1、12016-2017 学年高中数学 第 3 讲 圆锥曲线性质的探讨高效整合 新人教 A 版选修 4-1一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；若平面 平面 ，则平面 内任意一条直线 m平面 ；若平面 与平面 的交线为 m，平面 内的直线 n直线 m，则直线 n平面 ；若点 P到三角形三条边的距离相等，则点 P 在该三角形内部的射影是该三角形的内心其中正确命题的个数为( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析： 互相平行的两条直线
2、在同一平面内的射影可能是同一条直线，错；只有当 时，此命题才成立，错；、正确，故正确命题的个数为 2 个答案： B2下列说法不正确的是( )A圆柱面的母线与轴线平行B圆柱面的任一轴截面总是垂直于直截面(垂直于母线的截面)C圆柱面被平面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关D平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析： A 显然正确；轴截面总过轴线，因此轴截面与直截面垂直，B 正确；由公式ecos 知，C 正确；短轴长实际上是圆柱面的直径，故 D 错答案： D3一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为 8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6 和 10，则椭圆的离心率
3、为( )A B35 45C D12 22解析： 如图所示为截面的轴面，则 AB8， SB6， SA10，则 SBA ，cos ASB ，cos BSPcos ASB . 2 35 12 1 cos ASB2 2552cos SPBsin BSP .55 e .cos SPBcos BSP 12答案： C4已知平面上直线 l 的方向向量 e ，点 O(0,0)和 A(1，2)在 l 上的正射(45， 35)影分别是 O和 A，且 e，则 ( )O A A B115 115C2 D2解析： (1，2)，OA e e2 e， 2.O A OA e|e| ( 45 235)答案： D5两条相交直线在一
4、个平面内的平行射影一定是( )A相交直线 B一条直线C平行直线 D无法确定解析： 如下图所示，图中射影为两相交直线，图中射影为一条直线，选 D答案： D6圆锥的顶角为 60，截面与母线所成的角为 60，则截面所截得的截线是( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析： 由题意知截面与圆锥的轴线成 90角，即截面是圆锥的正截面，故截线为圆答案： A7如右图，圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形 ABCD，则圆柱侧面上从 A 到 C 的最短距离为( )3A10 cm B cm52 2 4C5 cm D5 cm2 2 1解析： 如图是圆柱的侧面展开图，则 AC 长为圆柱面上从 A 到 C 的最短距离
5、设圆柱的底面半径为 r，则 r .52底面圆周长 l2 r5， AB .52AD BC5， AC AB2 BC2 (cm)(52 )2 52 52 2 4答案： B8若圆柱的一正截面(垂直于轴的截面)的截线为半径 r3 的 O，该圆柱的斜截面与轴线成 60角，则截线椭圆的离心率 e( )A B32 22C D12 3解析： 依题意，在椭圆中， a 2 ， b r3，rsin 60 332 3 c ， e .a2 b2 23 2 32 3ca 12答案： C9如图，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为 5，短轴长为 4，被截后的几何体的最短母线长为 2，则这个几何体的体积为( )A20 B
6、16C14 D8解析： 由已知圆柱底面半径 r2.即直径为 4.设截面与圆柱母线成 角，则 sin ，cos .45 354几何体的最长母线长为 22 acos 25 5.35用一个同样的几何体补在上面，可得一个底半径 r2，高为 7 的圆柱，其体积为V2 2728.所求几何体的体积为 V14.12答案： C10已知平面 平面 ， a， A ， B ， AB2 cm，直线 AB 与平面 所成角为 30，与平面 所成角为 45，则两点 A、 B 在交线 a 上的正射影的距离是( )A B12 22C1 D 2解析： 如右图，作 BD a 于 D， AC a 于 C，连接 AD、 BC，则 D、
7、C 分别为 B、 A 在直线 a 上的正射影平面 ， BD ， AC ， BAD30， ABC45，在 Rt BAD 中， AB2， BD2sin30 1.在 Rt ABC 中， BC ABcos 452 .22 2在 Rt BDC 中， DC 1.BC2 BD2 2 1故选 C答案： C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)11一平面与圆柱面的母线成 45角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为 6，则圆柱面的半径为 _.解析： 由 2a6，即 a3，又 ecos 45 ，故 b c ea 3 ，即为22 22 322圆柱面的半径答案： 32212已
8、知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成 30角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是 _.解析： 圆锥轴截面为等腰直角三角形，则轴线与母线成 45角，又 3045，故截线为双曲线答案： 双曲线13一平面与半径为 4 的圆柱面相截，截面的 Dandelin 双球的球心距离为 12，则截5线椭圆的离心率 e _.解析： 依题意，Dandelin 双球球心距离即为圆柱母线长2 a12， a6.又 b r4， c 2 .a2 b2 62 42 5椭圆的离心率 e .ac 256 53答案： 5314在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一个平面内的平行射影一定是互相平行的直线
9、；若平面 ，则平面 内任意一条直线 m ；若平面 m， n ， n m，则 n ；若点 P 到 ABC 三条边的距离相等，则点 P 在ABC 内部的正射影是该三角形的内心其中命题的序号是 (写出你认为所有正确命题的序号)解析： 错误两条平行直线的射影有可能是一条直线；正确 ， m ， m 与 无公共点， m .错误只有 时，才成立，否则 n 与 不一定垂直正确依题意点 P 在 ABC 内部的正射影 P到 ABC 的三边的距离也相等，故 P为 ABC 的内心答案： 三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12 分)已知圆 C：( x3)
10、2 y2100 及点 A(3,0)， P 是圆 C 上任一点，线段 PA的垂直平分线 l 与 PC 相交于 Q 点，求 Q 点的轨迹方程解析： l 是 PA 的垂直平分线，| PQ| AQ|，| AQ| CQ| PQ| CQ| CP|10， Q 点的轨迹是以 A、 C 为焦点的椭圆，且 2a10， c3，即 a5， b4.故所求的椭圆方程为 1.x225 y21616(12 分)如图， ABC 是边长为 2 的正三角形， BC ， A、 B、 C 在平面 的同侧，6它们在 内的正射影分别是 A、 B、 C，若 A B C是直角三角形， BC 到 的距离为 5.求点 A 到 的距离解析： 设 A
11、 A x(即为点 A 到 的距离)在直角梯形 AA C C 中，A C 2 AC2( CC AA) 2，即 A C 24(5 x)2.同理 A B 24(5 x)2.由已知， A B C是直角三角形， B A C90. A C 2 A B 2 B C 2.24(5 x)22 2.解得 x5 .此为点 A 到平面 的距离217(12 分)已知一平面与圆柱的母线成 45角，Dandelin 双球上的最短距离为 2，求截线椭圆的长轴、短轴长和离心率解析： 如右图为圆柱面的轴截面作 O2A O1A 于 A，且 O1A 与截面平行设 Dandelin 双球的球心分别为 O1、 O2，半径为 r，则 O1
12、O22 r2，sin ，O2AO1O2 2r2r 2 rr 1又 45， ，解得 r 1.rr 1 22 2椭圆的长轴长： 2(2 )2rsin 452 2 122 2短轴长：2( 1)，2离心率： ecos 45 .2218(14 分)如图，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 ， AB、 CD2是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过 CD 和母线 VB 的中点 E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？解析： 设 O 的半径为 R，母线 VA l，则侧面展开图的中心角为 ，2 Rl 27圆锥的半顶角 . 4连结 OE， O、 E 分别是 AB、 VB 的中点， OE VA， VOE AVO . 4又 AB CD， VO CD， CD平面 VAB，平面 CDE平面 VAB，即平面 VAB 为截面 CDE 的轴面， VOE 为截面与轴线所夹的角，即为 . 4又圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面 CDE 与圆锥的截线为一抛物线.
