1、考纲要求:抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.基础知识回顾:一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。2.凑配法：在已知的条件下，把并
2、凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。二、求值问题三、定义域问题四、值域问题五、判断函数的奇偶性：六、单调性问题一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）八、对称性问题九、周期问题十.四类抽象函数解法1、线性函数
3、型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。2、指数函数型抽象函数3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。4、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。应用举例:招数一：赋值法【例 1】【河南省南阳市第一中学 2018 届高三实验班第一次考试】 为定义在 上的不等于 0 的函数， ，且任意 ，有 ，则下列式子中成立的是()A. B. C. D.【答案】A招数二：函数的奇偶性和单调性的应用【例 2】定义在 上的单调递减函数 :对任意 都有 ， （）判断函数 的奇偶性，并证明之；（）若对任意 ，不等式 （ 为常实数）都成立，求 的取
4、值范围；（）设 ， ， ， 若 ， ，比较 的大小并说明理由【答案】 （） 为 上的奇函数；证明见解析（） （）；（）解: 为 上的奇函数证明：取 得取 得即：对任意 都有 为 上奇函数（） 在 上单减 在 上恒成立 在 上恒成立在 上恒成立当 时，即同理： 。招数三：抽象函数的周期性【例 3】 【河南省南阳市第一中学 2018 届高三第一次考试】设定义在 上的函数 满足 ，若 ，则 =_【答案】 .考点：函数的周期性.招数四：抽象函数综合题目【例 4】 【湖北省荆州中学 2018 届高三第二次月考】已知函数 满足：对任意的 ，都有 ；对任意的都有 .则 _【答案】66实战演练:1 【 四川省
5、宜宾市第四中学 2018 届高三高考适应性考试 】已知函数 满足，若函数 与 图象的交点为 ，则 ( )A B C D 【答案】B【解析】【分析】求出 的对称轴，根据两图象的对称关系得出答案【详解】 ， ） ， 的图象关于直线 对称， 、又 的图象关于直线 对称，当 为偶数时，两图象的交点两两关于直线 对称， 当 为奇数时，两图象的交点有 个两两对称，另一个交点在对称轴上， 故选：B【点睛】本题考查了函数的图象对称关系，属于中档题2 【 广西壮族自治区南宁市第二中学 2018 届高三年级 6 月份考试】定义在 上的偶函数满足：对任意的实数 都有 ，且 ， 。则的值为（ ）A 2017 B 10
6、10 C 1008 D 2【答案】B3 【 四川省成都市双流中学 2017-2018 学年考前模拟】 已知函数 y=f（x）为定义域 R 上的奇函数，且在 R 上是单调递增函数，函数 g（x）=f（x5）+x，数列a n为等差数列，且公差不为 0，若 g（a 1）+g（a 2）+g（a 9）=45，则 a1+a2+a9=（ ）A 45 B 15 C 10 D 0【答案】A4 【 河北辛集中学 2018 届高三 8 月月考】已知 f（x）是定义在实数集 R 上的偶函数，且在（0，+）上递增，则（ ）A f（ 20.7）f（ log25）f （3） B f（3 ）f（2 0.7）f （log 25
7、）C f（ 3）f（log 25）f（ 20.7） D f（2 0.7）f （3）f（ log25）【答案】A【解析】【分析】利用 ， 把大小判断转化为 上的大小判断，再利用 及函数单调性可判断它们的大小【详解】因为 是偶函数，故 ， ，又 ，因 在 是单调增函数，故，即 ，故选 A【点睛】一般地，如果 是 上偶函数，那么 在 与 上单调性相反；如果 是上奇函数，那么 在 与 上单调性一致5 【 河南省信阳高级中学 2017-2018 学年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试 】已知是定义在 上的偶函数，且 时，均有 ， ，则满足条件的 可以是A B C D 【答案】AC.3f（x）9，不满足
8、 2f（x）8，即 C 错误；Df（0）=2 ，f（5）=8；不满足 f（3+2）=f（22） ；即不满足 f（3+x）=f（2x） ，D 错误故答案为：A【点睛】本题主要考查偶函数的概念，余弦函数的值域，考查了分段函数的概念及分段函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.6 【 海南省琼海市 2018 届高考模拟考试 】定义在 上的函数 在 上为减函数，且函数 为偶函数，则A B C D 【答案】B7 【 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二） 】已知函数 在区间内单调递增，且 ，若 ， ， ，则 的大小关系为（ ）A B C D 【答案】B8 【 湖北
9、省荆州市荆州中学 2018 届普通高等学校招生全国统一考试 】已知函数 是定义在 R 上的周期为 6 的奇函数，且满足 ， ，则A B C D 4【答案】D【解析】【分析】因为函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，可得 ，由题意满足 ，可以求出 ，再根据函数的周期性求出 ，即可求得结果【详解】函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，则则故选【点睛】本题主要考查了奇函数的性质和应用，以及函数的周期性问题，运用函数的性质来解题，属于基础题9 【 炎德英才大联考长沙市一中 2018 届高三第七次月考 】已知 是定义在 上的偶函数，在 上是增函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）A B C D 【答案】A
10、故选：A【点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组) 的问题，若 为偶函数，则 ，若函数是奇函数，则 10 【 江苏省南通市 2018 年高考模拟试卷（二） 】已知函数 是定义在 上的偶函数，且对于任意的 都有 ， ，则 的值为_【答案】4【点睛】本题主要考查了抽象函数及其基本性质的应用，重点考查了赋值法，求得 是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档题。11 【 河南省信阳高级中学 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二） 】若对任意的，都有
11、，且 ， ，则 的值为_【答案】2【点睛】解答本题时求得函数的周期是解题的关键，其中对于抽象函数的问题，解答时要注意赋值法的运用，通过对变量进行合理的取值达到解题的目的12 【 安徽省肥东县高级中学 2019 届上学期高三 8 月调研考试 】定义在 上的函数 ，对任意 ,都有 且 ,则_【答案】13 【江苏省南通市 2018 年高考数学模拟试题】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 x R 都有 f(x+4) = f(x)+ f(2)，f(1)= 4，则 f(3)+ f(10)的值为_【答案】4【解析】分析：令 ，可求得 ，从而可得 是以 为周期的周期函数，结合，即可求解
12、的值详解：由题意可知 ，令 ，可求得 ，又函数 是定义在 上的偶函数，所以 ，即 ，所以 是以 为周期的周期函数，又 ，所以 点睛：本题考查了抽象函数及其基本性质应用，重点考查赋值法，求得 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力14 【 陕西省延安市黄陵中学 2018 届高三 6 月模拟考试】 若函数 是偶函数 时，则满足 的实数 取值范围是_【答案】故答案为：（5，4）【点睛】(1)本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)由于函数是偶函数，所以 f（|2x+1|）f（9）应该得到|2x+1|9，而不是 2x+19.15已知函数 对于任意的实数 都有 成立，且当 时 0恒成立.（1 ）判断函数 的奇偶性；（2 ）若 =-2，求函数 在 上的最大值；（3 ）求关于 的不等式 的解集.【答案】 （1）奇函数.（2）4（3 ）
