1、第4章 概率,4.1 随机事件与可能性,第4章 概率,动脑筋,看下面一些事件 （1）晴天的早晨，太阳一定从东方升起来吗？ （2）通常，在一个标准大气压下水加热到100会会沸腾吗？ （3）“种瓜”能“收豆”吗？ （4）买一张福利彩票，开奖后，一定能中奖吗？ （5）掷一枚均匀硬币，落下时，正面一定朝上吗？,必然发生,必然发生,一定不,不一定,不一定,（1），（2），在一定条件下必然发生的事件，叫必然事件 ；（3）在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件；（4），（5）在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件事先不能预料即具有不确定性,情境引入,事件通常用大写字母表示,说一说：下列哪些事件
2、是必然事件，哪些事件是不可能事件，,哪些事件是随机事件？,(1)打开电视机，它正在播新闻；,(2)掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后朝上的点数是 7；,(3)气温低于 0 ，水会结冰；,(4)抛出的球会下落；,(7)射箭演习时，箭正中靶心；,(5)纸放到火上，纸会被点燃；,(6)放在冰箱里的食物永不变质；,(8)小明买了一张电影票，座位号恰好是偶数；,(9)买彩票，中了头等奖；,(10)口袋里有一个红球和一个白球，随意摸出两个球的颜色相同,思路：判断一个事件是哪种事件，就看它是否可能发生，,事件的结果是相应于“一定条件”而言的,自主解答：(1)打开电视机，它正在播新闻是随机事件(2)掷一枚均匀的
3、骰子，骰子停止转动后朝上的点数是 7 是,不可能事件,(3)气温低于 0 ，水会结冰是必然事件(4)抛出的球会下落是必然事件,(5)纸放到火上，纸会被点燃是必然事件,(6)放在冰箱里的食物永不变质是不可能事件(7)射箭演习时，箭正中靶心是随机事件,(8)小明买了一张电影票，座位号恰好是偶数是随机事件(9)买彩票，中了头等奖是随机事件,(10)口袋里有一个红球和一个白球，随意摸出两个球的颜色,相同是不可能事件,小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：,（1）可能出现哪些点数？,（2）出现的点数会是7吗？,（3）出现的点数
4、大于0吗？,（4）出现的点数会是3吗？,随机事件,(2)一个袋子里装有 8个形状、质地、大小一样的球，其中3 个白球，5 个红球，搅均匀后，任取一球。摸中哪种球 的可能性最大？,(1)一个人随意翻书 3 次，3 次都翻到了偶数页，我们能否说 翻到偶数页的可能性最大？,思路点拨：要判断随机事件发生的可能性大小，必须经过大量 重复试验,自主解答：(1)不能(2)摸中红球的可能性最大,指出下列事件中，哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的，哪些是随机事件： （1）通常加热到100时，水沸腾； （2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； （3）掷一次骰子，向上的一面是6点； （4）度量三角形的内角和，结
5、果是360； （5）经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； （6）某射击运动员射击一次，命中靶心,必然会发生，不是随机事件,可能发生，随机事件,可能发生，随机事件,不可能发生，不是随机事件,可能发生，随机事件,可能发生，随机事件,练 习,一个质地均匀的小立方体有六个面。其中一个面涂成红色，两个面涂成黄色，三个面涂成蓝色。在桌面掷这个小立方体，正面出现的颜色可能出现哪些结果？这些结果发生的可能性一样大吗？,解：可能出现“红色一面朝上”，“黄色一面朝上”“红色 一面朝上”三种情况。 出现红色的可能性最小，黄色次之，蓝色最大。,怎样设计使三种颜色朝上的可能性一样大？,袋中装有许多质地、大小都相
6、同的球。搅匀后从中 取出10个球，发现有7个红球、3个白球，将取出的 球放回后搅乱，又取出10个球，发现有8个红球、2 个白球。,（1）是否可以认为袋中的红球有可能比白球多？ （2）是否肯定袋中的红球一定比白球多？ （3）袋中还可能有其他颜色的球吗？,议一议,若袋中有3个红球、1个白球，同学们认为这名 同学任摸一球，摸出的球可能是什么颜色？ （1）若将每个球都编上号码，分别为1号球（红）、2号球（红）、3号球（红）、4号球（白），那么这位同学摸到每个球的可能性一样吗？ （2）任意摸出一球，你能说出所有可能出现的结果吗？,随堂练习,学到了什么：,必然发生的事件,不可能发生的事件,随机事件,事件,
7、确定事件,定义：在一定条件下，有可能发生也有可能不发生称为随机事件,特征：事先不能预料即具有不确定性。,知识梳理,知识是座山，只要肯登攀。,结束语,4.2.概率及其计算,第4章 概率,4.2.1概率及其计算,第4章 概率,1.从分别标有1，2，号的2根纸签中随机地抽取一根，抽出的签上的号码有2种可能即 1，2由于纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以我们可以认为：每个号被抽到的可能性相等，都是 ,2 如图是一个转盘，转盘被分成3个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形
8、），求下列事件的概率：（1）指针指向红色；（2）指针指向红色或黄色；（3）指针不指向红色,概率的定义：,一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。,3.把分别写有数字1，2，3，4，5，五张一样的小纸片.捻成小纸团放进盒子里，摇匀后，随机取一个小纸团试问？ （1）取出的序号可能出现几种结果.每一个小纸团出现的可能性一样吗？ （2）“取出3“是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出数字小于4“是什么事件？它的概率是多少？ （4）“取出数字小于6“是什么事件？它的概率是多少？ （5）“取出数6“是什么事件？它的概率是多少？,归纳：一般地
9、，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 P（A）=,思考？,必然事件的概率和不可能事件的概率分别是多少呢？,P(必然事件)1,P(不可能事件)0,回忆刚才几个试验，它们有什么共同特点吗？,可以发现，以上试验有两个共同特点： （1）每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； （2）每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。,在上述类型的试验中，通过对试验结果以及事件本身的分析，我们就可以求出相应事件的概率，在P（A）= 中，由m和n的含义可知0mn,进而 0m/n1。因此0P(A) 1.,特别地： 必然事件的概率是1，记作：P
10、(必然事件)1； 不可能事件的概率是0，记作： P(不可能事件)0,事件发生的可能性越来越大,事件发生的可能性越来越小,不可能发生,必然发生,概率的值,事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0,假定按同一种方式掷两枚质地均匀的硬币。如果第一枚出现正面（正面朝上），第一枚出现反面就记为（正，反）如此类推 （1）写出掷两枚硬币所有可能出现的结果。 （2）写出下列随机事件所有可能出现的结果。 “两枚都出现正面” “一枚出现正面一枚 出现反面” “至少有一枚出现正面” 求事件A、B、C的概率。,正面向上,反面向上,例1,1 当A是必然发生的事件时，P（A）=
11、 。当B是不可能发生的事件时，P（B）= 。当C是随机事件时，P（C）的范围是 。,2投掷一枚骰子，出现点数是4的概率约是 。,3一次抽奖活动中，印发奖券10 000张，其中一等奖一名 奖金5000元，那么第一位抽奖者，（仅买一张）中奖概率 为 。,1,0,0 P（C） 1,1/6,动手做一做,1/10000,随堂练习,(摸到红球)= ;,(摸到白球)= ;,(摸到黄球)= 。,1,9,5、设有12只型号相同的杯子,其中一等品7只,二等品3只,三等品2只,则从中任意取1只,是二等品的概率为_。,4、袋子里有个红球，个白球和个黄球，每一个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则,B,A,一、精心
12、选一选 1.有一道四选一的单项选择题，某同学用排除法排除了一个错误选项，再靠猜测从其余的选项中选择获得结果，则这个同学答对的概率是（ ) 二分之一 B.三分之一 C.四分之一 D.3 2.从标有1，2，3，20的20张卡片中任意抽取一张，以下事件可能性最大的是( ) A.卡片上的数字是2 的倍数. B.卡片上的数字是3的倍数. C.卡片上的数字是4 的倍数. D.卡片上的数字是5的倍数.,二、耐心填一填 3.从一幅充分均匀混合的扑克牌中，随机抽取一张，抽到大王的概率是（ ），抽到牌面数字是6的概率是（ ），抽到黑桃的概率是（ ）。4.四张形状、大小、质地相同的卡片上分别画上圆、平行四边形、等边
13、三角形、正方形，然后反扣在桌面上，洗匀后随机抽取一张，抽到轴对称图形的概率是（ ），抽到中心对称图形的概率是（ ）。,2 27,1 54,13 54,0.75,0.75,2、必然事件，则（）；不可能事件，则（）；随机事件，则（）。,1、概率的定义及基本性质。,如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且他们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m/n。,0mn，有0 m/n1,知识梳理,知识如逆水行舟，不进则退。,结束语,4.2.2用列举法求概率,第4章 概率,等可能性事件:在一次试验中各种结果出现的可能性大小相等的事件。,试验具有两个共同特征：,温故知新:,
14、(1)每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；,(2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。,等可能性事件的概率:,一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为,事件A发生的可能种数,试验的总共可能种数,n,m,A,P,=,),(,解：,在甲袋中，P（取出黑球）,在乙袋中，P（取出黑球）,所以，选乙袋成功的机会大。,20红，8黑,甲袋,20红,15黑,10白,乙袋,球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出1只黑球，你选哪个口袋成功的机会大呢？,4.2.2 用列举法求概率,李
15、明和六刘英两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 之积为奇数，那么李明胜；如果点数之积为偶数，那么刘英胜。你认为游戏公平吗？,动脑筋,我们可以把掷两枚骰子的全部出现的结果列表如下：,和,第二枚,第一枚,由上表得，所有可能出现的结果有36个，它们出现 的可能性相等。,满足两骰子点数之和为偶数的结果有18个，则 P（点数之和为偶数）=,满足两骰子点数之和为偶数的结果有18个，则 P（点数之和为奇数）=,由此可见这个游戏是公平的。,一个袋子中装有大小和质地都相同的4个球2个红球和2个白球，任意摸出两个球，记录颜色后不放回。求下列事件的概率。,做一做,A： 取出的2个球同色；,B： 取出的2个
16、白球；,用R1，R2表示两个红球；,用W1，W2表示两个白球；,用（R1，W2）表示第一次取出R1；不放回即取第二个， 取得白球W2，如此类推。,将所有可能出现的情况列表如下：,第1次,第2次,共有多少种结果？,（2）写出各指定事件发生的可能结果：,A：取出的两个球同色,B：取出两个白球,（3）指出事件的概率为：,P(A)= P(B)=,动脑筋,小明和小华做 “石头、剪刀、布”游戏。游戏规则如下：若两人手势不同那么按照“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布”胜“石头”. 的规则决定 若两人的手势相同，则为平局。,（1）怎样表示和列举一次游戏的所以可能出现的结果？ （2）用A、B、C表
17、示指定事件： A：“小明胜” B：“小华胜” C “平局” 求事件A、B、C的概率。,解:,小明,小华,所有可能出现的结果,开始,共有九种可能的结果，每种结果出现的可能性相同其中：,两人手势相同的有三种（石头，石头）（剪刀，剪刀）（布，布）所以平局的概率为 P (C)=,小明胜小华的结果有三种（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头）所以小明获胜的概率为P（A）=,小华胜小明的结果也有三种（剪刀，石头）（布，剪刀）（石头，布）所以小华获胜的概率为 P (B)=,你能用列举的方法来解答例1吗？,用列表法和树形图法求概率,练习：1.(辽宁丹东)四张质地相同的卡片如图 252,1(1)将卡片洗匀后，背面
18、朝上放置在桌面上,图 2521,(1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字 2 的概率；,(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游 戏 规 则 见 图 2521(2)你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平,思路点拨：第一次抽取有 3 种可能结果，第二次抽取出现的可能结果会很多，所以可用列表或树形图法求出所有可能的结果,(2)根据题意可列表：,或画树状图.,故所有可能结果有 16 种，不超过 32 的有 10 种，,游戏不公平,调整规则：,方法一：将游戏规则中的 32 换成 2631(包括 26 和 31)之,间的任何一个数都能使游戏公平,
19、方法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过 32 的得 3 分，,抽到的两位数超过 32 的得 5 分；能使游戏公平,方法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是 2，,则小贝胜，反之小晶胜,2一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同)，其中有白球 2 个，黄球 1 个若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为 0.5.,(1)求口袋中红球的个数；,1.一个袋子中装有2个红球和2个绿球,任意摸出一球,记录颜色放回,再任意摸出一球,记录颜色放回,请你估计两次都摸到红球的概率.,2.某人有红、白、蓝三件衬衫和红、白、蓝三条长裤，该人任意拿一件衬衫和一条长裤，求正好是
20、一套白色的概率.,3.有三组牌,每组三张牌,牌面数字分别为1,2,3,从每组中任意抽取一张牌.求: (1)抽出的三张牌点数相同的概率; (2)抽出的三张牌的点数和为5的概率.,随堂练习,5.抛四枚均匀的硬币,出现两正两反的概率是多少?请用树状图说明.,4.一个家庭有3个孩子. (1)求这个家庭有3个男孩的概率; (2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率; (3)求这个家庭至少有一个男孩的概率.,6.连续抛一枚硬币,抛一次正面朝上的概率是0.5,那么:(1)连续2次都是正面朝上的概率是_;(2)连续3次都是正面朝上的概率是_;(3)连续4次都是正面朝上的概率是_;(4)连续n次都是正面朝上的概
21、率是_.,甲、乙、丙三人做传球游戏开始时，球在甲手中每次传球持球的人随意传给其余两人中的一人。如此传球三次，写出传球三次的传球的所有可能结果,解:,第二次,第三次,所有可能出现的结果,开始：甲,共有八种可能的结果，每种结果出现的可能性相同其中：,（2）传球三次后，球又回到甲手中，事件A发生有两种可能出现结果（乙，丙，甲）（丙，乙，甲） (3) P (A)=,乙,丙,第一次,甲,甲,丙,乙,甲,甲,丙,丙,乙,乙,乙,丙,（乙，甲，乙）,（乙，甲，丙）,（乙，丙，甲）,（乙，丙，乙）,（丙，甲，乙）,（丙，甲，丙）,（乙，甲，乙）,（乙，甲，乙）,1、有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好能
22、分别打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？,解: 设有A,B两把锁和a,b,c三把钥匙,其中钥匙a,b分别 可以打开锁A,B.列出所有可能的结果如下:,P(一次打开锁)= =,2、一次联欢晚会上，规定每个同学同时转动两个转盘(每个转盘被分成二等分和三等分)，若停止后指针所指的数字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字之和为偶数，则要表演其他节目。试求这个同学表演唱歌节目的概率。你有几种方法？,3、有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙。求从这4把 钥匙中任取2把，能打开甲、乙两锁的概率。,解:设有A1,A2，B1, B2四把钥匙,其
23、中钥匙A1,A2可以打开锁甲,B1, B2可以打开锁乙.列出所有可能的结果如下:,P(能打开甲、乙两锁)= =,钥匙1,钥匙2,小结,1.“列表法”的意义,3.随机事件“同时”与“先后”的关系; “放回”与“不放回”的关系.,2. 利用树图列举所有结果的方法.,人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。列夫托尔斯泰,结束语,4.3用频率估计概率,第4章 概率,必然事件,不可能事件,可能性,随机事件(不确定事件),知识回顾,必然事件发生的概率为1,记作P(必然事件)=1; 不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0; 随机事件(不确定事件)发生的概率介于01之 间,即0P(不确定事件
24、)1. 如果A为随机事件(不确定事件),那么0P(A)1.,概率定义： 我们把刻画事件发生的可能性 大小的数值,称为事件发生的概率.,用列举法求概率的条件是什么?,(1)试验的所有结果是有限个(n) (2)各种结果的可能性相等.,材料：,在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5左右摆动。随着抛掷次数的增加，一般的，频率呈现一定的稳定性：在0.5左右摆动的幅度会越来越小。 这时，我们称“正面向上”的频率稳定于0.5.,思考：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势有何变化？,下表列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币试验的数据：,表中是一个某人做999次“抛瓶盖”游戏时记录下的出现
25、正面的频数和频率,事实说理,事实上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。,瑞士数学家雅各布伯努利（16541705被公认为是概率论的先驱之一，他最早阐明了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。,归纳： 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=p。,用频率估计的概率可能小于0吗？可能大于1吗？,下表记录了一名球员在罚球线上的投篮结果。,（1）计算表中的投中频率（精确到0.01）； （2）这个球员投篮一次，投中的概率大约
26、是多少？ （精确到0.1）,0.56,0.60,0.52,0.52,0.492,0.507,0.502,约为0.5,随堂练习,例瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品、次品或废品。究竟发生哪种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象。而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合格品率”由于烧制结果不是等可能的，我们常用“合格品”的频率作为“合格品率”的估计 某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行质量抽检，结果如下：,800,2000,700,1924,（1）计算上表中合格品的各频率（精确到0.001）； （2）估计这种瓷砖的合格率（精确
27、到0.001）； （3）若该工厂本月生产该型号瓷砖500 000块试 估计合格品数。,某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率,应 采用什么具体做法?,观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈谈 你的看法,估计移植成活率,成活的频率,0.8,( ),0.94,0.923,0.883,0.905,0.897,是实际问题中的一种概率,可理解为成活的概率.,估计移植成活率,1.由下表可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.,所以估计幼树移植成活的概率为,0.9,0.9,成活的频率,0.8,( ),0.94,0.923,0.883,0.905,0.8
28、97,2.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5 000名中学生，并在调查到1 000名、2 000名、3 000名、4 000名、5 000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：,试一试,(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？,(2)你能估计调查到10 000名同学时，红色的频率是多少吗？,估计调查到10 000名同学时，红色的频率大约仍是0.4左右.,随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在0.4左右.,(3)若你是该厂的负责人,你将如何安排生产各种颜色的产量？,.,红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比例大约为4:2:1
29、:1:2,练一练,1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里约有鲤鱼_尾,鲢鱼_尾.,310,270,2.动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁,的概率为0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率,是0.3.现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？现,年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？,3.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：,当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发芽的频率 接近于常数0.9，于是我们说它的概率是0.9。,51.54,500,44.57,450,39.24,400
30、,35.32,350,30.93,300,24.25,250,19.42,200,15.15,150,0.105,10.5,100,0.110,5.50,50,柑橘损坏的频率（ ）,损坏柑橘质量（m）/千克,柑橘总质量（n）/千克,0.101,0.097,0.097,0.103,0.101,0.098,0.099,0.103,从表可以看出，柑橘损坏的频率在常数_左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐_，那么可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数如果估计这个概率为0.1，则柑橘完好的概率为_,思 考,0.1,稳定,.,设每千克柑橘的销价为x元，则应有（x2.22）9 000=5 000,解得 x2.8,因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5 000元,根据估计的概率可以知道，在10 000千克柑橘中完好柑橘的质量为10 0000.99 000千克，完好柑橘的实际成本为,了解了一种方法-用多次试验频率去估计概率,体会了一种思想：,用样本去估计总体 用频率去估计概率,弄清了一种关系-频率与概率的关系,当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.,知识梳理,发现一个问题比解决一个问题更重要。爱因斯坦,结束语,
