1、2018/3/30,1,习题参考答案6,1最少用几位二进制数即可表示任一五位长的十进制正整数？解：最大5位十进制正整数为99999， 而21699999 1/2； （2）X =1/8 （3）1/4 =X 1/16 解： （1）若要X 1/2，只要a1=1， a2a6不全为0即可（a2 or a3 or a4 3or a5 or a6 = 1）（2） 只要a1a3不全为0即可（a1 or a2 or a3 =1）， a4a6可任取0或1；（3）只要a1=0，a2可任取0或1； 当a2=0时，若a3=0，则必须a4=1，且a5、a6不全为0（a5 or a6=1；若a3=1，则a4a6可任取0或1
2、； 当a2=1时， a3a6可任取0或1。,2018/3/30,3,3. 设x为整数，x补=1，x1x2x3x4x5，若要求 x -16，试问 x1x5 应取何值？ 解：若要x 0,则x补=x原成立； 若x 0,则 x补=x原成立； 若x 0时成立。当xy补，是否有xy？ 解：若x补y补，不一定有xy。 x补 y补时 x y的结论只在 x 0、y 0，及 x0、yy，但由于负数补码的符号位为1，则x补0时，有x y补。注意： 1）绝对值小的负数其值反而大，且负数的绝对值越小，其补码值越大。因此， 当xy补，必有xy。 2）补码的符号位和数值位为一体，不可分开分析。 3）完整的答案应分四种情况分
3、析，但也可通过充分分析一种不成立的情况获得正确答案。4）由于补码0的符号位为0，因此x、y=0可归纳到0的一类情况讨论。 5）不考虑不同数字系统间的比较。（如有人分析x、y字长不等时的情况，无意义。）,2018/3/30,9,9. 当十六进制数9BH和FFH分别表示为原码、补码、反码、移码和无符号数时，所对应的十进制数各为多少（设机器数采用一位符号位）？,2018/3/30,10,10. 在整数定点机中，设机器数采用1位符号位，写出0的原码、补码、反码和移码，得出什么结论？解：0的机器数形式如下：（假定机器数共8位，含1位符号位在内）,结论：0的原码和反码分别有+0和-0两种形式，补码和移码只
4、有一种形式，且补码和移码数值位相同，符号位相反。,2018/3/30,11,11. 已知机器数字长为4位（含1位符号位），写出整数定点机和小数定点机中原码、补码和反码的全部形式，并注明其对应的十进制真值。,2018/3/30,12,12. 设浮点数格式为：阶符1位、阶码4位、数符1位、尾数10位。写出51/128、 -27/1024、7.375、-86.5所对应的机器数。要求按规格化形式写出： （1）阶码和尾数均为原码； （2）阶码和尾数均为补码； （3）阶码为移码，尾数为补码。 解：据题意画出该浮点数的格式： 1+4+1+10x1=51/128 =0.0110011= 0.110 0112-
5、1 x2= -27/1024= -0.0000011011=-0.110112-5 x3=7.375=111.011 =0.11101123x4=-86.5 = -1010110.1 = -0.1010110127 则以上各数的浮点规格化数为：（1）x1浮=1，0001；0.110 011 000 0 （2）x1浮=1，1111；0.110 011 000 0 （3）x1浮=0，1111；0.110 011 000 0（1）x2浮=1，0101；1.110 110 000 0 （2）x2浮=1，1011；1.001 010 000 0 （3）x2浮=0，1011；1.001 010 000 0
6、 （1）x3浮=0，0011；0.111 011 000 0 （2）x3浮=0，0011；0.111 011 000 0 （3）x3浮=1，0011；0.111 011 000 0 （1）x4浮=0，0111；1.101 011 010 0 （2）x4浮=0，0111；1.010 100 110 0 （3）x4浮=1，0111；1.010 100 110 0,2018/3/30,13,13. 浮点数格式同上题，当阶码基值分别取2和16时，（1）说明2和16在浮点数中如何表示。（2）基值不同对浮点数什么有影响？（3）当阶码和尾数均用补码表示，且尾数采用规格化形式，给出两种情况下所能表示的最大正数
7、和非零最小正数真值。 解：（1）阶码基值不论取何值，在浮点数中均为隐含表示，即：2和16不出现在浮点格式中，仅为人为的约定。（2）当基值不同时，对数的表示范围和精度都有影响。即：在浮点格式不变的情况下，基越大，可表示的浮点数范围越大，但精度越下降。 （3）r=2时，最大正数的浮点格式为： 0,1111;0.111 111 111 1 其真值为：N+max=215（1-2-10） 非零最小规格化正数浮点格式为： 1,0000;0.100 000 000 0 其真值为：N+min=2-162-1=2-17 r=16时，最大正数的浮点格式为： 0,1111;0.1111 1111 11 其真值为：N
8、+max=1615（1-2-10） 非零最小规格化正数浮点格式为： 1,0000;0.0001 0000 00 其真值为：N+min=16-1616-1=16-17,2018/3/30,14,14. 设浮点数字长为32位，欲表示6万间的十进制数，在保证数的最大精度条件下，除阶符、数符各取一位外，阶码和尾数各取几位？按这样分配，该浮点数溢出的条件是什么？ 解：若要保证数的最大精度，应取阶的基=2。 若要表示6万间的十进制数， 由于32768（215） 6万 65536（216）， 则：阶码除阶符外还应取5位（向上取2的幂）。 故：尾数位数=32-1-1-5=25位 该浮点数格式如下： 1 5 1
9、 25 按此格式，该浮点数上溢的条件为：阶码 25,2018/3/30,15,15. 什么是机器零？若要求全0表示机器零，浮点数的阶码和尾数应采取什么机器数形式？ 解：机器零指机器数所表示的零的形式，它与真值零的区别是：机器零在数轴上表示为“0”点及其附近的一段区域，即在计算机中小到机器数的精度达不到的数均视为“机器零”，而真值零对应数轴上的一点（0点）。若要求用“全0”表示浮点机器零，则浮点数的阶码应用移码、尾数用补码表示（此时阶码为最小阶、尾数为零，而移码的最小码值正好为“0”，补码的零的形式也为“0”，拼起来正好为一串0的形式）。,2018/3/30,16,16. 设机器数字长为16位，
10、写出下列各种情况下它能表示的数的范围。设机器数采用一位符号位，答案均用十进制表示。 （1）无符号数； （2）原码表示的定点小数； （3）补码表示的定点小数； （4）补码表示的定点整数； （5）原码表示的定点整数； （6）浮点数的格式为：阶符1位、阶码5位、数符1位、尾数9位（共16位）。分别写出其正数和负数的表示范围(非规格化浮点形式)； （7）浮点数格式同（6），机器数采用补码规格化形式，分别写出其对应的正数和负数的真值范围。解：（1）无符号整数：0216-1，即：0 65535；小数：01-2-16 ； （2）原码定点小数： 1 - 2-15 -（1 - 2-15）， 即：0.99997
11、-0.99997； （3）补码定点小数：1 - 2-15 - 1 ， 即：0.99997 -1； （4）补码定点整数：215 - 1 -215， 即：32767 -32768； （5）原码定点整数： 215 - 1 -（215 - 1）， 即：32767 -32767；（6）据题意画出该浮点数格式： 1 5 1 9 （原码） 最大负数=1,11111;1.000 000 001 最小负数=0,11111;1.111 111 111 则负数表示范围为： -2-9 2-31 -（1-2-9）231 最小正数=1,11111;0.000 000 001 最大数=0,11111;0.111 111 1
12、11 则正数表示范围为： 2-9 2-31 （1-2-9）231（7）当机器数采用补码规格化形式时，则 最大正数=0,11111;0.111 111 111, 最小正数=1,00000;0.100 000 000 其对应的正数真值范围为： 231（1-2-9） 2-33 最大负数=1,00000;1.011111111,最小负数=0,11111;1.000000000 其对应的负数真值范围为： -231 -2-32（2-1+2-9）,2018/3/30,17,17. 设机器数字长为8位（包括一位符号位），对下列各机器数进行算术左移一位、两位，算术右移一位、两位，讨论结果是否正确。 x1原=0.
13、001 1010； x2原=1.110 1000； x3原=1.001 1001； y1补=0.101 0100； y2补=1.110 1000； y3补=1.001 1001； z1反=1.010 1111； z2反=1.110 1000； z3反=1.001 1001。解：算术左移一位： x1原=0.011 0100；正确 x2原=1.101 0000；溢出（丢1）出错 x3原=1. 011 0010；正确 y1补=0. 010 1000；溢出（丢1）出错 y2补=1.101 0000；正确 y3补=1.011 0010；溢出（丢0）出错 z1反=1. 101 1111；溢出（丢0）出错
14、z2反=1. 101 0001；正确 z3反=1.011 0011；溢出（丢0）出错 算术左移两位： x1原=0.110 1000；正确 x2原=1.010 0000；溢出（丢11）出错 x3原=1. 110 0100；正确 y1补=0. 101 0000；溢出（丢10）出错y2补=1.010 0000；正确 y3补=1.110 0100；溢出（丢00）出错z1反=1. 011 1111；溢出（丢01）出错 z2反=1. 010 0011；正确 z3反=1.110 0111；溢出（丢00）出错 算术右移一位： x1原=0.000 1101；正确 x2原=1.011 0100；正确 x3原=1.
15、000 1100(1)；丢1，产生误差 y1补=0.010 1010；正确 y2补=1.111 0100；正确 y3补=1.100 1100(1)；丢1，产生误差z1反=1.101 0111；正确 z2反=1.111 0100(0)；丢0，产生误差 z3反=1.100 1100；正确 算术右移两位： x1原=0.000 0110（10）；产生误差 x2原=1.001 1010；正确 x3原=1.000 0110（01）；产生误差 y1补=0.001 0101；正确 y2补=1.111 1010；正确 y3补=1.110 0110（01）；产生误差 z1反=1.110 1011；正确 z2反=1
16、.111 1010（00）；产生误差 z3反=1.110 0110（01）；产生误差,2018/3/30,18,18. 试比较逻辑移位和算术移位。 解： 逻辑移位是对逻辑数或无符号数进行的移位，其特点是不论左移还是右移，空出位均补0，移位时不考虑符号位。 算术移位是对带符号数进行的移位操作，其关键规则是移位时符号位保持不变，空出位的补入值与数的正负、移位方向、采用的码制等有关。补码或反码右移时具有符号延伸特性。左移时可能产生溢出错误，右移时可能丢失精度。,2018/3/30,19,19. 设机器数字长为8位（含1位符号位），用补码运算规则计算下列各题。 （1）A=9/64， B=-13/32，
17、 求A+B； （2）A=19/32，B=-17/128，求A-B；（3）A=-3/16，B=9/32， 求A+B； （4）A=-87， B=53， 求A-B； （5）A=115， B=-24， 求A+B。 解： （1）A=9/64=0.0010010, B= -13/32=-0.0110100, A补=0.0010010, B补=1.1001100, A+B补= 0.0010010 + 1.1001100=1.1011110 无溢出 A+B= -0.0100010 = -17/64 （2）A=19/32=0.1001100, B= -17/128=-0.0010001, A补=0.100110
18、0 , B补=1.1101111,-B补=0.0010001, A-B补= 0.1001100 + 0.0010001 =0.1011101 无溢出, A-B=0.1011101 = 93/128（3）A= -3/16=-0.0011000, B=9/32=0.010 0100, A补=1.110 1000, B补= 0.0100100, A+B补=1.1101000 + 0.0100100 = 0.0001100 无溢出 A+B=0.0001100= 3/32 （4）A= -87= -1010111, B=53=110101 , A补=1,0101001, B补=0,0110101,-B补=
19、1,1001011,A-B补= 1,0101001 + 1,1001011 = 0,1110100 溢出 ,A-B=-1,0001100 = -140 （5）A=115=1110011, B= -24=-11000, A补=0,1110011 ,B补=1,1101000 A+B补= 0,1110011 + 1,1101000=0,1011011无溢出 ,A+B=1011011= 91,2018/3/30,20,20. 用原码一位乘计算xy。 （1）x= 0.110 111，y= -0.101 110； 解：先将数据转换成所需的机器数，然后计算，最后结果转换成真值。x原=0.110111，y原=
20、1.101110，x*=0.110111， y*=0.101110,即x*y*=0.100 111 100 010，z0=x0 y0=0 1=1，xy原=1.100 111 100 010，xy= -0. 100 111 100 010,2018/3/30,21,20. 用原码两位乘计算xy。 （1）x= 0.110 111，y= -0.101 110；原码两位乘：-x*补=1.001 001，2x*=1.101 110,即x*y*=0.100 111 100 010，z0=x0 y0=0 1=1，xy原=1.100 111 100 010，xy= -0. 100 111 100 010,20
21、18/3/30,22,20. 用补码一位乘（Booth算法）计算xy。 （1）x= 0.110 111，y= -0.101 110； （2）x= -0.010 111，y= -0.010 101； 解（1）x补=0.110111， y补=1.010010 ，-x补=1.001001 部分积 乘数y补 yn+1 说明 00.000000 1010010 0 00：直接右移 00.000000 0101001 0 10：加-x补+11.001001 11.001001 0 右移 11.100100 1010100 1 01：加x补+00.110111 00.011011 10 右移 00.0011
22、01 1101010 0 00：直接右移 00.000110 1110101 0 10：加-x补+11.001001 11.001111 1110 右移 11.100111 1111010 1 01：加x补+00.110111 00.011110 11110 右移 00.001111 0111101 0 10：加-x补+11.001001 11.011000 011110 最后一步不移位xy补=1.011000011110 ， xy= -0.100111100010,2018/3/30,23,（2）x= -0.010111， y= -0.010101，x补=1.101001，-x补=0.010
23、111，y补=1.101011 部分积 乘数y补 yn+1 00.000000 1101011 0 10：+-x补 + 00.010111 00.010111 右移 00.001011 1110101 1 11：右移 00.000101 1111010 1 01：+x补 + 11.101001 11.101110 11 右移 11.110111 0111101 0 10：+-x补 + 00.010111 00.001110 011 右移 00.000111 0011110 1 01：+x补 + 11.101001 11.110000 0011 右移 11.111000 0001111 0 10
24、：+-x补 + 00.010111 00.001111 00011 右移 00.000111 1000111 1 11：+0 + 00.000000 00.000111 100011 不移位xy补= xy = 0.000111100011,2018/3/30,24,22. 设机器字长为16位（含1位符号位），若一次移位需1s,一次加法需1s，试问原码一位乘、补码一位乘、原码加减交替除法和补码加减交替除法各最多需多少时间？ 解：原码一位乘最多需时: 1s15（加）+ 1s15（移位）=30s 补码一位乘最多需时: 1s16+1s15 = 31s 原码加减交替除最多需时: 1s 16（加）+1s1
25、5 （移位） =31s 补码加减交替除最多需时: 1s16（加） +1s15 （移位） =31s,2018/3/30,25,23、 Booth 算法的硬件配置,加n+1次，右移n次,00，11直接右移01加X右移10加-X右移,2018/3/30,26,6.25 对于尾数为40位的浮点数（不包括符号位在内），若采用不同的机器数表示，试问当尾数左规或右规时，最多移位次数各为多少？ 解：若采用原码表示，当尾数左规时，最多移位39次；反码表示时情况同原码；若采用补码表示，当尾数左规时，正数最多移位39次，负数最多移位40次。当尾数右规时，不论采用何种码制，均只需右移1次。,2018/3/30,27,
26、26. 按机器补码浮点运算步骤，计算xy补 （1）x=2-011 0.101 100， y=2-010（-0.011 100）； （2）x=2-011（-0.100 010）， y=2-010（-0.011 111）解：先将x、y转换成机器数形式： （1）x补=1,101;0.101100 , y补=1,110;1.100100 E补=Ex补+-Ey补 1）对阶：E补=11,101+00,010=11,111,E0，应Ey向Ex对齐， 则：Ey补+1=0,101,y补=0,101;1.1011102）尾数运算： Mx补+My补= 00.101100 +11.101110=00.011010 3
27、）结果规格化： x+y补=0,100;00.110100 （左规1次，阶码减1，尾数左移1位） 4）舍入：无 5）溢出：无 则：x+y=24（13/16）;,2018/3/30,30,6.28如何判断定点和浮点补码加减运算结果是否溢出， 如何判断原码和补码定点除法运算结果是否溢出？,1.定点补码加减法溢出判断：最高有效位的进位 异或符号位的进位 = 1变形补码判断2.浮点补码加减法溢出判断：最后一步对阶码判断，同上3.原码定点除法溢出判断：第一步上商1为溢出4.略,2018/3/30,31,6.31 字长为32位，用与非门和与或非门设计一个并行加法器（假设与非门的延迟时间为30ns，与或非门的
28、延迟时间为45ns），要求完成32位加法时间不得超过0.6s。画出进位链及加法器逻辑框图。解：1）若采用串行进位链（行波进位），则在di、ti函数的基础上，实现32位进位需要的时间为：T=32*2*30ns=1.920us 不满足0.6s的加法时间限制，不能用。2）若采用单重分组跳跃进位（级连方式），则在di、ti的基础上，4位一组分组，32位进位需： T=8*2.5*30=600ns, 刚好满足0.6s加法时间的限制，但考虑到一次加法除进位时间外，还需di、ti函数的产生时间、和的产生时间（最高位和）等因素，故此进位方案仍不适用。 3）若采用双重分组跳跃进位（二级先行级联进位），4位一小组，
29、4小组为一大组分组，则32位进位需：T=10*30ns=300ns 完全满足0.6s的加法时间限制，可以使用。32位双重分组跳跃进位的进位链框图见教材286页图6.23。,2018/3/30,32,32. 设机器字长为16位，分别按4、4、4、4和5、5、3、3分组， （1）画出按两种分组方案的单重分组并行进位链框图，并比较哪种方案运算速度快。（2）画出按两种分组方案的双重分组并行进位链框图，并对这两种方案进行比较。 （3）用74181和74182画出单重和双重分组的并行进位链框图。 解： （1）4、4、4、4分组的16位单重分组并行进位链框图见教材286页图6.22。 5、5、3、3分组的1
30、6位单重分组并行进位链框图也是4组，与之类似。 每组内速度相同，组数相同，总运算速度相同（2）4、4、4、4分组的16位双重分组并行进位链框图见教材288页图6.26。 5、5、3、3分组的16位双重分组并行进位链框图与之类似。 两种分组方案最长加法时间相同。双重分组并行进位的最长进位时间只与组数和级数有关，与组内位数无关。,2018/3/30,33,例:设机器数字长16位，阶码5 位（含1位阶符），基值为2，尾数11位（含1位数符）。对于两个阶码相等的数按补码浮点加法完成后，由于规格化操作可能出现的最大误差的绝对值是多少？解：两个阶码相等的数按补码浮点加法完成后，仅当尾数溢出需右规时会引起误差。右规时尾数右移一位，阶码加1，可能出现的最大误差是末尾丢1，如：结果为 00,1110;01.1右规后得 00,1111;00.1 1考虑到最大阶码是15，最后得最大误差的绝对值为 (10000)2=24,2018/3/30,34,由S(1)，E(8)，M(23)三个域组成的一个32位二进制字所表示的非零补码规格化浮点数x，其值表示为 ：x = （-1）S （ 1.M ） 2E 128 问：其所表示的规格化的最大正数、 最小正数、 最大负数、 最小负数是多少？,
