1、第七章 微分方程模型,7.1 传染病模型 7.2 经济增长模型 7.3 正规战与游击战 7.4 药物在体内的分布与排除 7.5 香烟过滤嘴的作用 7.6 人口预测和控制 7.7 烟雾的扩散与消失 7.8 万有引力定律的发现,引言,在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率（求导数）的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是广泛的。,.导数的定义,例1、建立与以下假设相应的微分方程,（1）树的高度的变化率于他自身的高成正比。,（
2、2）粒子的速度与传输的距离成正比。,（3）粒子的加速度与他自身速度成正比。,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,在工程实际问题中,* “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词 提示我们注意什么量在变化.,关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及到导数.,建立方法 常用微分方程,运用已知物理定律,利用平衡与增长式,运用微元法,应用分析法,机理分析法,建立微分方程模型时
3、,应用已知物理定律， 可事半功倍,例7.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？,牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差.,一. 运用已知物理定律,分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分 布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似。,建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，,“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”,
4、翻译为,数学语言,建立微分方程,其中参数k 0，m=18. 求得一般解为,ln(Tm)=k t+c,代入条件，求得c=42 ，k= , 最后得,T(t)=18+42 , t 0.,用matlab求,结果 ：T(10)=18+42 =25.870，,该物体温度降至300c 需要8.17分钟.,二. 利用平衡与增长式,许多研究对象在数量上常常表现出某种不 变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.,利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 建立有关变量间的相互关系.,续例2.3 人口增长模型,对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的 影响,在很短的时间段t 内
5、，关于P(t)变化的一个 最简单的模型是：,t时间内的人口增长量= t内出生人口数t内死亡人口数,+ t内迁入人口数t内迁出人口数,t时间内的净改变量 =t时间内输入量t时间内输出量,般化 更一,基本模型,不同的输入、输出情况对应不同的差分或 微分方程.,输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；,输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量.,此类建模方法的关键是,分析并正确描述基本模型的右端， 使平衡式成立,例7.1.2 战斗模型 两方军队交战，希望为 这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到 如下目的：,1. 预测哪一方将获胜？,2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？,3. 计算失败的一方开
6、始时必须投入 多少士兵才能赢得这场战斗？,模型建立：,设 x(t) t 时刻X方存活的士兵数；y(t) t 时刻Y方存活的士兵数；,假设：1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗， x(t)与y(t)都是连续变量.,2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X方军队 a 名士兵；,3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵；,t 时间内X军队减少的士兵数 = t 时间内Y军队消灭对方的士兵数,平衡式,即有 x =ayt,同理 y =bxt,三. 微元法,基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况.,例7.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水，水从
7、它的底部小孔流出，小孔的横截面 积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间.,对孔口的流速做两条假设 ：,1t 时刻的流速v 依赖于 此刻容器内水的高度h(t).,2 整个放水过程无能 量损失。,分析：,放空容器,？,容器内水的体积为零,容器内水的高度为零,模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流 量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的 变化率”，即,S孔口横截面积（单位：平方厘米）,h(t) 水面高度（单位：厘米）,t时间（单位：秒）,当S=1平方厘米，有,h(t),h+h,在t，t+t 内，水面高度 h(t) 降至h+h (h0), 容器中水的体积的改变量为,V=V(h)V(h+h)
8、=h3(r12+r22)o(h)r2ho(h),r1,r2,令t 0, 得,dV=r2 dh， （2）,比较(1)、(2)两式得微分方程如下：,积分后整理得,0h100,四.分析法,令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分.,基本思想：根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.,例7.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？,分析 广告的效果, 可做如下的条件假设：,*1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；,*2. 商品销售率（
9、销售加速度）随商品销售速度 的增高而降低；,*3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：,建模 记S(t) t 时刻商品的销售速度；,M 销售饱和水平，即销售速度的上限；,（0） 衰减因子，广告作用随时间的 推移而自然衰减的速度.,直接建立微分方程,称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力.,模型分析：是否与前三条假设相符？,假设1*,市场余额,假设2*,销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制.,改写模型,7.1 传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法
10、建立模型,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病,建模, 日 接触率,SI 模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻, (日接触率) tm,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt 最大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为, 日治愈率,建模, 日接触率,1/ 感染期
11、, 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,模型3,接触数 =1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / ,建模,需建立 的两个方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线 的定义域,在D内作相轨线 的图形，进行分析,模型4,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1: s01/ i(t)先升后降至0,P2: s0
12、1/ i(t)单调降至0,1/阈值,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段, (日接触率) 卫生水平,(日治愈率) 医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/, 的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值 1/,模型4,SIR模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例, 小, s0 1,提高阈值1/降低被传染人数比例 x,s0 - 1/ = ,7.2 经济增长模型,增加生产 发展经济,增加投资,增加劳动力,提高技术,建立产值与资金、劳动力之间的关系,研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大,调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长,1. 道格拉斯(Douglas)生产函数,产值 Q(t),F为
13、待定函数,资金 K(t),劳动力 L(t),技术 f(t),= f0,模型假设,静态模型,每个劳动力的产值,每个劳动力的投资,z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减,1. 道格拉斯(Douglas)生产函数,含义？,Douglas生产函数,QK 单位资金创造的产值,QL 单位劳动力创造的产值, 资金在产值中的份额,1- 劳动力在产值中的份额,更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数,1. Douglas生产函数,w , r , K/L ,求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金) ，使效益S最大,资金和劳动力创造的效益,资金来自贷款，利率 r,劳动力付工资 w,2）资金与劳动
14、力的最佳分配（静态模型）,3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型),要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件,模型假设,投资增长率与产值成正比 (用一定比例扩大再生产),劳动力相对增长率为常数,Bernoulli（贝奴里）方程,产值Q(t)增长,3) 经济增长的条件,劳动力增长率小于初始投资增长率,每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长,3) 经济增长的条件,7.3 正规战与游击战,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,建
15、模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例,第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型,一般模型,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为u(t), v(t),f, g 取决于战争类型,x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力,模型假设,模型,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f(x, y)=ay, a 乙方每个士兵的杀伤率,a=ry py, ry 射击率， py 命中率,正规战争模型,为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在相平
16、面上讨论 x 与 y 的关系,平方律 模型,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,f(x, y)=cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率,c = ry py ry射击率 py 命中率,游击战争模型,线性律 模型,混合战争模型,甲方为游击部队，乙方为正规部队,乙方必须10倍于甲方的兵力,设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2),7.4 药物在体内的分布与排除,药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量),血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计,药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学,建立房室模型
17、药物动力学的基本步骤,房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移,本节讨论二室模型中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等),模型假设,中心室(1)和周边室(2),容积不变,药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比,药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外,模型建立,线性常系数非齐次方程,对应齐次方程通解,模型建立,几种常见的给药方式,1.快速静脉注射,t=0 瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1,给药速率 f0(t) 和初始条件,2.恒速静脉滴注,t T, c1(t)和 c2(t)按指数规律
18、趋于零,3.口服或肌肉注射,相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室,吸收室药量x0(t),参数估计,各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2,t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti),由较大的 用最小二乘法定A,由较小的 用最小二乘法定B,参数估计,过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系,人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。,模型分析,分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。,设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。,问题,7
19、.5 香烟过滤嘴的作用,模型假设,定性分析,1）l1烟草长， l2过滤嘴长， l = l1+ l2，毒物量M均匀分布，密度w0=M/l1,2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a:a, a+a=1,3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和,4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u， v u,Q 吸一支烟毒物进入人体总量,模型建立,t=0, x=0，点燃香烟,q(x,t) 毒物流量,w(x,t) 毒物密度,1) 求q(x,0)=q(x),t时刻，香烟燃至 x=ut,1) 求q(x,0)=q(x),2) 求q(l,t),3) 求w(ut,t)
20、,4) 计算 Q,结果分析,烟草为什么有作用?,1）Q与a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量,2) 过滤嘴因素，, l2 负指数作用,是毒物集中在x=l1 处的吸入量,3）(r) 烟草的吸收作用,b, l1 线性作用,带过滤嘴,不带过滤嘴,结果分析,4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉,提高 -b 与加长l2，效果相同,5.6 人口预测和控制,年龄分布对于人口预测的重要性,只考虑自然出生与死亡，不计迁移,人口发展方程,人口发展方程,一阶偏微分方程,人口发展方程,已知函数（人口调查）,生育率（控制人口手段）,生育率的分解,总和
21、生育率,h生育模式,人口发展方程和生育率,总和生育率控制生育的多少,生育模式控制生育的早晚和疏密,正反馈系统,滞后作用很大,人口指数,1）人口总数,2）平均年龄,3）平均寿命,t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间,4）老龄化指数,控制生育率,控制 N(t)不过大,控制 (t)不过高,5.7 烟雾的扩散与消失,现象和 问题,炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。,不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。,建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。,问题分析,无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度
22、的变化。,观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。,模型假设,1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。,2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。,3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。,模型建立,1）烟雾浓度 的变化规律,热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比,曲面积分的奥氏公式,1）烟雾浓度 的变化规律,初始条件,Q炮弹释放的烟雾总量, 单位强度的点源函数,对任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC,仅当 t, 对任意点(x,y,z), C0,1）烟
23、雾浓度 的变化规律,2）穿过烟雾光强的变化规律,光强的减少与烟雾浓度成正比,3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限,烟雾浓度连续变化,烟雾中光强连续变化,设光源在z=-, 仪器在z=,则观测到的明暗界限为,不透光区域边界,4）不透光区域边界的变化规律,对任意t, 不透光区域边界是圆周,不透光区域边界半径,结果分析,观测到不透光区域边界达到最大的时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻t2,7.8 万有引力定律的发现,背景,航海业发展,天文观测精确,“地心说”动摇,哥白尼：“日心说”,伽里略：落体运动,开普勒：行星运动三定律,变速运动的计算方法,牛顿：一切运动有力学原因,牛顿运动三定律,牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）,开普勒三定律,牛顿运动第二定律,万有引力定律,自然科学之数学原理(1687),模型假设,极坐标系 (r,),太阳 (0,0),1. 行星轨道,a长半轴, b短半轴, e离心率,3. 行星运行周期 T,行星位置：向径,2. 单位时间 扫过面积为常数 A,m 行星质量, 绝对常数,4. 行星运行受力,模型建立,向径 的基向量,模型建立,万有引力定律,需证明 4A2/p =kM （与哪一颗行星无关）,A单位时间 扫过面积,(习题),
