1、122.2 坐标系与参数方程五年高考考点一 极坐标方程和直角坐标方程的互化1.(2017 北京理,11,5 分)在极坐标系中,点 A 在圆 2-2cos -4sin +4=0 上,点 P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 . 答案 12.(2017 天津理,11,5 分)在极坐标系中,直线 4cos +1=0 与圆 =2sin 的公共点的个数为 . (-6)答案 23.(2015 北京,11,5 分)在极坐标系中,点 到直线 (cos + sin )=6 的距离为 . (2,3) 3答案 14.(2015 重庆,15,5 分)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点为极点
2、,x 轴的正半轴为极轴=-1+,=1+建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2cos 2=4 ,则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为 .(0,340).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极=cos,=1+sin轴的极坐标系中,曲线 C2:=4cos .(1)说明 C1是哪一种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程;(2)直线 C3的极坐标方程为 = 0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上,求 a.解析 (1)消去参数 t 得到 C1的普通方程:x 2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.( 2 分)将 x=cos ,y=sin
3、代入 C1的普通方程中,得到 C1的极坐标方程为 2-2sin +1-a 2=0.(4 分)(2)曲线 C1,C2的公共点的极坐标满足方程组(6 分)2-2sin+1-2=0,=4cos. 若 0,由方程组得 16cos2-8sin cos +1-a 2=0,(8 分)由已知 tan =2,可得 16cos2-8sin cos =0,从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去)或 a=1.a=1 时,极点也为 C1,C2的公共点,在 C3上.所以 a=1.(10 分)29.(2015 江苏,21C,10 分)选修 44:坐标系与参数方程已知圆 C 的极坐标方程为 2+2 sin -4=0,求圆
4、C 的半径.2 (-4)解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 2+2 -4=0,2 (22sin- 22cos)化简,得 2+2sin -2cos -4=0.则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1) 2+(y+1)2=6,所以圆 C 的半径为 .610.(2015 课标,23,10 分)(选修 44:坐标系与参数方程)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求 C1,C2的
5、极坐标方程;(2)若直线 C3的极坐标方程为 = (R),设 C2与 C3的交点为 M,N,求C 2MN 的 面积.4解析 (1)因为 x=cos ,y=sin ,所以 C1的极坐标方程为 cos =-2,C 2的极坐标方程为 2-2cos -4sin +4=0.(5 分)(2)将 = 代入 2-2cos -4sin +4=0,得 2-3 +4=0,解得 1=2 , 2= ,故 1- 2= ,即4 2 2 2 2|MN|= .2由于 C2的半径为 1,所以C 2MN 的面积为 .(10 分)1211.(2015 湖南,16(2),12 分)(选修 44:坐标系与参数方程)已知直线 l: (t
6、为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程=5+ 32,= 3+12为 =2cos .(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点 M 的直角坐标为(5, ),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|MB|的值.3解析 (1)=2cos 等价于 2=2cos .将 2=x2+y2,cos =x 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.(2)将 代入,得 t2+5 t+18=0.设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义即知,=5+ 32,= 3+12 3|MA|MB|=|t1t2|=18.
7、12.(2014 课标,23,10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 =2cos , .0,2(1)求 C 的参数方程;(2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.3解析 (1)C 的普通方程为(x-1) 2+y2=1(0y1).3可得 C 的参数方程为 (t 为参数,0t).=1+cos,=sin (2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C
8、 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= ,t= .33故 D 的直角坐标为 ,即 .(1+cos 3,sin3) (32, 32)教师用书专用(1320)13.(2014 安徽改编,4,5 分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是 (t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 =4cos ,则直线=+1,=-3l 被圆 C 截得的弦长为 . 答案 2 214.(2014 广东,14,5 分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1和 C2的方程分别为 sin 2
9、=cos 和 sin =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1和 C2交点的直角坐标为 . 答案 (1,1)15.(2013 安徽理改编,7,5 分)在极坐标系中,圆 =2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 .答案 = (R)和 cos =2216.(2013 湖北理,16,5 分)(选修 44:坐标系与参数方程)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ( 为参数,ab0),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同=cos,=sin的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分
10、别为sin = m(m 为非零常数 )与 =b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为 .(+4) 22答案 6317.(2013 北京理,9,5 分)在极坐标系中,点 到直线 sin =2 的距离等于 . (2,6)答案 118.(2013 江西理,15,5 分)(坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为 (t 为参数),若以直角坐标=,=2系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 . 答案 cos 2=sin 19.(2014 辽宁,23,10 分)选修 44:坐标系与参数方程将圆 x2+y2=1 上每一点的横
11、坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程;(2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.解析 (1)设(x 1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 C 上点(x,y),依题意,得 =1,=21,由 + =1 得 x2+ =1,即曲线 C 的方程为 x2+ =1.2121 (2)2 24故 C 的参数方程为 (t 为参数).=cos,=2sin4(2)由 解得 或2+24=1,2+-2=0 =1,=0 =0,=2.不妨设 P1(1,
12、0),P2(0,2),则线段 P1P2的中点坐标为 ,所求直线斜率为 k= ,于是所求直线方程为 y-1= ,(12,1) 12 12(-12)化为极坐标方程,并整理得 2cos -4sin =-3,即 = .34sin-2cos20.(2013 辽宁理,23,10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2的极坐标方程分别为 =4sin ,cos =2 .(-4) 2(1)求 C1与 C2交点的极坐标;(2)设 P 为 C1的圆心,Q 为 C1与 C2交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为 (tR 为参
13、数),求 a,b=3+,=23+1的值.解析 (1)圆 C1的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4,直线 C2的直角坐标方程为 x+y-4=0.解 得2+(-2)2=4,+-4=0 1=0,1=4,2=2,2=2.所以 C1与 C2交点的极坐标为 , .(6 分)(4,2) (22,4)注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0.由参数方程可得 y= x- +1,2 2所以 解得 a=-1,b=2.(10 分)2=1,-2+1=2,考点二 参数方程和普通方程的互化1.(2016 天津
14、理,14,5 分)设抛物线 (t 为参数,p0)的焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线,垂=22,=2足为 B.设 C ,AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|=2|AF|,且ACE 的面积为 3 ,则 p 的值为 . (72,0) 2答案 62.(2015 湖北,16,5 分)(选修 44:坐标系与参数方程)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 的极坐标方程为 (sin -3cos )=0,曲线 C 的参数方程为 (t 为参数),l 与 C 相交于 A,B 两点,则|AB|= . =-1,=+1答案 2 553.(2
15、014 湖北,16,5 分)已知曲线 C1的参数方程是 (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建= ,= 33立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程是 =2,则 C1与 C2交点的直角坐标为 . 答案 ( ,1)34.(2016 江苏,21C,10 分)选修 44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),椭圆 C 的参数方程为 ( 为=1+12,= 32 =cos,=2sin参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.解析 椭圆 C 的普通方程为 x2+ =1.24将直线 l 的参数方程 (t 为参数)
16、代入 x2+ =1,得=1+12,= 32 24+ =1,即 7t2+16t=0,解得 t1=0,t2=- .(1+12)2(32)24 167所以 AB=|t1-t2|= .1675.(2016 课标全国理,23,10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建= 3cos,=sin立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 sin =2 .(+4) 2(1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程;(2)设点 P 在 C1上,点 Q 在 C2上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.解析 (
17、1)C 1的普通方程为 +y2=1.23C2的直角坐标方程为 x+y-4=0.(5 分)(2)由题意,可设点 P 的直角坐标为( cos ,sin ).因为 C2是直线,所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2的距离3d()的最小值,d()= = .(8 分)| 3cos+sin-4|2 2|sin(+3)-2|当且仅当 =2k+ (kZ)时 ,d()取得最小值,最小值为 ,此时 P 的直角坐标为 .(10 分)6 2 (32,12)6.(2016 课标全国,23,10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6) 2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,
18、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;(2)直线 l 的参数方程是 (t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|= ,求 l 的斜率.=cos,=sin 10解析 (1)由 x=cos ,y=sin 可得圆 C 的极坐标方程为 2+12cos +11=0.( 3 分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 =(R).6设 A,B 所对应的极径分别为 1, 2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2+12cos +11=0.(6 分)于是 1+ 2=-12cos , 1 2=11.|AB|=| 1- 2|= = .(8 分)(1+2)2-
19、412 1442-44由|AB|= 得 cos2= ,tan = .(9 分)1038 153所以 l 的斜率为 或- .(10 分)153 1537.(2015 课标,23,10 分)(选修 44:坐标系与参数方程)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: (t 为参数,t0),其中 00)相切,求 a 的值.(+3)解析 直线方程 cos =2 转化为 x- y-4=0,(+3) 3圆的方程 =acos (a0)转化为 2=acos ,整理成直角坐标方程为 x2+y2-ax=0,9即 +y2= ,(-2)2 24因为直线与圆相切,a0,所以 到直线 x- y-4=0 的距离等于 .(2,0)
20、 3 2所以 = ,|2-4|1+32解得 a= 或 a=-8(舍去).83故 a 的值为 .832.(苏教选 44,四,2,9,变式)在极坐标系中,设直线 = 与曲线 2-10cos+4=0 相交于 A,B 两点,求线段3AB 中点的极坐标.解析 将直线方程 = 化为普通方程得 ,y= x,3 3将曲线方程 2-10cos+4=0 化为普通方程得,x 2+y2-10x+4=0,由 消去 y 得,2x 2-5x+2=0,= 3,2+2-10+4=0解得 x1= ,x2=2,12所以 AB 中点的横坐标为 = ,纵坐标为 ,1+22 54 543化为极坐标为 .(52,3)3.(2017 江苏苏
21、北四市摸底)已知曲线 C 的极坐标方程为 sin =3,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的非负(+ 3)半轴建立平面直角坐标系,求曲线 C 的直角坐标方程.解析 由 sin =3 得 sin + cos =3,(+3) 12 32因为 cos =x,sin =y,所以曲线 C 的直角坐标方程为 x+y-6=0.34.(2017 南通、泰州高三一模)在极坐标系中,求直线 = (R)被曲线 =4sin 所截得的弦长.4解析 解法一:在 =4sin 中,令 = ,得 =4sin =2 ,即弦长为 2 .4 4 2 2解法二:以极点 O 为坐标原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系.直线 =
22、 (R)的直角坐标方程为 y=x,4曲线 =4sin 的直角坐标方程为 x2+y2-4y=0.由得 或=0,=0 =2,=2,所以直线 = (R)被曲线 =4sin 所截得的弦长= =2 .4 (2-0)2+(2-0)2 2105.(2017 苏北三市第三次模拟考试, 21C)在极坐标系中,已知点 A ,点 B 在直线 l:cos +sin (2,2)=0(02)上.当线段 AB 最短时,求点 B 的极坐标.解析 以极点为原点,极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系,则点 A 的直角坐标为(0,2),直线 l 的直角(2,2)坐标方程为 x+y=0.当线段 AB 最短时,点 B 为直线 x-
23、y+2=0 与直线 l 的交点,由 解得 所以点 B 的直 角坐标为(-1,1).-+2=0,+=0, =-1,=1, 所以点 B 的极坐标为 .(2,34)考点二 参数方程和普通方程的互化6.(2018 江苏徐州铜山中学期中)在极坐标系中,圆 C 的方程为 =2acos (a0),以极点为坐标原点,极轴为 x轴非负半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 (t 为参数),若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求=5+1,=12-1实数 a 的取值范围.解析 由 (t 为参数),可得 直线 l 的普通方程为 12x-5y-17=0,=5+1,=12-1由 =2acos (a0)得 2=2a
24、cos ,所以圆 C 的标准方程为(x-a) 2+y2=a2,因为直线 l 与圆 C 恒有公共点,所以 |a|.|12-17|122+(-5)2又因为 a0,所以 a,解得 a ,|12-17|122+(-5)2 1725所以实数 a 的取值范围为 a .17257.(2018 江苏扬州中学高三月考)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线 C1: (t 为参数)和曲线 C2:sin 2=2cos 相交于 A、B 两点,求 AB=2+35,=45 中点的直角坐标.解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C1的直角坐标方程为 4x-3y-8=0,C2的直角坐标方程为 y2=2x,将直线方程代入 y2=2x 可得 2y2-3y-8=0,所以 y1+y2= ,y1y2=-4,所以 x1+x2= = ,32 21+222 418所以 AB 中点的坐标为 .(4116,34)8.(苏教选 44,四,4,4,变式)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),P 是椭圆 +y2=1 上的任意一点,=4-2,=-2 24求点 P 到直线 l 的距离的最大值.解析 由于直线 l 的参数方程为 (t 为参数),=4-2,=-2
