1、1第三章 圆锥曲线与方程 3.4.2 圆锥曲线的共同特征 3.4.3 直线与圆锥曲线的交点课后演练提升 北师大版选修 2-1一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1过点 P(1,1)作直线与拋物线 y22 x 只有一个公共点，这样的直线的条数是( )A1 B2C3 D4解析： 由于点 P(1,1)在拋物线 y22 x 内部，所以只有一条平行于 x 轴的直线与拋物线只有一个公共点故选 A.答案： A2已知抛物线 y28 x 的弦 AB 过它的焦点，直线 AB 的斜率为 2，则弦 AB 的长为( )A6 B8C10 D12解析： 由 y28 x 得 p4，焦点(2,0)，则直线方程为 y2(
2、x2)，设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，由Error! 有 x26 x40， x1 x26.| AB| x1 x2 p6410.答案： C3若直线 mx ny4 和 O： x2 y24 没有交点，则过点( m， n)的直线与椭圆 1 的交点个数为( )x29 y24A至多一个 B2 个C1 个 D0 个解析： 由题意， 2 可得 m2 n24，所以( m， n)在以原点为圆心，以 2 为半径4m2 n2的圆内，椭圆中，短半轴长为 2，结合图形可得有两个交点，故选 B.答案： B4若椭圆 1 的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为( )x236 y29A2 B2C. D13
3、12解析： 设弦端点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，Error! x x 4( y y )21 2 21 2k y1 y2x1 x2 x1 x24 y1 y2 .故选 D.24422 12答案： D二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5已知动点 P 的坐标( x， y)满足 ，则动点 P 的轨迹是 x 1 2 y 1 2|x y 2|2 12_解析： 原等式即点 P 到(1,1)的距离与到直线 x y20 的距离之比为 ，故点 P 的12轨迹为椭圆答案： 椭圆26若直线 y kx2 与双曲线 x2 y26 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是_解析： 由Error!得(
4、1 k2)x24 kx100，当Error! 时，直线与双曲线右支有两个不同交点，解得 k1.153答案： k1153三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7(2011黄冈高二检测)设 F1、 F2分别是椭圆 E： x2 1(0 b1)的左、右焦点，y2b2过 F1的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点，且| AF2|，| AB|，| BF2|成等差数列，(1)求| AB|；(2)若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值解析： (1)| AF2| BF2|2| AB|，| AB| AF2| BF2|3| AB|4 a4，| AB| .43(2)设直线的方程为 y x c，由Error!
5、 得( b21) x22 cx c2 b20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| AB| |x1 x2| 2 2 x1 x2 2 4x1x2 2 ( 2cb2 1)2 4 c2 b2b2 1 43又 c21 b2 由、解得 b .228(2011中山高二检测)已知顶点在原点 O，准线方程是 y1 的拋物线与过点M(0,1)的直线 l 交于 A， B 两点，若直线 OA 和直线 OB 的斜率之和为 1，(1)求此拋物线的标准方程；(2)求直线 l 的方程；(3)求直线 l 与拋物线相交弦 AB 的弦长解析： (1)由题意可知拋物线焦点在 y 轴正半轴，设拋物线的标准方程为 x22
6、 py，由准线方程是 y1，可得 p2.所以拋物线的标准方程为 x24 y.(2)设直线 l 的方程为： y kx1，代入拋物线的标准方程消 y 整理得 x24 kx40.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1 y1x1 y2x2因为 y1 kx11， y2 kx21，代入，得 2k 1 (1x1 1x2)因为 x1 x24 k， x1x24，代入得 k1.所以直线 l 的方程为： y x1.(3)将直线方程与拋物线的标准方程联立得：Error!，消 y 整理得 x24 x40.| AB| |x1 x2| 8.1 k2 2 x1 x2 2 4x1x2 尖 子 生 题 库9(10
7、分)(2011广东惠州一模)已知椭圆的一个顶点为 A(0，1)，焦点在 x 轴上若右焦点到直线 x y2 0 的距离为 3.23(1)求椭圆的方程；(2)设直线 y kx m(k0)与椭圆相交于不同的两点 M， N.当| AM| AN|时，求 m 的取值范围解析： (1)依题意可设椭圆方程为 y21，x2a2则右焦点 F( ，0)，a2 1由题设得 3，解得 a23.|a2 1 22|2故所求椭圆的方程为 y21.x23(2)设 P 为弦 MN 的中点，由Error! 得(3 k21) x26 mkx3( m21)0，直线与椭圆相交， (6 mk)24(3 k21)3( m21)0 m23 k21. xP ，从而 yP kxP m ，xM xN2 3mk3k2 1 m3k2 1 kAP ，yP 1xP m 3k2 13mk又| AM| AN|， AP MN，则 ，即 2m3 k21. m 3k2 13mk 1k把代入得 m22 m，解得 0 m2；由得 k2 0，解得 m .2m 13 12综上求得 m 的取值范围是 m2.12
