1、2018年10月21日,第3章 控制系统的时域分析法,2018年10月21日,教学目的与要求：,1、掌握时间响应的基本概念，熟悉实验常用的典型信号；,2、掌握一阶系统、二阶系统的时间响应；,3、掌握瞬态响应的性能指标；,5、熟练进行稳态误差的分析与计算。,教学重点和难点：,二阶系统的时间响应、瞬态性能指标、稳定性、稳态误差分析,4、稳定性与劳斯判据；,2018年10月21日,控制系统的数学模型建立之后，就可以分析控制系统的性能。在经典控制理论中，常采用时域分析法、根轨迹法或频率响应法来分析并综合线性定常系统的性能。时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可
2、以提供系统时间响应的全部信息。,2018年10月21日,3.1 典型输入信号和时域分析法 3.2 一阶系统的动态响应 3.3 二阶系统的动态响应 3.4 高阶系统分析 3.5 稳定性和代数稳定判据 3.6 稳态误差分析与计算,2018年10月21日,3.1 典型输入信号和时域分析法,2018年10月21日,3.1.1 典型输入信号,时间响应表现系统动态性能。不仅取决于系统本身特性（微方），还与输入信号形式有关。系统工作时，外加输入信号是随机的，无法确定它在某一瞬间的形式。系统分析和设计时，对各种系统性能进行比较要预先规定一些具有特殊形式的实验信号作为输入，然后比较系统的响应。,2018年10月
3、21日,典型信号的选取原则,输入的形式应反映系统在工作中所响应的实际输入； 输入信号在形式上应尽可能简单，以便于对系统响应的分析； 应选取能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为典型输入信号。 常用的典型实验信号阶跃、斜坡、抛物线、脉冲正弦（频率分析法）,2018年10月21日,1. 阶跃函数,阶跃函数的拉普拉斯变换为,2018年10月21日,2. 斜坡函数,斜坡函数的拉普拉斯变换为,2018年10月21日,3. 抛物线函数,抛物线函数的拉普拉斯变换为,2018年10月21日,4. 脉冲函数,理想脉冲函数的拉普拉斯变换为,其中脉冲宽度为h，脉冲面积等于A，若对脉冲的宽度h取趋于零的极限，则有,
4、当A=1（ h 0）时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作 。,2018年10月21日,5. 正弦函数,正弦函数的拉普拉斯变换为,2018年10月21日,3.1.2 动态过程与稳态过程,动态过程：又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到接近最终状态的响应过程。动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。一个实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是稳定的。动态过程的其他信息用动态性能描述。 2. 稳态过程：是系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，用稳
5、态误差来描述。,2018年10月21日,3.1.3 时域性能指标,1. 动态性能指标,描述稳定系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随t衰减的变化状态的指标，称为动态性能指标。,2018年10月21日,（1）上升时间tr响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，或：响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需时间（无超调系统）反映响应曲线上升趋势表示响应速度指标。 （2）峰值时间tp响应曲线从0到达第一个峰值所需的时间。 （3）调整时间（调节时间）ts在响应曲线从0到达且不再超过稳态值的5%或2%误差范围所需的最少时间。（允许误差=0.05或= 0.02）,2018年10月21日,（4）最大超调量%指在
6、系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分比,（5）振荡次数N：在调节时间ts内，c(t)偏离c()的振荡次数。,注： 以上各种性能指标中，上升时间、峰值时间和调节时间都表示动态过程进行的快慢程度，是快速性指标。超调量反映动态过程振荡激烈程度，是平稳性指标，也称相对稳定性能 。超调量和调节时间是反映系统动态性能好坏的两个最主要指标。,2018年10月21日,2. 稳态性能指标,稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，是当时间趋于无穷时，系统单位阶跃响应的稳态值与输入量之差，即,具有单调上升的阶跃响应,无超调量，只取调节时间ts作为动态性能指标,2018年10月21日,3.2 一阶系统的动
7、态响应,2018年10月21日,传递函数,T=1/K，时间常数 “秒”， 表征系统惯性,结构图,3.2.1 一阶系统的数学模型,2018年10月21日,1. 单位阶跃响应,2018年10月21日,特点： 按指数规律上升 t=0处切线斜率为1/T,参数未知，可由一阶系统单位阶跃响应实验曲线确定T,2018年10月21日,调整时间ts,理论上：瞬态结束进入稳态 t 工程上：与系统要求精度有关ts=4T （误差范围2%）ts=3T （误差范围5%）ts大小作为评价系统响应快慢的指标：调整系统参数 T提高系统快速性注：ts只反映系统特性，与输入、输出无关。,2018年10月21日,2. 单位斜坡响应,
8、2018年10月21日,3. 单位抛物线响应,当时间t时，系统输出信号与输入信号之差将趋于无穷大。说明对于一阶系统是不能跟踪单位抛物线函数输入信号的。,2018年10月21日,4. 单位脉冲响应,2018年10月21日,1. 一阶系统对典型输入信号的响应及响应之间关系,3.2.1 一阶系统的重要性质,2018年10月21日,一阶系统只有一个特征参数T，即其时间常数。在一定的输入信号作用下，其时间响应c(t)由其时间常数惟一确定。 从表可以看出：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分。这一重要特性适用于任何阶次的线性定常系统
9、线性定常系统的重要特性。 利用这一特点，在测试系统时，可以用一种信号输入推断出几种相应信号的响应结果，带来很大方便。而线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性。,2. 结论,2018年10月21日,3.3 二阶系统的动态响应,2018年10月21日,凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。在控制工程中的许多系统都是二阶系统，如电学系统、力学系统等。即使是高阶系统，在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二阶系统。因此，二阶系统的性能分析在自动控制系统分析中有非常重要的地位。,2018年10月21日,3.3.1 二阶系统的数学模型,二阶系统及其响应都可以用 （或T）和 这两个参数加以描述。,
10、2018年10月21日,设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉普拉斯变换式为,3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应,闭环特征方程,其特征根即为闭环传递函数的极点为,闭环极点的性质决定了二阶系统在单位阶跃信号下响应的不同性质。,2018年10月21日,1.当 =0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。,2018年10月21日,2.当0 1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根,系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。,2018年10月21日,2018年10月21日,3. 当 =1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻
11、尼状态。,2018年10月21日,4.当 1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。,2018年10月21日,二阶系统在单位阶跃函数作用下响应曲线,2018年10月21日,（1）上升时间tr当t=tr时，c(tr)=1,上升时间tr是c(t)第一次达到稳态时间,3.3.2 典型二阶系统动态性能指标,1. 欠阻尼二阶系统的动态性能指标,2018年10月21日,（2）峰值时间tptp处有极值，故该处导数值为0,2018年10月21日,（3）超调量%,上式表明，超调量仅是阻尼比的函数，与自然频率n无关。,2018年10月21日,（4）调整时间ts,在设计系统时， 通常由要求的最大超调量决
12、定，而调节时间则由无阻尼振荡频率n来决定。,2018年10月21日,（5）振荡次数N,其中,2018年10月21日,通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比取在0.40.8之间，相应的超调量25%2.5%,而调节时间在3.75T 7.5T之间（取=0.05）。 最佳阻尼比0.707。,上面求得的tr 、tp 、ts、% 和N与二阶系统特征参数之间的关系是分析二阶系统动态性能的基础。若已知 和n的值或复平面上特征方程根的位置，则可以计算出各个性能指标。另一方面，也可以根据对系统的动态性能要求，由性能指标确定二阶系统的特征参数和n。,从平稳性看， 越大越好， ， %,2018年10月21日,2.
13、过阻尼二阶系统的动态性能指标,阶跃响应是从0到1的单调上升过程，超调量为0。用ts即可描述系统的动态性能。,2018年10月21日,例3.2 一位置随动系统，K4。求该系统的阻尼比、自然振荡角频率和单位阶跃响应；系统的峰值时间、调节时间和超调量；若要求阻尼比等于0.707，应怎样改变系统放大系数K值。,解 系统的闭环传递函数为,和标准式比较得：,2018年10月21日,2018年10月21日,从上可以看出，降低开环放大系数K值能使阻尼比增大、超调量下降，可改善系统动态性能。但在以后的系统稳态误差分析中可知，降低开环放大系数将使系统的稳态误差增大。,要求 时:,2018年10月21日,在改善二阶
14、系统性能的方法中，比例-微分控制和速度反馈是常用的两种方法。 比例-微分控制,具有反馈的随动控制系统,3.3.4 二阶系统性能的改善,2018年10月21日,参照式（3.21）有,2018年10月21日,由上式可见，引入比例-微分控制后，系统的无阻尼振荡角频率n不变，但系统的等效阻尼比加大了（ d ）。同时，引入比例-微分控制后，系统闭环传递函数出现附加零点（-1/Td）。闭环零点存在，将会使系统响应速度加快，削弱“阻尼”的作用。因此适当选择微分时间常数Td ，可使系统的调节时间缩短，超调量减小，抑制了振荡，改善了系统的动态性能。,2018年10月21日,2.输出量的速度反馈控制 在原典型二阶
15、系统的反馈通路中增加输出信号的速度分量反馈信号，结构图如下图所示。e(t)为误差信号，Kf为输出量的速度反馈系数。,2018年10月21日,系统的开环传递函数成为,闭环传递函数为,2018年10月21日,由上式可见，引入速度反馈控制后，增加了附加项，同样使系统的无阻尼振荡角频率n不变、等效阻尼比增大（ d ），因而使系统的调节时间缩短，超调量减小，系统的平稳性得到改善。但系统没有附加闭环零点的影响。,2018年10月21日,3.4 高阶系统分析,2018年10月21日,凡是由三阶和三阶以上微分方程描述的系统，称为高阶系统。在控制工程中的绝大多数系统都是高阶系统。对于高阶系统来说，其动态性能指标
16、的确定是比较复杂的。工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，以便将高阶系统在一定的条件下转化为近似的一阶或二阶系统进行分析研究。 由于数字计算机的发展和普及，特别是已经出现一些求解高阶微分方程的软件，如MATLAB等，容易求出高阶系统的输出解及绘制出相应的响应曲线。,2018年10月21日,一、高阶系统的瞬态响应,高阶系统的单位阶跃响应与一、二阶系统的形式相同，均由两个分量组成。一是稳态分量“A0”与时间t无关；二是与时间 t 有关的动态分量。,高阶系统的单位阶跃响应,2018年10月21日,结论:（1）若所有闭环极点都分布在 s 的左半平面，那么当时间t趋于无穷大时，动态分量都
17、趋于零，系统的稳态输出量为“A0”，这时，高阶系统是稳定的；只要有一个正极点或正实部的复数极点存在，那么当 t 趋于无穷大时，该极点对应的动态分量就趋于无穷大，系统输出也就为无穷大，这时系统是不稳定的。 （2）各分量衰减的快慢取决于指数衰减常数。若闭环极点位于s 的左半平面且远离虚轴越远，其对应的响应分量衰减得越快；反之，则衰减越慢。,2018年10月21日,（3）各分量的幅值与闭环极点、零点在s平面中的位置有关： 若某极点的位置离原点很远，那么其相应的系数将很小。所以，远离原点的极点，其动态分量幅值小、衰减快，对系统的动态响应影响很小。 若某极点靠近一个闭环零点又远离原点及其它极点，则相应项
18、的幅值较小，该动态分量的影响也较小。工程上常把处于这种情况的闭环零点、极点，称之为偶极子，一般地这对闭环零、极点之间的距离要比它们本身的模值小一个数量级。偶极子对动态分量影响较小的现象，称之为零极点相消。 若某极点远离零点又接近原点，则相应的幅值就较大。因此，离原点很近并且附近又没有闭环零点的极点，其动态分量项不仅幅值大，而且衰减慢，对系统输出量的影响最大。,2018年10月21日,二、主导极点的概念 在高阶系统中，如果存在某个离虚轴最近的闭环极点，而其它闭环极点与虚轴的距离比起这个极点与虚轴的距离（实部长度）大5倍以上，且其附近不存在闭环零点，则可以认为系统的动态响应主要由这个极点决定。称这
19、个对动态响应起主导作用的闭环极点为主导极点。对应地，其它的极点称为普通极点或非主导极点。在高阶稳定系统中，主导极点往往是一对共轭复数极点，因为这可以得到系统最小的调节时间和较高的精度。,2018年10月21日,三、利用主导极点的概念分析高阶系统因此，在对高阶系统性能进行分析时，如果能找到一对共轭复数主导极点，那么高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，并用二阶系统的性能指标公式来估计系统的性能；如果能找到一个主导极点，那么高阶系统可以按一阶系统来分析。同样，在设计一个高阶系统时，也常常利用主导极点来选择系统参数，使系统具有一对共轭主导极点，以利于近似地用二阶系统的性能指标来定性系统。,2018
20、年10月21日,若高阶系统不满足应用闭环主导极点的条件，则高阶系统不能近似为二阶系统。这时高阶系统的过渡过程必须具体求解，其研究方法同一阶、二阶系统。 有时，对于不大符合存在闭环主导极点条件的高阶系统，可设法使其符合条件。例如，在某些不希望的闭环极点附近引入闭环零点，人为地构成偶极子，产生零极点相消。另外，在许多实际应用中，比主导极点距离虚轴远23倍的闭环零、极点，在某些条件下也可考虑为略去之列。,2018年10月21日,四、例题,消去非主导极点,T=1s =0.5,ts=6s =17%,零极点相消,2018年10月21日,3.5 稳定性和代数稳定判据,2018年10月21日,稳定性是控制系统
21、的重要性能，是系统能够正常工作的首要条件。分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的条件，是设计控制系统的基本任务之一。本节主要研究线性定常系统稳定的概念、控制系统稳定的充要条件和稳定性的代数判定方法。,2018年10月21日,3.5.1 稳定的概念,系统稳定性：如果控制系统在初始条件影响下，其响应过程随时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则这样的系统具有渐近稳定性，简称具有稳定性。反之，在初始条件影响下，若控制系统的响应过程随时间推移而发散，则称这样的系统具有不稳定性。,2018年10月21日,3.5.2 线性定常系统稳定的充要条件,设线性系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲函数(t)，系统的输
22、出是单位脉冲响应c(t)。相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的情形，若线性系统的单位脉冲响应函数随时间的推移趋于零，即,则系统稳定。,2018年10月21日,设线性定常系统闭环传递函数为：,设线性系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲函数(t),2018年10月21日,只有当特征方程的所有根（闭环极点）都具有负的实部时，随着时间的推移，c(t)才能趋于零，即回到初始状态。反之，若特征根中有一个具有正实部，则c(t)趋于 。线性定常系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的所有根（即系统闭环极点）均具有负的实部。（或特征方程的所有根均在s平面的左半部）。若有部分闭环极点位于虚
23、轴上，而其余极点全部在s平面左半部时，便会出现临界稳定状态（为恒值或等幅振荡）。,2018年10月21日,系统稳定性决定于系统的参数、结构，与初始条件、外作用无关。一般情况下，确定系统稳定性的方法有两种类型： (1) 直接计算或间接得知系统特征方程式的根:1) 直接对系统特征方程求解，2) 根轨迹法。 (2) 确定保证闭环极点具有负实部的系统参数的区域:可应用劳斯胡尔维茨判据，奈奎斯特判据等方法。 很明显，采用对特征方程求解的方法，虽然非常直观，但对于高阶系统是困难的。为此，设法不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有工程实际意义了。,2018年10月21日,劳斯稳定判据的根据是：使系统稳
24、定时，必须满足系统特征方程式的根，全部具有负实部。但该判据并不直接对特征方程式求解，而是利用特征方程式(即高次代数方程)根与系数的代数关系，由特征方程中已知的系数，间接判别出方程的根是否具有负实部，从而判定系统是否稳定。因此又称作代数稳定性判据。,3.5.3 劳斯稳定判据,2018年10月21日,应用劳斯稳定判据判定系统稳定性的步骤：,（1）列系统闭环特征方程,则线性系统稳定的充要条件为特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列的系数也为正值。,2018年10月21日,（2）各项系数均为实数。检查各项系数是否都存在且大于零(ai0) ，若都大于零，则进行第三步。 （3）利
25、用特征方程的系数构成劳斯计算表,2018年10月21日,表中，除第一、二行外需要按照下列规律进行计算。,注意：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；总行数应为n+1；如果计算过程无误，最后一行应只有一个数；可用一个正整数去乘或除劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。表中空缺的项，运算时以零代入。,2018年10月21日,劳斯判据： (ai0)系统稳定的充分必要条件是：特征方程的全部系数都是正数，并且劳斯表第一列元素都是正数。实部为正数的根的个数等于劳斯表的第一列元素符号改变的次数。,2018年10月21日,稳定的充要条件：ai0， a1 a2 a0 a30,例3.5 已知三阶系统的特征方程如下，
26、试确定系统稳定的充要条件。,解 列劳斯表,3.5.4 劳斯稳定判据的应用,1. 判定控制系统的稳定性,2018年10月21日,劳斯表的第一列系数有两次变号，故该系统是不稳定，且有2个正实部根 。,例3.6 已知线性系统的特征方程如下，试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。,解 列劳斯表,2018年10月21日,在编制劳斯表时两种特殊情况（不稳定或临界稳定）（1）某行的第一列系数为零，而其余各系数不为零或不全为零这种情况下，在计算下一行时将得到无穷大，致使劳斯阵的计算工作无法继续进行。为了解决这个问题，可以用一个很小的正数来代替等于零的该第一列系数。,2018年10月21日,由于是很小的正数，所以
27、(6-8)/为负数，则劳斯表第一列各元的符号改变了两次。因此，系统不稳定，特征方程有两个正实部根。,例3.7 试判别某系统的稳定性。其特征方程为,2018年10月21日,（2）计算劳斯表时，某一行各项全为零。这表明特征方程具有对称于原点的根。 这时可将不为零的最后一行（即全为零行的上一行）的各项构成一个辅助多项式。用对辅助多项式各项对s求导后所得的系数代替全部为零行的各项，继续计算余下各行。这些对称于原点的根可由令辅助多项式等于零构成的辅助方程求得。,2018年10月21日,例3.9 试判别某系统的稳定性。设其特征方程为,解 列劳斯表,将辅助方程求导一次，得,2018年10月21日,求解得：,
28、辅助方程,故系统有两对共轭虚根。,结论：系统不稳定，但第一列元素未改变符号，所以系统没有位于s右半平面的根，有位于虚轴上的根。,2018年10月21日,2. 分析系统参数变化对稳定性的影响,利用代数稳定判据可以确定个别参数变化对系统稳定性的影响，给出使系统稳定的参数范围。,例3.10 如图所示系统，试确定使系统稳定的开环放大倍数取值范围。,2018年10月21日,解 系统的闭环传递函数为,特征方程为：,为使系统稳定，必须有,综合考虑，使系统稳定的 K取值范围应为：0K13，开环临界放大系数为： K p=13。,2018年10月21日,3. 确定系统的相对稳定性 相对稳定性的定义一个稳定系统的特
29、征方程的根都落在复平面虚轴的左半部，而虚轴是系统的临界边界，因此，以特征方程最靠近虚轴的根和虚轴的距离表示系统的相对稳定性或稳定裕度。一般来说，愈大则系统的稳定度愈高。,2018年10月21日, 利用劳斯稳定判据判断系统的稳定度 方法：以s=z-代入原系统的特征方程，应用劳斯判据于新的方程。若满足稳定的充要条件，则该系统的特征根都落在s平面中s=-直线的左半部分，即具有以上的稳定裕度。,2018年10月21日,例3.11 上例若要系统具有=1 以上稳定裕度，试确定K。,根据劳斯判据，稳定的充要条件是,则,解：将代入原系统的特征方程，得,2018年10月21日,4. 结构不稳定系统及其改进, 结
30、构不稳定系统,开环传递函数：,特征方程：,有缺项，该系统不稳定。,2018年10月21日,这种仅仅通过调整参数无法稳定的系统，称为结构不稳定系统。必须加校正改变结构。通常，单位负反馈系统其前向通路包含有两个或两个以上的积分环节。消除结构不稳定常采用以下两种方法：一种是设法改变积分环节的性质；另一种是引入比例-微分控制，以便填补特征方程的缺项。,2018年10月21日,不再缺项，只要适当选择参数，便可以使系统稳定。,（1）改变积分环节的性质,积分环节变为惯性环节总前向通道传递函数为,特征方程：,2018年10月21日,也可对电动机与及减速器加反馈以改变积分性质来实现：,改善系统的稳定性 改变系统
31、的型别，降低了系统的静态性能,2018年10月21日,特征方程：,一定条件下，引入开环零点，可增加稳定性。,（2）引入比例-微分环节,稳定的充要条件是:,2018年10月21日,3.6 稳态误差分析与计算,2018年10月21日,系统的稳态误差与系统本身的结构参数及外作用的形式都有关系。 讨论稳态误差时所指的都是稳定的系统。 稳态误差（两种）：由给定输入引起的稳态误差称为给定稳态误差；由扰动输入引起的稳态误差称为扰动稳态误差。当线性系统既受到给定输入作用同时又受到扰动作用时，它的稳态误差是上述两项误差的代数和。,2018年10月21日,3.6.1 误差与稳态误差的定义,1. 误差的定义,（1）
32、从输入端定义：系统的误差被定义为给定输入信号与反馈信号之差,（2）从输出端定义：系统的误差被定义为输出量的期望值和实际值之差,从输出端定义的误差与从输入端定义的误差具有一一对应的关系,2018年10月21日,当t 时，系统误差称为稳态误差，用ess表示，即,2. 稳态误差的定义,系统同时受到输入信号和扰动量的作用时,表明稳态误差既与外作用r(t)和d(t)有关，也与系统的结构参数有关。,2018年10月21日,系统开环传递函数记为：,因此：按系统开环传递函数中积分环节的个数对系统进行分类，即当 =0，1，2，时，分别称相应系统为0型，I型，II型， 系统。,3.6.2 控制系统的型别,2018
33、年10月21日,3.6.3 给定输入下的稳态误差,1阶跃函数输入的稳态误差,设r(t)=A，则R(s)=A/s，则,令：,定义Kp为静态位置误差系数，则有,2018年10月21日,对0型系统，有,则,为有限值。,对I型及I型以上系统，有,则,2018年10月21日,由于0型系统无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为与K有关的一定值，因此常称为有差系统。 为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下增大K值。 若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的类型高于I型。,2018年10月21日,2. 斜坡函数输入的稳态误差,设r(t)=Bt，则有,令,定义Kv为静态速度误差系数，则有,2018年10
34、月21日,对0型系统，有,此时,对I型系统，有,此时,对II型及以上系统，有,此时,2018年10月21日,3. 加速度函数输入的稳态误差,令：,定义Ka为静态加速度误差系数，有,对于0型系统， v=0，Ka=0, essr=； 对于I型系统， v=1，Ka=0, essr= ; 对于II型系统，v=2，Ka=K, essr= C/K; 对于III型及以上系统， v 3，Ka= , essr = 0。,2018年10月21日,可见，I型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大；II型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与K有关的稳态误差，可 用增加K的方法提高稳态精度；III型及以上系统可完全
35、跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。,2018年10月21日,各种不同输入信号作用下的稳态误差见表,各静态误差系数的大小反映了系统限制或消除稳态误差的能力，系数值越大，则给定输入时的稳态误差越小。,2018年10月21日,由表可知： 10型系统对单位阶跃输入信号的稳态误差为常数。 2型系统单位阶跃输入信号的稳态误差为零。 3型系统对单位阶跃输入信号和单位斜坡信号的稳态误差为零。 4系统的型别越高，跟踪输入信号的能力越强。所以系统的型别反映了系统对输入信号无差的度量，故又称为无差度。如、型系统可以分别称为是对给定阶跃输入信号的一、二阶无差系统；而0型系统可以称为是对给定阶跃输入信号有差系统。为了提
36、高系统的稳态精度可以在前向通道中引入串联的积分环节。但反馈通道中若出现积分环节将使系统输出无法跟踪参考输入量的变化，造成系统失控。,2018年10月21日,3.6.4 扰动作用下的稳态误差,系统在扰动作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗扰动能力。由于给定输入与扰动信号作用在系统的不同位置上，即使系统对某一给定输入的稳态误差为零，对同一形式的扰动作用的稳态误差未必是零；同一系统对同一形式的扰动作用，由于扰动的作用点不同，其稳态误差也不一定相同。,2018年10月21日,图(a)和图(b)中扰动量作用点不同，现分别讨论它们对系统稳态误差的影响。,令R(s)=0，D(s)为单位阶跃响应时，稳态误差
37、为：,1. 图(a),2018年10月21日,令R(s)=0，D(s)为单位阶跃响应时，稳态误差为：,2. 图(b),2018年10月21日,由上述分析可知，扰动输入时的稳态误差特点如下：（1） 若扰动作用点之前有一个积分环节，如图(a)，则阶跃扰动时的稳态误差为零。（2） 若扰动作用点之前无积分环节，如图(b) ，则阶跃扰动时的稳态误差不为零，其值与扰动作用点前的K1有关。K1越大，则稳态误差越小，但相对稳定性将降低。,2018年10月21日,综合输入控制量和扰动量引起的系统稳态误差分析可知：（1）对同一系统，由于作用量和作用点不同，其给定稳态误差和扰动稳态误差是不同的。对恒值自动控制系统来
38、讲，后者是主要的；而对随动自动控制系统来讲，前者是主要的。（2）给定稳态误差essr与前向通道的积分环节数目v和开环增益K有关。若v愈大（但v一般不大于2），K愈大，则给定稳态误差essr愈小。对给定信号而言，系统为v型。（3）扰动稳态误差essd与扰动作用点前的前向通道积分环节数目v1和增益K1有关。若v1愈大（但v一般不大于2），K1愈大，则扰动稳态误差essd愈小。对扰动信号而言，系统为v1型。（4）对于扰动稳态误差、稳态误差系数可参照给定稳态误差的结论，用v1、K1分别取代v和K即可求得。,2018年10月21日,3.6.5 减小稳态误差的措施,从前述可知，为了减小系统的给定稳态误差，
39、可以增加前向通道积分环节的个数或增大开环增益；为了减小系统的扰动误差，应增加E(s)至扰动作用点之间的积分环节个数，或加大开环增益。 但一般系统的积分环节不能超过两个，放大倍数也不能随意增大，否则将使系统暂态性能变坏，甚至造成系统不稳定。因此稳态精度与暂态性能、稳定性始终存在矛盾。在保证系统稳定的前提下，为实现提高稳态精度的目的，可采用以下措施：,2018年10月21日,（1）在增大开环增益时，附加校正装置，以确保稳定性。（2）增加系统前向通道积分环节个数的同时，也要对系统进行校正，以防止系统失去稳定，并保证具有一定的瞬态响应速度。（3）采用复合控制。在按输出反馈控制的基础上，再增加按给定作用
40、或主要扰动而进行的补偿控制，构成复合控制系统。,2018年10月21日,1按给定输入补偿的复合控制,给定误差为,2018年10月21日,全补偿条件 可以看出，由于输出量完全复现了输入信号，因而系统具有理想的跟随性能。此时，输入控制信号沿开环传递，闭环控制的作用仅仅是用来消除扰动引起的误差。,则,补偿后,2018年10月21日,2按扰动补偿的复合控制,只有扰动作用时系统的输出为,当满足,2018年10月21日,系统的输出完全不受扰动的影响 ，实现全补偿。这种补偿方法的前提是该扰动量是系统主要的扰动量，且该扰动量是可测的。它通过已设计好的补偿装置Gn(s)经过补偿通道来控制和抵消扰动对系统输出的影
41、响。,2018年10月21日,本章小结 1. 自动控制系统的时域分析法是根据控制系统在典型输入信号的作用下输出响应的时域数学表达式和响应曲线，直接分析系统的稳定性、动态性能和稳态误差等系统的品质。时域分析具有直观、准确的优点。 2. 稳定性是系统能否正常工作的首要条件。 3. 对于稳定的控制系统，工程上常用单位阶跃响应的最大超调量% ，调节时间ts和稳态误差等性能指标，评价系统性能的优劣。 4. 典型的一阶、二阶系统的性能指标与系统的参数有严格的对应关系，必须牢固掌握。对一阶、二阶系统分析的结果，往往是分析高阶系统的基础。,2018年10月21日,5. 系统的稳态误差与系统的结构参数及输入信号的形式有关。系统的型别决定了系统对典型输入信号的跟踪能力。计算稳态误差既可以应用拉氏变换终值定理，由定义式求得，也可以由静态误差系数快捷求得。为减小或消除系统的稳态误差，可以通过增大系统的开环放大系数或增加开环传函中的积分环节数目v来实现。但这会使系统动态性能变坏，甚至导致系统不稳定。而扰动稳态误差essd与扰动作用点前的前向通道积分环节数目v1和增益K1有关。,
