1、第 2 章 静电场,什么是静电场？,2.1 电场强度,电荷密度：,电荷体密度,电荷面密度,电荷线密度,点电荷,2.2 库仑定律,库仑定律,定义点电荷 在周围空间P点产生的电场强度,N个点电荷产生的电场强度,连续的电荷分布,式中,2.2 真空中的静电场方程,一：真空中静电场方程的积分形式,（1）静电场通量,（1a）,（1b）,净电荷,电场强度穿过封闭曲面的通量与封闭曲面内所包围的电荷量成正比，比例系数为真空介电常数的倒数。,电荷是电场的通量源,（真空中静电场的高斯定理）,（2）静电场环量,（2）,（1），（2）式为真空中静电场的积分表示形式，描述了在空间区域中静电场的性质以及其与源的关系：,静电
2、场对封闭曲面的电通量等于该面所包围的电荷量，即电荷是静电场的通量源；,电荷产生的静电场的闭合回路线积分为0，静电场的线积分与积分路径无关。静电场是保守场。,二：真空中静电场方程的微分形式,由高斯定理推出：,（3）,由斯拖克斯定理推出：,（4）,（3），（4）给出空间每一点上静电场和源的关系： 真空中的静电场是有散无旋场，静电场的散度源是电荷体密度。,真空中静电场的基本方程,三：静电场中高斯定理的适用条件,电荷分布具有某种特殊对称性,2.3 电 位,由,， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数, 对于点电荷的电场，其电位为,若取 处的电位为零，则,由,在直角坐标系中,若空间电荷分布为零，则有,2
3、.4 静电场中的介质和导体,媒质,导电媒质导体：,中有可以自由运动的电荷,电介质介质（绝缘体）：,没有可自由运动电荷或自由电荷可忽略。,1:静电场中的导体,在静电场中的导体具有的性质：,导体内部电场处处为零，内部各点电位为零；导体是等位体，表面是等位面，表面上的电场与表面垂直。,推论：导体内无电荷，导体内表面上也无电荷。 若导体内有一空腔，空腔中电场强度一定为零，内空腔表面上无面电荷分布静电屏蔽。,电荷的分类：,自由电荷,感应电荷,极化电荷（束缚电荷）,共性：都可以产生电场，并对另外的电荷产生电场力。,区别：,自由电荷,感应电荷,极化电荷（束缚电荷）,理论上可以存在于空间中的任一点；,不能存在
4、于空间任一处，只处于导体表面（静电平衡下），不可离开导体表面；,不能存在于空间任一处。不能离开介质，且只能存在介质不均匀处（如两种介质的分界面上）,2. 介质的极化 极化强度,介质在一定条件下不导电。,介质击穿,击穿场强,微观条件下：,介质,极性分子（正负电荷中心不重合）,无极性分子（正负电荷中心重合）,宏观体现呈电中性,当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象（位移极化或取向极化）。介质中因极化出现许多电偶极矩且为有向取向，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。极化电场与原电场相互作用，达到静电平衡。, 由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体
5、电荷，介质表面出现极化面电荷。,极化体电荷,极化面电荷,（ 为介质表面外法线方向的单位矢量）, 极化强度：用 表示极化的程度，即,是函数，各个点不同。但对于各向同性介质，是常矢量。,2.5 介质中的静电场方程,引入极化电荷后，介质的极化效应由极化电荷表征，即空间的电场由自由电荷和极化电荷产生。而极化电荷和自由电荷的实质相同，,一：介质中的静电场方程,（1）,无旋场,（2）,引入：,介质中电位移矢量的源是自由电荷,介质中静电场是有散无旋场，电位移矢量的散度是自由电荷体密度。,式中 均为自由电荷,注意： （1）空间中有多种介质和导体时，不能用以上方法计算； （2）介质中，只有介质不均匀处才有束缚电
6、荷； （3）介质中的高斯定理也有适用条件。,2.6 静电场的边界条件,当静电场中有媒质存在，媒质与电场相互作用，在介质的不均匀处出现束缚电荷，导体表面出现感应电荷。这些束缚电荷及感应电荷又产生电场，从而改变原有电场的分布。,特别的：在两种不同媒质分界面上出现束缚和感应面电荷，界面两边电场就不连续，微分形式的静电场方程不能在分界面处使用（电场不连续，导数不存在） 。,建立不同媒质分界面两边电场的关系边界条件,分界面上电场的行为：,媒质1,媒质2,类似于高等数学中该点的左右极限，实际上是同一点的电场边界上这一点的电场，即静电场的边界条件。,由于在媒质分界面上出现束缚和感应面电荷，界面两边电场就不连
7、续，不连续则不可导，不能使用已有的真空或者介质中静电场方程的微分形式。,一、电位移矢量D 的边界条件,将 用于所作的圆柱形表面。,设两种不同的电介质 ，其分界面的法线方向为n，在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 ，h 为无穷小量,则圆柱体的体积也趋向于0。,方程左边,电位移矢量D 的边界条件,用矢量表示,方程右边,为分界面上的自由电荷面密度,法向分量关系：,二、电场强度E 的边界条件（切向分量）,（其中 为回路所围面积的法线方向）,因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有,电场强度E的边界条件矢量形式：,在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，
8、而高 。将方程 用于此回路,介质分界面两侧电场强度的切向分量连续,无论真空中还是介质中都有：,取闭合回路，在回路上作线积分。,三、边界条件的特殊应用,1、边界面上无自由电荷（两种介质边界上的边界条件）,电位移矢量法向分量连续，电场强度矢量切线分量连续。,？,电场强度的法向分量是否连续？电场强度是否连续？,电位,2、导体表面（导体与介质界面）上的边界条件,导体中电场为0，导体表面存在感应电荷,对于电位 由,由,2.7 电位的边值问题与解的唯一性定理,静电场基本方程,不包括磁场,不包括电场,电磁场不随时间变化时，电场磁场相互独立,由,将电场强度定义为某个标量函数的梯度,即：,特例,但是，静电场中，
9、通常需要获知具有一定形状的无源区域（即边界不是趋于无穷远）中的电位分布及电场分布。即求解满足拉普拉斯方程的电位。这就需要结合给定的边界条件解方程。,无界空间中，已知场源电荷分布（已知电荷分布而没有边界）,场源积分法,有限空间区域 （有限区域的边界面上都有一定的边界条件）,有电荷解泊松方程,无电荷解拉普拉斯方程,边值问题：在给定边界条件下求解有限区域内场的问题。,另：时变电磁场也可以引入电位。,定解条件,初始条件,边界条件,静电场的场量与时间无关。因此，电位所满足的泊松方程或拉普拉斯方程的解就仅取决于边界条件。,方程共同组成边值问题,静电场中的定解条件,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界
10、条件,（边界条件分为三类）,方程,方程,方程,狄里赫利问题,纽曼问题,混合边界问题, 静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。即求在区域中满足方程，又要在边界上满足边值条件的电位。, 可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就是边值问题的唯一性定理, 唯一性定理的意义：指出了满足边值条件的场方程的解是唯一的。是间接求解边值问题的理论依据。,解的性质：,存在性,唯一性,稳定性,唯一性定理：对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷密度给定时，空间中的静电场被唯一确定。（均匀，非均匀介质均适用）,解决问题的思路：找到一个函数使其满足边界条件，再去证明它满足场方程。那么就可以根据唯一性定理确定这个解就是要求的解。,例 3.9.1 半径分别为a和b 的同轴线，外加电压U。圆柱电极间在图示 角部分填充介电常数为 的介质，其余部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例3.9.2),解：问题具有轴对称性，选用柱坐标系， 待求函数 ，,在圆柱坐标系下,于是电位 满足的拉普拉斯方程,其通解为,同理,其中系数A、B、C、D可由边界条件确定,边界条件,于是,由此可知,内导体表面单位长度的电荷,由内导体和区域1的边界条件,由内导体和区域2的边界条件,得,同轴线单位长度上的电容,
