1、12016-2017 学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.1 垂直关系的判定（2）高效测评 北师大版必修 2一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1在三棱锥 A BCD 中，若 AD BC， BD AD，那么必有( )A平面 ABD平面 ADC B平面 ABD平面 ABCC平面 ADC平面 BCD D平面 ABC平面 BCD解析： 如图， AD BC， AD BD， AD平面 BCD.又 AD 平面 ADC，平面 ADC平面 BDC.答案： C2设 a， b 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A若 a b， a ，则 b B若 ， a ，则 a C
2、若 ， a ，则 a D若 a b， a ， b ，则 解析： A 错，可能 b ；B 错；C 错，可能 a .只有 D 正确答案： D3如图所示，四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 A BCD，则在三棱锥 A BCD 中，下列命题正确的是( )A平面 ABD平面 ABC B平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC解析： 由题意知，在四边形 ABCD 中， CD BD，在三棱锥 A BCD 中，平面 ABD平面 BCD，两平面的交线为 BD，所以 C
3、D平面 ABD，因此有 AB CD，又因为 AB AD，且CD AD D，所以 AB平面 ADC，于是得到平面 ADC平面 ABC，故选 D.答案： D4在正四面体 P ABC 中， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点，则下列结论中不成立2的是( )A BC平面 PDF B DF平面 PAEC平面 PDF平面 ABC D平面 PAE平面 ABC解析： 如图所示， DF BC， BC 平面 PDF， BC平面 PDF.A 正确；连接 AE， PE，则 BC AE， BC PE. BC DF， DF AE， DF PE， DF平面 PAE，故 B 正确，又 BC平面 PAE，平面
4、 ABC平面 PAE.故 D 正确答案： C二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5如图，在三棱锥 D ABC 中，若 AB BC， AD CD， E 是 AC 的中点，则平面 ADC 与平面 BDE 的关系是_解析： AB BC， AD CD， E 是 AC 的中点， BE AC， DE AC， AC平面 BDE，又 AC 平面 ADC，平面 ADC平面 BDE.答案： 垂直6如图，若 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，则该图中相互垂直的平面有_对解析： 由 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，知平面 PAD平面 ABCD 和平面 PAB平面 ABCD；由 AB平面 PAD，知
5、平面 PAB平面 PAD；由 BC平面 PAB，知平面 PBC平面PAB；由 DC平面 PAD，知平面 PDC平面 PAD.所以题图中相互垂直的平面共有 5 对答案： 5三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AD1， AA12， M 是棱 CC1的中点证明：平面 ABM平面 A1B1M.3证明： 由长方体的性质可知 A1B1平面 BCC1B1，又 BM 平面 BCC1B1，所以 A1B1 BM.又 CC12， M 为 CC1的中点，所以 C1M CM1.在 Rt B1C1M 中， B1M ，B1C21 MC21 2同理 BM ，
6、又 B1B2，BC2 CM2 2所以 B1M2 BM2 B1B2，从而 BM B1M.又 A1B1 B1M B1，所以 BM平面 A1B1M，因为 BM 平面 ABM，所以平面 ABM平面 A1B1M.8如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， SA平面 ABCD，且 SA AB，点E 为 AB 的中点，点 F 为 SC 的中点(1)求证： EF CD；(2)求证：平面 SCD平面 SCE.证明： (1)连接 AC， AF， BF. SA平面 ABCD， AF 为 Rt SAC 斜边 SC 上的中线， AF SC.12又四边形 ABCD 是正方形， CB AB.而由 SA平
7、面 ABCD，得 CB SA，4 CB平面 SAB， CB SB， BF 为 Rt SBC 斜边 SC 上的中线， BF SC， AF BF， AFB 为等腰三角形12 E 为 AB 的中点， EF AB.又 CD AB， EF CD.(2)由已知易得 Rt SAERt CBE， SE EC，即 SEC 是等腰三角形， EF SC.又 SC CD C， EF CD， EF平面 SCD.又 EF 平面 SCE，平面 SCD平面 SCE. 尖 子 生 题 库9(10 分)如图， AB 是圆的直径， PA 垂直圆所在的平面， C 是圆上的点(1)求证：平面 PAC平面 PBC；(2)若 AB2， A
8、C1， PA1，求二面角 C PB A 的余弦值解析： (1)证明：由 AB 是圆的直径，得 AC BC.由 PA平面 ABC， BC平面 ABC，得 PA BC.又 PA AC A， PA平面 PAC， AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC.因为 BC平面 PBC，所以平面 PBC平面 PAC.(2)如图，过 C 作 CM AB 于 M，因为 PA平面 ABC， CM平面 ABC，所以 PA CM.又因为 PA AB A，且 PA平面 PAB， AB平面 PAB，所以 CM平面 PAB.过 M 作 MN PB 于 N，连接 NC，易证 CN PB，5所以 CNM 为二面角 C PB A 的平面角在 Rt ABC 中，由 AB2， AC1，得 BC ， CM ， BM .332 32在 Rt PAB 中，由 AB2， PA1，得 PB .5因为 Rt BNMRt BAP，所以 ，所以 MN .MN1 325 3510所以在 Rt CNM 中， CN ，所以 cos CNM ，305 64所以二面角 C PB A 的余弦值为 .64
