1、122.1 矩阵与变换考纲解读五年高考统计考点 内容解读 要求2013 2014 2015 2016 2017 常考题型 预测热度1.矩阵与变换1.矩阵与逆矩阵2.矩阵变换的运用3.矩阵的特征值与特征向量B 21B,10 分 21B,10 分 21B,10 分 21B,10 分 21B,10 分 解答题 2.极坐标方程和直角坐标方程的互化极坐标方程及简单运用 B21C,10 分 解答题 3.参数方程和普通方程的互化 参数方程及简单运用 B21C,10 分21C,10 分21C,10 分21C,10 分 解答题 4.不等式的解法与证明1.绝对值不等式的解法2.简单不等式的证明B 21D,10 分
2、 21D,10 分 21D,10 分 21D,10 分 21D,10 分 解答题 分析解读 江苏高考对选修 4 的考查方式是从“矩阵与变换,坐标系与参数方程,不等式选讲”三个题目中任意选做两题,试题为容易题,基本是课本改编题,只要掌握基本概念和基本公式、定理就能解决.复习时要严格控制难度,注意解题的准确性和规范性.命题探究直线 l 的普通方程为 x-2y+8=0.因为点 P 在曲线 C 上,所以设 P(2s2,2 s),2从而点 P 到直线 l 的距离 d= =|22-42+8|12+(-2)2.2(- 2)2+45当 s= 时,d min= .2455因此当点 P 的坐标为(4,4)时,曲线
3、 C 上点 P 到直线 l的距离取到最小值 .455五年高考考点 矩阵与变换21.(2017 江苏,21B,10 分)选修 42:矩阵与变换已知矩阵 A= ,B= .0 11 0 1 00 2(1)求 AB;(2)若曲线 C1: + =1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2,求 C2的方程.28 22解析 本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为 A= ,B= ,01 10 10 02所以 AB= = .01 1010 0201 20(2)设 Q(x0,y0)为曲线 C1上的任意一点,它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为 P(x,y),则 = ,
4、即 所以01 2000 20=,0=, 0=,0=2.因为点 Q(x0,y0)在曲线 C1上,则 + =1,208202从而 + =1,即 x2+y2=8.28 28因此曲线 C1在矩阵 AB 对应的变换作用下得到曲线 C2:x2+y2=8.2.(2016 江苏,21B,10 分)已知矩阵 A= ,矩阵 B 的逆矩阵 B-1= ,求矩阵 AB.1 20-2 1 -120 2解析 设 B= , 则 B-1B= = ,1 -120 2 10 01即 = ,-122 -12210 01故 解得 所以 B= .-12=1,-12=0,2=0,2=1, =1,=14,=0,=12, 1 140 12因此
5、,AB= = .10 2-21 140 12 1 540 -13.(2015 江苏,21B,10 分)已知 x,yR,向量 = 是矩阵 A= 的属于特征值-2 的一个特征向量,求矩阵 A1-1 1 0以及它的另一个特征值.3解析 由已知,得 A=-2,即 = = , 1 01-1 -1-22则 即-1=-2,=2, =-1,=2,所以矩阵 A= .-1 12 0从而矩阵 A 的特征多项式 f()=(+2)(-1),所以矩阵 A 的另一个特征值为 1.4.(2014 江苏,21B,10 分)已知矩阵 A= ,B= ,向量 = ,x,y 为实数,若 A=B,求 x+y 的值.-11 2 12 1-
6、1 2解析 由已知,得 A= = ,B= = .-1 21 2-2+22+ 1 12 -122+4-因为 A=B,所以 = .故-2+22+2+4- -2+2=2+,2+=4-. 解得 所以 x+y= .=-12,=4. 725.(2013 江苏,21B,10 分)已知矩阵 A= ,B= ,求矩阵 A-1B.-1 00 2 1 20 6解析 设矩阵 A 的逆矩阵为 ,则 = , -1 00 2 1 00 1即 = ,- -2 21 00 1故 a=-1,b=0,c=0,d= ,从而 A 的逆矩阵为 A-1= ,12 -1 00 12所以 A-1B=-1 00 121 20 6= .-1 -20
7、 3 教师用书专用(6)6.2013 福建,21(1),7 分选修 42:矩阵与变换已知直线 l:ax+y=1 在矩阵 A= 对应的变换作用下变为直线 l:x+by=1.(1 20 1)(1)求实数 a,b 的值;(2)若点 P(x0,y0)在直线 l 上,且 A = ,求点 P 的坐 标.(00)(00)解析 (1)设直线 l:ax+y=1 上任意点 M(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M(x,y).由 = = ,得()(1 20 1)()(+2 ) =+2,=. 又点 M(x,y)在 l上,所以 x+by=1,即 x+(b+2)y=1,依题意得 解得=1,+2=1, =1,=-
8、1.(2)由 A = ,得 解得 y0=0.(00)(00) 0=0+20,0=0, 又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=1.故点 P 的坐标为(1,0).4三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组考点 矩阵与变换1.(2018 江苏徐州铜山中学期中)已知矩阵 A= ,若直线 y=kx+1 在矩阵 A 对应的变换作用下得到的直线过点1 01 2P(2,6),求实数 k 的值 .解析 矩阵 A= ,A -1= ,1 01 2 1 0-12 12所以 A-1 = = ,261 0-12 122622将(2,2)代入 y=kx+1 得 k= .122.(2018 江苏扬州中学高
9、三月考)已知矩阵 A= ,A 的逆矩阵 A-1= ,求 A 的特征值.3 02 13 0 1解析 因为 AA-1= = = ,所以3 02 13 0 11 023+ 1 00 1 =1,23+=0.解得 a=1,b=- .23A= ,3 02 1则 A 的特征多项式 f()= =(-3)(-1).|-3 0-2 -1|令 f()=0,解得 1=1, 2=3.所以 A 的特征值为 1,3.3.(2017 江苏南京、盐城一模)设矩阵 M= 的特征值 对应的一个特征向量为 ,求 m 与 的值. 22 -3 1-2解析 由题意得 = , 22 -31-2 1-2则 -4=,2+6=-2,解得 m=0,
10、=-4.4.(2017 江苏扬州期中)已知矩阵 M= 的一个特征值为 4,求实数 a 的值.2 3 1解析 矩阵 M 的特征多项式 f()= =(-2)(-1)-3a,因为矩阵 M= 的一个特征值为 4,|-2 -3- -1| 2 3 1所以 4 为方程 f()=0 的一个根,所以 23-3a=0,解得 a=2.5.(2017 江苏徐州期末调研)已知矩阵 A= 的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量 = .求 a,b 的值.1 -1 21解析 由条件知,A=2,即 =2 ,即 = ,1 -1 21 21 2+-2+42所以 解得2+=4,-2+=2, =2,=4.5所以 a,b 的值分别为
11、2,4.6.(2016 江苏苏北四市一模,21)已知矩阵 A= ,求矩阵 A 的特征值和特征向量.1 2-1 4解析 矩阵 A 的特征多项式 f()= = 2-5+6,|-1 -21 -4|由 f()=0,解得 1=2, 2=3.当 =2 时,特征方程组为 -2=0,-2=0,故属于特征值 2 的一个特征向量 1= ;21当 =3 时,特征方程组为 2-2=0,-=0, 故属于特征值 3 的一个特征向量 2= .11B 组 20162018 年模拟提升题组(满分:40 分 时间:20 分钟)解答题(共 40 分)1.(2017 江苏苏州期中)已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向
12、量 e1= ,并且矩阵 M 将点(-1,3)变11换为(0,8).(1)求矩阵 M;(2)求曲线 x+3y-2=0 在 M 的作用下所得的新曲线方程.解析 (1)设 M= , 由题意得 =8 , = , 11 11 -1308 解得 M= .+=8,+=8,-+3=0,-+3=8, =6,=2,=4,=4, 6 24 4(2)设原曲线上任一点 P(x,y)在 M 的作用下的对应点为 P(x,y),则 = ,即6 24 4 =6+2,=4+4,解得=2-8 ,=-2+38 ,代入 x+3y-2=0,得 x-2y+4=0,即曲线 x+3y-2=0 在 M 的作用下得到的新曲线方程为 x-2y+4=
13、0.2.(2017 江苏海安中学质检)已知二阶矩阵 A= ,矩阵 A 属于特征值 1=-1 的一个特征向量为 1= ,属于 1-1特征值 2=4 的一个特征向量为 2= .求矩阵 A.32解析 由特征值、特征向量的定义可知,A 1= 1 1,即 =-1 ,所以 1-1 1-1 -=-1,-=1. 同理可得 解得 a=2,b=3,c=2,d=1.3+2=12,3+2=8,6因此矩阵 A= .2 32 13.(苏教选 42,二,5,3,变式)二阶矩阵 A 有特征值 =6,其对应的一个特征向量 e= ,并且矩阵 A 对应的变换11将点(1,2)变换成点(8,4),求矩阵 A.解析 设所求二阶矩阵 A
14、= ,则 =6,12=84, +=66,+2+2=84, +=6,+=6,+2=8,+2=4,解方程组得=4,=2,=8,=-2,A= .4 28 -24.(2016 江苏南通二模,21)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 A(-1,2)在矩阵 M= 对应的变换作用下得到点 A,将-100 1点 B(3,4)绕点 A逆时针旋转 90得到点 B,求点 B的坐标.解析 设 B(x,y),由 = ,得 A(1,2).-100 1-12 12则 =(2,2), =(x-1,y-2). 记旋转矩阵 N= ,0 -11 0则 = ,即 = ,解得0 -11 022 -1-2 -22-1-2 =-1,=4,
15、所以点 B的坐标为(-1,4).C 组 20162018 年模拟方法题组方法 1 求解逆矩阵1.已知二阶矩阵 M 对应的变换 T 将平面上的点(2,-1),(-1,2)分别变换成点(3,-4),(0,5),试求矩阵 M 的逆矩阵.解析 设 M= , 则 = , = , 2-13-4 -1205所以 解得 所以矩阵 M= ,设矩阵 M 的 逆矩阵 M-1= ,易知 MM-1= ,所以2-=3,2-=-4,-+2=0,-+2=5, =2,=1,=-1,=2, 2 1-1 2 1 00 1解得2+=1,2+=0,-+2=0,-+2=1, =25,=-15,=15,=25, 7所以 M-1= .25
16、-1515 25方法 2 矩阵变换的应用2.(2016 江苏南京、盐城一模,21)设矩阵 M= 的一个特征值为 2,若曲线 C 在矩阵 M 对应的变换下的方程为 02 1x2+y2=1,求曲线 C 的方程.解析 由题意,知矩阵 M 的特征多项式为 f()=(-a)(-1),因矩阵 M 的一个特征值为 2,所以 f(2)=0,所以 a=2.设曲线 C 上任一点的坐标为(x,y),其在矩阵 M 对应的变换下的对应点的坐标为(x,y).所以 M = = ,即2 02 1 =2,=2+,因为曲线 C 在矩阵 M 对应的变换下的方程为 x2+y2=1,所以(2x) 2+(2x+y)2=1,即曲线 C 的方程为 8x2+4xy+y2=1.
