1、2.1 代数运算，同态与同构,2.2 群,2.3 环与域,2.4 线性空间,2.5 模,第2章 代数结构与线性空间,2.6 线性代数,2.1.1 代数运算,2.1 代数运算，同态与同构,定义2.1.1 设A,B,C是三个非空集合. 到C的映射称为A与B到C的一个代数运算(algebraic operation)。到C的映射称为A到C的代数运算； 到A的映射称为A的代数运算或A的二元运算，也称集合A对代数运算是封闭的。,一个代数运算是一个特殊的映射。如果有A 与B到C的一个代数运算记为“ ”, 则由定义，对任意 ，经过代数运算 得唯一的 ，即 :(a,b)c，记为c=a b .,例2.1.1 上
2、的加法与数乘。,定义2.1.2 设A, B是两个非空集合。 （1）设 是A上的一个代数运算，如果对任意 ，都有则称A上的代数运算 适合结合律(associative law)。（2）设 是A上的一个代数运算，如果对任意 ，都有则称A上的代数运算 适合交换律(commutative law)。 （3）设 是B与A到A的一个代数运算， 是A的一个代数运算。 如果对任意 及任意 ，都有则称代数运算 对 适合左分配律(left distributive law)。,定理2.1.1设A, B是两个非空集合。 （1）若A上的代数运算 适合结合律，则对任意 个元素 ， 有意义。 （2）如果A上的代数运算 同
3、时适合结合律和交换律，则对任意 个元素 ， 中元素的次序可以交换且结果相同。 （3）如果A上的代数运算 适合结合律，并且B与A到A的代数运算 对 适合左分配律，则对任意 和任意 ，有,2.1.2 同态与同构(homomorphism and isomorphism),定义2.1.3 设A, B是两个非空集合， 是A到B的一个映射， 和 分别是A和B上的代数运算。如果对任意 ，都有则称 为A到B的同态映射(homomorphic mapping)。如果 是A到B的一个同态映射，并且是A到B的满映射，则称 为A到B的一个同态满映射。对集合A和B的代数运算 和 ，如果存在A到B的一个同态满映射，则称
4、A与B同态。 如果 是A到B的一个同态映射，并且是A到B的双映射，则称 为A到B的一个同构映射。对集合A和B的代数运算 和 ，如果存在A到B的一个同构映射，则称A与B同构，记为 。,定理2.1.2 设 分别是集合A和B的代数运算。如果 A与B同态，则,定理2.1.3 设 是集合A的两个代数运算，是集合B的两个代数运算，并且存在A到B的一个满映射 ，使得A与B对代数运算 同态，并且对代数运算 也同态，则,定理2.1.4,定义2.1.4 设 是集合A的一个代数运算， 是A到自身的一个同构映射，则称A对代数运算 是自同构的。,2.2.1 群的基本概念,定义2.2.1 设G是一个非空集合, 是G上的代
5、数运算, 并适合结合律, 即对任意则称G按代数运算 成为半群，或简称G为半群，记为 。如果半群G上的代数运算 还适合交换律, 则称G为交换半群或Abel半群。,2.2 群,例. (1) (N, +), (N, )是半群；(2) 是半群。,定义2.2.2 设 是一个半群, 如果存在, 使得对任意 , 都有则称e为 的单位元。,例. (1) (N, +)没有单位元, (N, )有单位元1, 有单位元零矩阵；(2) 有单位元单位矩阵。,定义2.2.3 设 是具有单位元 e 的半群, 对 ，如果存在, 使得则称 b 为 a 的逆元， 记为 。,定理2.2.1 设G是一个半群，则 （1）如果G有单位元，
6、则单位元是唯一的； （2）如果 有逆元 ，则 是唯一的，并且 ； （3）如果 是可逆的，则 也是可逆的，并且,半群G上的代数运算 一般用通常的乘法符号“ . ”表示，并且 通常省略。,定义2.2.4 设G是具有单位元 e 的半群, 若对任意 ，存在其逆元 , 则称G为群。如果群G上的代数运算还适合交换律，则称G为交换群或Abel群。群G作为集合的势称为群G的阶，记为|G|。如果|G|是一个有限数，则称G为有限群；否则称G为无限群。,例. (1) (N, +)，(N, )， 都不是群；(2) 是群，并且是交换群；,例. (1) 按矩阵乘 法构成群；(2) 按矩阵乘法构成群；(3) 按复数乘法构成
7、群。这三个集合按加法都不是群。,定理2.2.2 设G是一个群, 则,对任意 ，方程 和 在G中都有唯一解。,定义2.2.5 设G是一个群, 对 ，如果存在最小的正整数n，使得 ，则称 n 为a的阶，记为|a|=n。如果这样的n不存在，则称a是无限阶的。,2.2.2 子群,定义2.2.6 设H是群G的一个非空子集, 如果H按群G的代数运算构成一个群, 则称H为群G的一个子群。,例. 设G是一个群，e和G都是G的子群。这两个子群称为平凡子群。,定理2.2.3 设H是群G的一个子群, 则,定理2.2.4 设H是群G的非空子集, 则H是G的子群,定理2.2.5,定义2.2.7,定理2.2.6,定理2.
8、2.7,设G是一个群, 则称span(a)为由a生成的循环子群。,定义2.2.8 设G是一个群, 如果G是由某个固定元素a生成的循环子群，则称G为循环群， 记为G span(a)，a称为G的生成元。,根据元素的阶，循环群分为有限阶循环群和无限阶循环群。,例. (2) 整数加法群(Z, +)是由1生成的无限阶 循环群。,定理2.2.8 整数加法群Z的每个子群H都是循环群，即H = 0或 ，其中m是H中最小正整数。,一般来说，群G的任意子集A不一定是的子群，但群G一定有包含A的子群（如G本身）。 G的所有包含A的子群之交记为span(A)，由定理2.2.5知， span(A)是包含A的最小子群（即
9、若H是包含A的子群，则 ）。称span(A)为由A生成的子群， A中的元素称为生成元。,2.2.3 群的同态与同构,定义2.2.9 设G和 是两个群，如果 是G到 的一个同态映射，则称 为G到 的群同态。如果存在群G到 的一个同态满映射，则称群G与 同态。如果存在群G到 的一个同构映射，则称群G与 同构，记为 。,定理2.2.9 设G与 是两个群，,定义2.2.10 设G与 是两个群，,定理2.2.10 设G与 是两个群，,定理2.2.11,2.2.4 正规子群与商群,设G是一个群，H是G的一个子群，规定G内的一个关系R为则R是G内的一个等价关系。,定义2.2.11 设H是群G的一个子群，规定
10、G内的一个等价关系由等价关系R所确定的等价类称为子群H的右陪集，包含元素a的右陪集记为Ha 。,可以证明：,由等价关系R可得G关于R的商集,定义2.2.12 设H是群G的一个子群，规定G内的一个等价关系由等价关系 所确定的等价类称为子群H的左陪集，包含元素a的左陪集记为aH 。,可以证明：,由等价关系 可得G关于 的商集,定理2.2.12 设H是群G的一个子群，则,定义2.2.13 设H是群G的一个子群，H在G中右陪集（左陪集）的势称为H在G中的指数， 记为 。,定理2.2.13 设H是群G的子群, 则,推论2.2.1 有限群中每一个元素的阶都有限。,推论2.2.3 素数阶有限群都是交换群。,
11、推论2.2.2 设G是有限群，则G的每一个元素的阶都是|G|的因子。,定义2.2.14 设N是群G的一个子群，如果对任意 ，都有则称N是G的一个正规子群或不变子群。正规子群N的一个右(左)陪集称为N的一个陪集。,例. (1) 设G是一个群, G和e都是正规子群； (2) 设G是一个交换群，H是G的任一子群，则H是G的一个正规子群。,定理2.2.14 设N是群G的一个子群,则下列叙述等价: (1) N是G的正规子群；,定理2.2.15 设N是群G的一个正规子群，在 上规定运算：则 关于此运算构成一个群。,定义2.2.15 设N是群G的正规子群, 则称 为G关于正规子群N的商群。,如果群G除e和G
12、自身外，没有其它正规子群，则称G为单群。,素数阶群都是单群。,定理2.2.16 设 是群G到群 的同态映射，则 是G的正规子群，并且 与同构。,推论2.2.4 设 是群G到群 的同态满映射，则 与 同构。,2.2.5 变换群与置换群,设A是一个非空集合，A上所有变换作成一个集合G，在G上定义代数运算为映射的乘积，则G构成一个具有单位元的半群。,定义2.2.16 设A是一个非空集合，A的若干个一一变换对映射的乘积所作成的群称为A的一个变换群。如果集合A的所有一一变换作成群，则称之为A的一一变换群或对称群。如果A是有限集，A的若干个置换所作成的群称为A的一个置换群。如果A是含有n个元素的有限集，A
13、的全体置换作成的群称为n次对称群，记为 。,定理2.2.17 一个集合A的所有一一变换作成一个变换群。,可以证明：任何一个群都与一个变换群同构(Cayley定理)；任何一个有限群都与一个置换群同构。,定义2.3.1 设R是一个非空集合, 在R中定义了两种代数运算, 分别称为加法和乘法，如果它们满足如下条件：R按加法是交换群；R按乘法是半群；乘法对加法适合分配律, 即对则称R为一个环。如果环R关于乘法运算还满足交换律，则称R 为交换环。,2.3 环与域,2.3.1 环与域的基本概念,环R按加法运算的单位元称为R的零元，记为“0”。如果环R关于乘法运算存在单位元e，则称此单位元为环R 的单位元。
14、环R中任一元素a 按加法运算的逆元称为a 的负元素，记为 “a”。,在环R中,利用负元素可以定义减法：,例. (1) 整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C对于通常数的加法与乘法都构成构成具有单位元的交换环。 (2) 设是复数集C的子集，如果对于复数的加法与乘法构成环，则称为数环。(3) 全体偶数对于数的加法和乘法构成一个数环，这个数环没有单位元。 (4) 是一个具有单位元的交换环；(5) 是一个具有单位元的环（但不是交换 环），称为n阶矩阵环。,定理2.3.1 设R是一个环, 则 有,R=0称为零环，0既是加法的单位元，又是乘法 的单位元。,设R是一个环, 。,如果环R中任一元素都是幂等元
15、，则称环R为Boole环。,定义2.3.2 设R是具有单位元 e 的环, 对 ， 如果存在 ，使得则称a是可逆的，并称 b 为 a 的逆元， 记为 。,定义2.3.3 设R是一个环，对 ，,(4) 如果环R没有零因子, 则称R为无零因子环。,可以证明：如果环R是无零因子环，则R关于乘法适合消去律 。,例. 设证明：R对矩阵的加法和乘法构成具有单位元的交 换环； (2) 环R有零因子，例如,数环都是无零因子环，n阶矩阵环不是无零因子环。,定义2.3.4 设R是具有单位元e的环, 且 。 （1）如果R是无零因子的交换环，则称R为整环； （2）如果R中每个非零元素都是可逆的，则称R为除环（或称为体）
16、； （3）如果R是交换除环，则称R为域。,例.(1) 有理数集Q、实数集R、复数集C对通常数的加法 和乘法都构成域, 分别称为有理数域、实数域和复数域。(2) 设F是复数集C的子集，如果F对于复数的加法与乘法构成域，则称为数域。例如，是一个数域。,定理2.3.2 设R是一个除环, 则,定义2.3.5 设S是环R的一个非空子集, 如果S按环R的加法和乘法构成一个环, 则称S为环R的一个子环。,例. 设R是一个环，0和R都是R的子环。这两个子环称为平凡子环。,2.3.2 子环与子域,由定理2.2.3可得如下结论。,定理2.3.3 设S是环R的一个子环, 则,由定理2.2.4可得如下定理。,定理2.
17、3.4 设S是环R的非空子集, 则S是R的子环,定理2.3.5,类似于定理2.2.5.有如下结论。,定理2.3.6,定义2.3.6 设S是域F的一个非空子集, 如果S关于F的两个代数运算构成一个域, 则称S为域F的一个子域。,定理2.3.7 设S是域F的一个非空子集, 则称S作成F的一个子域的充分必要条件,定义2.3.7 设R和 是两个环，如果存在一个,2.3.3 环同态与环同构,定理2.3.8 设R与 是两个环。,定义2.3.8 设R与 是两个环，,定理2.3.9 设R与 是两个环，,定理2.3.10,2.3.4 理想与商环,定义2.3.9 设I是环R的一个子环，如果对则称I为R的理想。,例
18、. 有理数环Q是实数环R的子环，但Q不是R的理想。,例. 设R是一个环，0和R都是环R的理想。0称为零理想。 R称为单位理想。,定理2.3.11 设I是环R的一个非空子集，则I 是R的一个理想当且仅当：,例. (1) 设 , 则I是整数环Z的一个 理想；(2) 设 , 则I是一元多 项式环Rx的一个理想.,定义2.3.10 设X是环R的一个非空子集， 是R中所有包含X的理想，则称 为由X生成的理想，记为 。X中的元素称为理想的生成元。如果X含有有限个元素，则 表示为 。由一个元素生成的理想称为主理想。如果环R的每个理想都是主理想，则称R为主理想环。如果R是一个整环，并且是主理想环，则称R为主理
19、想整环。,例.,(2) 如果R是交换环，则,(3) 如果R是具有单位元的交换环，则,定义2.3.11,两个子集的加法可推广到多个子集的 加法，并且子集的加法适合结合律和交 换律。,两个子环的和未必是子环。,定理2.3.12,定理2.3.13,定理2.3.14 整数环Z是主理想整环。,类似地，Fx 是主理想整环。,设I是环R的一个理想。对R的加法，I是 R的正规子群，I的陪集确定R关于I的商集，即,在 上定义加法和乘法：,即,定理2.3.15 设I是环R的一个理想，则 对上面定义的加法和乘法构成一个环。,定义2.3.12 设I是环R的一个理想，称 为R关于I的商环，或称 为R关于I的剩 余类环。,例. 是整数环Z的一个理想， Z关于I的商环为,定理2.3.16 设 是环R到环 的同态映射，则 （1） 是R的一个理想； （2） 与 同构。,推论2.3.1 设 是环R到环 的同态满映射，则 商环 与 同构。,
