1、12016-2017 学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 2 用数学归纳法证明不等式课后练习 新人教 A 版选修 4-5一、选择题1用数学归纳法证明“2 nn21 对于 nn0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A2 B3C5 D6解析： 使 2nn21，经过计算知应选 C.答案： C2设 p(k)：1 k(kN)，则 p(k1)为( )12 122 12k 12A1 k112 122 12k 12k 1 12B1 k112 122 12k 12k 1 12C1 k112 13 12k 1 12k 2 12k 1 12D上述均不正确解析： 分母是底数为 2 的
2、幂，且幂指数是连续自然增加，故选 A.答案： A3用数学归纳法证明：1 a a2 an1 (a1)，在验证 n1 时，左端计算所得的项为( )A1 B1 aC1 a a2 D1 a a2 a3答案： C4用数学归纳法证明“1 1)”时，由 n k(k1)不等12 13 12n 1式成立，推证 n k1 时，左边应增加的项数是( )A2 k1 B2 k1C2 k D2 k1解析： 由 k 到 k1，则左边增加了 12k 12k 1 12k 1 12共 2k项答案： C二、填空题5用数学归纳法证明：1 1)，第二步证明从“ k 到12 13 12n 1k1” ，左端增加的项数是_答案： 2 k6设
3、 a， b 均为正实数( nN )，已知 M( a b)n， N an nan1 b，则 M， N 的大小关系为_(提示：利用贝努利不等式，令 x )ba解析： 由贝努利不等式(1 x)n1 nx，令 x ，ba n1 n ，(1ba) ba n1 n ，(a ba ) ba即( a b)nan nan1 b.故 MN.答案： MN三、解答题7求证：( n1)( n2)( n n)2 n135(2n1)( nN )证明： (1)当 n1 时，等式左边2，等式右边212，等式成立(2)假设 n k(kN )等式成立，即( k1)( k2)( k k)2 k135(2k1)成立那么 n k1 时，
4、( k2)( k3)( k k)(2k1)(2 k2)2(k1)( k2)( k3)( k k)(2k1)2 k1 135(2k1)2( k1)1即 n k1 时等式成立由(1)(2)可知，对任何 nN 等式均成立8设 f(n)1 ，由 f(1)1 ， f(3)1， f(7) ， f(15)2，.你能得12 13 1n 12 32到怎样的结论？并证明解析： 数列 1,3,7,15，通项公式为 an2 n1，数列 ，1，2，通项公式12 32an ，n23猜测： f(2n1) .下面用数学归纳法证明：n2当 n1 时， f(211) f(1)1 ，不等式成立12假设当 n k(k1， kN )时
5、不等式成立，即 f(2k1) ，k2则 f(2k1 1) f(2k1) f(2k1)12k 12k 1 12k 1 2 12k 1 1 f(2k1) .12k 1 12k 1 12k2 12 k 12当 n k1 时不等式也成立据对任何 nN 原不等式均成立9是否存在常数 a， b， c 使得 12223 234 2 n(n1)2 (an2 bn c)对一切 nN 都成立？证明你的结论n n 112解析： 此题可用归纳猜想证明来思考假设存在 a， b， c 使题设的等式成立令n1，得 4 (a b c)；当 n2 时，1622 (4a2 b c)；当 n3 时，709 a3 b c，联立得 a
6、3， b11， c10.12当 n1,2,3 时，等式 12223 234 2 n(n1) 2 成立n n 1 3n2 11n 1012猜想等式对 nN 都成立，下面用数学归纳法来证明记Sn12 223 2 n(n1) 2，设当 n k 时，上面等式成立，即有 Sk .k k 1 3k2 11k 1012则当 n k1 时， Sk1 Sk( k1)( k2) 2 (3k211 k10)( k1)( k2) 2k k 112 (k2)(3 k5)( k1)( k2) 2k k 112 (3k25 k12 k24) k 1 k 212 3(k1) 211( k1)10 k 1 k 2124当 n k1 时，等式成立综上所述，当 a3， b11， c10 时，题设的等式对 nN 均成立
