 . 答案 12566.(2017江苏泰州中学模拟,6)在ABC 中,AB=2,BC=1.5,ABC=120,若使ABC 绕直线 BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是 . 答案 327.(2017江苏南京学情调研,10)已知圆柱 M的底面半径为 2,高为 6;
12、圆锥 N的底面直径和母线长相等.若圆柱 M和圆锥 N的体积相同,则圆锥 N的高为 . 答案 68.(苏教必 2,一,3,变式)将边长为 a的正方形 ABCD沿对角线 AC折起,使得 BD=a,则三棱锥 D-ABC的体积为 .答案 a32129.(2016江苏南通一模,8)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,点 E是棱 B1B的中点,则三棱锥 B1-ADE的体积为 . 答案 112B组 201 62018年模拟提升题组(满分:10 分 时间:10 分钟)填空题(每小题 5分,共 10分)1.(2017江苏南京,盐城一模,10)将矩形 ABCD绕边 AB所在直线旋转一周得到一个圆柱
13、,AB=3,BC=2,圆柱上底面圆心为 A,EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥 A-EFG体积的最大值是 . 答案 42.(2017江苏常州奔牛中学高三调研,9)三棱锥 P-ABC中,PA平面 ABC,ACBC,AC=BC=1,PA= ,则该三棱锥外3接球的表面积为 . 答案 5C组 20162018 年模拟方法题组方法 1 空间几何体的表面积1.已知某圆锥的底面半径 r=3,沿圆锥的母线把侧面展开后得到一个圆心角为 的扇形,则该圆锥的表面积是 .23答案 36方法 2 空间几何体的体积62.(2017南京高三三模,10)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,AB=1,BC
14、=2,BB1=3,ABC=90,点 D为侧棱 BB1上的动点.当 AD+DC1最小时,三棱锥 D-ABC1的体积为 . 答案 13方法 3 解答空间几何体中最值问题的方法3.如图,ABC 内接于圆 O,AB是圆 O的直径,四边形 DCBE为平行四边形,DC平面 ABC,AB=2,EB= .3(1)求证:DE平面 ACD;(2)设 AC=x,V(x)表示三棱锥 B-ACE的体积,求函数 V(x)的解析式及最大值.解析 (1)证明:四边形 DCBE为平行四边形,BCDE.DC平面 ABC,BC平面 ABC,DCBC.AB 是圆 O的直径,ABC 内接于圆 O,BCAC,DCAC=C,BC平面 AC
15、D.DEBC,DE平面 ACD.(2)四边形 DCBE为平行四边形,BECD.DC平面 ABC,BE平面 ABC.在 RtABC 中,AC=x,AB=2,BC= (0x2),4-2S ABC = ACBC= x ,12 12 4-2V(x)=V E-ABC= x (0x2).364-2x 2(4-x2) =4,当且仅当 x2=4-x2,即 x= 时,取等号,(2+4-22 )22当 x= 时,V(x)取得最大值,最大值为 .2334.如图,在直角梯形 ABCD中,ABCD,ADAB,CD=2AB=4,AD= ,E为 CD的中点,将BCE 沿 BE折起,使得 CODE,其2中点 O在线段 DE上
16、.(1)求证:CO平面 ABED;(2)设CEO=, 为何值时,三棱锥 C-AOE的体积最大?最大值为多少?7解析 (1)证明:在直角梯形 ABCD中,CD=2AB,E 为 CD的中点,故 AB=DE,又 ABDE,所以四边形 ABED是平行四边形,所以 ADBE,又因为 ABCD,ADAB,所以 BECD.在四棱锥 C-ABED中,BEDE,BECE,CEDE=E,所以 BE平面 CDE.因为 CO平面 CDE,所以 BECO.又 CODE,且 BEDE=E,故 CO平面 ABED.(2)由题意知 .由(1)知 CO平面 ABED,则三棱锥 C-AOE的体积 V= SAOE OC= OEADOC.(0,2 13 13 12在直角梯形 ABCD中,CD=2AB=4,AD= ,CE=2,故在三棱锥 C-OAE中,OE=CEcos =2cos ,OC=CE sin =2sin ,所2以 V= sin 2 ,当且仅当 sin 2=1,即 = 时取等号,此时 OE= DE,点 O在线段 DE上,符合题意,23 23 42故当 = 时,三棱锥 C-AOE的体积最大 ,最大值为 .4 23
