1、12016-2017 学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算课后演练提升 北师大版选修 2-1一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1已知向量 n(1,0，1)与直线 l 垂直，且 l 经过点 A(2,3,1)，则点 P(4,3,2)到 l的距离为( )A. B.32 22C. D.32 322解析： (2,0，1)，又 n 与 l 垂直，所以 P 到 l 的距离为PA .| 2， 0， 1 1， 0， 1 |12 1 2 12 22答案： B2已知 ABC 的顶点 A(1，1,2)、 B(5，6,2)、 C(1,3，1)，则 AC 边上的高 BD 的长等于( )A3
2、 B4C5 D6解析： (4，5,0)， (0,4，3)，| AC 5，AB AC | | | 4，AD |AB AC |AC | 205高 BD 5.|AB |2 |AD |2 41 16答案： C3.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， O 是底面 A1B1C1D1的中心，则 O 到平面 ABC1D1的距离是( )A. B.12 24C. D.22 32解析： 建立如右图所示坐标系，则 D(0,0,0)， A1(1,0,1)，O(12， 12， 1)则 (1,0,1)， ，由题意知 为平面DA1 A1O ( 12， 12， 0) DA1 ABC1D1的法向量， O 到平面
3、 ABC1D1的距离为d .|DA1 A1O |DA1 |122 24答案： B4如图所示，在几何体 A BCD 中， AB面 BCD， BC CD，且AB BC1， CD2，点 E 为 CD 中点，则 AE 的长为( )2A. B.2 3C2 D. 5解析： A A B C ，E B C E | A | B |1| C |，B C E 且 A B A C B C 0.B C B E C E 又 A 2( A B C )2，E B C E A 23， AE 的长为 .故选 B.E 3答案： B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5在 ABC 中， AB AC5， BC6， PA平面 AB
4、C， PA8，则 P 到 BC 的距离是_解析： 如右图，以 BC 边上的垂线为 y 轴，建立空间直角坐标系取 BC 中点 D，则 PD的长即为所求，由 A(0,0,0)， P(0,0,8)， D(0,4,0)，则| | 4 .PD 42 8 2 5答案： B6已知过点 P(1,0,0)的两条直线 l1与 l2， l1平行于向量 s1(0,1，1)， l2平行于向量 s2(1,1,0)，则点 P1(0,1,0)到直线 l1与 l2确定的平面 的距离为_解析： 设平面 的法向量 n( x， y， z)，由 s1n s2n0 得Error!.取 x1，则 y1， z1，所以 n(1，1，1)又因
5、(1,1,0)，PP1 所以点 P1到平面 的距离为 |PP1 n|n| .23 233答案： 233三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7单位正方体 ABCD A1B1C1D1中，求点 B1到直线 AC 的距离解析： 方法一：建立坐标系如图，B1(1,1,1)， A(1,0,0)， C(0,1,0)， (1,1,0)， (0,1,1)， ，AC AB1 AB1 AC |AC | 123点 B1到直线 AC 的距离为d .|AB1 |2 |AB1 AC |AC | |2 2 12 62方法二：连接 AB1， B1C， AC，则 AB1C 为正三角形，边长为 ，而 B1到 AC 的距离就
6、是2正三角形一边上的高 d h .32 2 628.如右图，四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形 E、 F 分别是 AB、 PD 的中点若 PA AD3， CD .求点 F 到平面6PCE 的距离解析： 如右图，建立空间直角坐标系 A xyz.A(0,0,0)， P(0,0,3)， D(0,3,0)，E ， F ， C( ，3,0)(62， 0， 0) (0， 32， 32) 6设平面 PCE 的法向量为 n( x， y， z)， ， .EP ( 62， 0， 3) EC ( 62， 3， 0)Error!，即 Error!.取 y1，得 n( ，1,1)6
7、又 ，PF (0， 32， 32)故点 F 到平面 PCE 的距离为d .|PF n|n| 32 32|22 324 尖 子 生 题 库9(10 分)如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形， ACB90，侧棱 AA12， CA2， D 是 CC1的中点，试问在A1B 上是否存在一点 E(不与端点重合)使得点 A1到平面 AED 的距离为 ？263解析： 以点 C 为坐标原点， CA， CB， CC1所在直线分别为 x 轴，y 轴和 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)， A1(2,0,2)， D(0,0,1)， B(0,2,0)，设 ， (0,1)，BE BA1 则 E(2 ，2(1 )，2 )4又 (2,0,1)， (2( 1)，2(1 )，2 )，设 n( x， y， z)为平面 AED 的AD AE 一个法向量，则Error! Error!，取 x1，则 y ， z2，1 31 即 n .(1，1 31 ， 2)由于 d ，|AA1 n|n| 263 ，263 45 (1 31 )2又 (0,1)，解得 .12所以，存在点 E 且当点 E 为 A1B 的中点时， A1到平面 AED 的距离为 .263
