1、12016-2017学年高中数学 第二章 解三角形本章高效整合 北师大版必修 5(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在 ABC中，sin 2 Csin 2 Asin 2 B，则 ABC为( )A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析： 由正弦定理 2 R，asin A bsin B csin C得 sin A ，sin B ， C ，a2R b2R c2R又sin 2 Csin 2 Asin 2 B， c2 a2 b2. ABC为直角三角形答案： A2在三
2、角形 ABC中， AB5， AC3， BC7，则 BAC的大小为( )A. B.23 56C. D.34 3解析： 由余弦定理得 cos BACAB2 AC2 BC22ABAC .52 32 72253 120bsin A D a bsin A解析： 由正弦定理知 ，asin A bsin Bsin B sin A.ba又在 ABC中，0sin B1，0 sin A1， a bsin A.ba答案： D5已知三角形的两边长分别为 4,5，它们夹角的余弦是方程 2x23 x20 的根，则第三边长是( )A. B.20 21C. D.22 61解析： 设长为 4,5的两边的夹角为 ，由 2x23
3、x20 得： x 或 x2(舍)12cos ，12第三边长为 .42 52 24512 21答案： B6符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )A a1， b2， c3 B a1， b ， A302C a1， b2， A100 D b c1， B45解析： A： a b3 c，不能构成三角形；B： bsin Aab，故有两解C： ab，故 A应为锐角，而已知 A100，故不能构成三角形D： b c1，故 ABC为等腰三角形， C B45， A90，故只有一解答案： D7在 ABC中，已知 2sin Acos Bsin C，那么 ABC一定是( )A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D
4、正三角形解析： 由 2sin Acos Bsin C得32sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B.sin Acos Bcos Asin B0sin( A B)0 A B0，即 A B，故选 B.答案： B8在 ABC中， a， b， c分别为 A， B， C的对边，如果 2b a c， B30， ABC的面积为 ，那么 b等于( )32A. B11 32 3C. D22 22 3解析： S ABC acsin B， ac6.12又 b2 a2 c22 accos B( a c)22 ac2 accos 304 b2126 3 b242 ， b1 .3 3答案： B9在 A
5、BC中， b2 bc2 c20， a ，cos A ，则 ABC的面积为( )678A2 B3C. D.152 15解析： 由 b2 bc2 c2( b c)(b2 c)0，得 b2 c.由余弦定理( )2(2 c)2 c222 cc ，678得 c2， b4.故 S ABC bcsin A .12 152答案： C10在 ABC中，已知 b asin C， c acos B，则 ABC一定是( )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析： b asin C， c acos B， b2 a2 c22 accos B.a2sin2C a2 a2cos2 B2 acos Bac
6、os B a2 a2cos2 B a2sin B，4 C B， b2 c2 a2sin2 C a2cos2 B a2sin2 C a2cos2 C a2， C B45.答案： D11锐角三角形 ABC中， a、 b、 c分别是三内角 A、 B、 C的对边，如果 B2 A，则 的ba取值范围是( )A(2,2) B(0,2)C( ， ) D( ，2)2 3 2解析： 2cos A，ba sin Bsin A sin 2Asin A又 ABC是锐角三角形，Error!，30 A45，则 2cos A( ， )ba 2 3答案： C12在某海域，一货轮航行到 M处，测得灯塔 P在货轮的北偏东 15并
7、与货轮相距 20 n mile的海上，随后货轮按北偏西 30方向航行 30分钟，又测得灯塔 P在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A20( )n mile/h B20( )n mile/h6 2 6 2C20( )n mile/h D20( )n mile/h6 3 6 3解析： 如右图，由题意可知，M153045，N6045105，故知 P30，由正弦定理，得 ，20sin 105 MNsin 30 MN 10( )，10sin 60 45 406 2 6 2故知速度为 20( )n mile/h.6 2答案： B二、填空题(本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分请把正确答案填在题中横
8、线上)13在 ABC中， A B12， a b1 ，则 A_.35解析： 依条件 B2 A， ，由正弦定理，得 ，sin 2A sin ab 13 sin Asin B 13 3A，cos A .32 A为三角形的内角， A30.答案： 3014在 ABC中，若 S ABC (a2 b2 c2)，那么角14C_.解析： 根据三角形面积公式得，S absin C (a2 b2 c2)12 14sin C .a2 b2 c22ab又由余弦定理：cos C ，a2 b2 c22absin Ccos C， C .4答案： 415在 ABC中， b c 1， C45， B30，则 b等于_， c等于2_
9、解析： 由正弦定理有 ，所以 ，又bsin B csin C bc sin Bsin C sin 30sin 45 12b c 1，所以 b1， c .2 2答案： 1 216甲船在 A处观察到乙船在它的北偏东 60方向的 B处，两船相距 a海里，乙船向正北方向行驶若甲船的速度是乙船速度的 倍，则甲船应沿_方向前进才能尽快3追上乙船，追上时乙船已行驶了_海里解析： 如图所示，设两船在 C处相遇，并设 CAB ，由题意及正弦定理，得 sin 6 ，BCsin 120AC 12 30.从而 BC a.ABsin sin ACB asin 30sin 180 120 30即甲船应沿北偏东 30方向前
10、进才能尽快追上乙船，追上时，乙船已行驶了 a海里答案： 北偏东 30 a三、解答题(本大题共 6小题，共 74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12分)在 ABC中， BC ， AC3，sin C2sin A.5(1)求 AB的值；(2)求 sin A的值解析： (1)在 ABC中，根据正弦定理， .ABsin C BCsin A于是 AB BC2 BC2 .sin Csin A 5(2)在 ABC中，根据余弦定理，得cos A .AB2 AC2 BC22ABAC 255于是 sin A .1 cos2A5518(本小题满分 12分)如图，在 ABC中，已知
11、B45， D是 BC边上的一点，AD10， AC14， DC6，求 AB的长解析： 在 ADC中， AD10， AC14， DC6，由余弦定理得：cos ADC ，AD2 DC2 AC22ADDC 100 36 1962106 12 ADC120， ADB60.在 ABD中， AD10， B45， ADB60.由正弦定理得 ，ABsin ADB ADsin B AB 5 .ADsin ADBsin B 10sin 60sin 45103222 619(本小题满分 12分)在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且满足7cos ， 3.A2 255 AB AC (1)求
12、ABC的面积；(2)若 b c6，求 a的值解析： (1)因为 cos ，A2 255cos A2cos 2 1 ，sin A ，A 35 45又由 3，得 bccos A3，AB AC bc5， S ABC bcsin A2.12(2)对于 bc5，又 b c6， b5， c1 或 b1， c5，由余弦定理得 a2 b2 c22 bccos A20， a2 .520(本小题满分 12分)在 ABC中，若 ，试判断 ABC的形状a ccos Bb ccos A sin Asin B解析： 方法一：由正弦定理及 ，得a ccos Bb ccos A sin Asin B .sin A sin C
13、cos Bsin B sin Ccos A sin Asin B所以 ，sin B C sin Ccos Bsin A C sin Ccos A sin Asin B所以 .sin Bcos Csin Acos C sin Asin B再利用正弦定理，得 .ba ab所以 a2 b2，所以 a b.所以 ABC为等腰三角形方法二：由 ，得a ccos Bb ccos A sin Asin Basin B csin Bcos B bsin A csin Acos A.又 asin B bsin A，所以 sin Bcos Bsin Acos A，即 sin 2Bsin 2 A.由于 b ccos
14、 A0，由正弦定理得，sin Bsin Ccos A，即 cos Csin A0，即 cos C0，8所以 C ，即 A B .2 2故有 2A2 B，所以 A B，从而 ABC为等腰三角形21(本小题满分 12分) C位于 A城的南偏西 20的位置， B位于 A城的南偏东 40的位置，有一人距 C为 31千米的 B处正沿公路向 A城走去，走了 20千米后到达 D处，此时CD间的距离为 21千米，问这人还要走多少千米才能到达 A城？解析： 设 ACD ， CDB .在 BCD中，由余弦定理得cos BD2 CD2 CB22BDCD ，202 212 31222021 17则 sin ，437而
15、 sin sin( 60)sin cos 60cos sin 60 ，437 12 32 17 5314在 ACD中，由正弦定理得 ，21sin 60 ADsin AD 15(千米)21sin sin 6021531432答：这人还要走 15千米，才能到达 A城22(本小题满分 14分)在 ABC中，内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，且满足b2 ac，cos B .34(1)求 的值；1tan A 1tan C(2)设 ，求三边 a、 b、 c的长度BA BC 32解析： (1)由 cos B 可得，sin B .34 1 cos2B 749 b2 ac，根据正弦定理可得 si
16、n2Bsin Asin C.又在 ABC中， A B C， 1tan A 1tan C cos Asin A cos Csin Ccos Asin C cos Csin Asin Asin C .sin A Csin2B sin Bsin2B 1sin B 477(2)由 得| | | ，BA BC 32 BA BC 32得| | |cos B cacos B ，BA BC 32又cos B ， b2 ca2，34又由余弦定理 b2 a2 c22 accos B2.得Error!，解得Error! 或Error! ，又 b2 ca2， b .2三边 a， b， c的长度分别为 1， ，2 或 2， ，1.2 2
