1、1,第二章 经典建模方法,数学模型有着十分广泛的应用，无论是在纯科学领域还是在工程技术上都获得了巨大的收益。首先。它帮助人们不断地加深对现象的认识，并且启发人们去进行可以获得满意结果的试验。本章讨论经典的系统数学建模原理与方法。内容包括：系统数学建模方法学、常见数学模型的表达形式、动态过程及系统的机理建模、试验建模以及最小二乘法建模等。,概 述,2,2.1 系统数学建模方法学,2.1.1 系统方法学概述,为了建立一个真实过程的有界的数学模型，存在着一些不能很明确分割的技术。过去，构成一个数学表示是为了给已经掌握了一些有用的特殊技术的某一领域的专家提供一种手段。从这个观点出发，如果建模者能做到以
2、下几点，那么他理应能获得成功。,a)他已经对由他研究的那个过程有了较好的了解与经验； b)他从“容易”的目标出发，已经对类似过程的建模具备了一些技能； c)他对所要研究的特殊问题具有所需要的直觉与独立性。,3,2.1 系统数学建模方法学,4,图2.1 数学建模的信息源,1目标和目的,2先验知识,3试验数据,5,2.1.3 建立数学模型的基本方法,演绎法建模,归纳法建模,实用的建模,选用先验知识，根据某些假设和原理，通过数学逻辑的演绎来建立模型。从一般到特殊的过程。,从被观测到的行为出发，试图推导出一个与观测结果相一致的更高一级的知识。从特殊到一般的过程。,（理论分析法、机理建模法）,（测试法、
3、系统辨识）,优点：不需深入了解系统的机理,缺点：必须获取大量输入输出系统信息。,工程观点，直通目标，局限性强！,2.1 系统数学建模方法学,6,单纯采用上述这些途径都很难获得有效的结果，所以通常是混合采用这些方法。至于怎样才算是一个“好”的混合是一个关键问题。由于要获得一个满意模型的道路并不是笔直的，特别是在建模阶段，它会受模型建立者的主观意志的影响，所以建立的模型必须进行反复的检验，以确保其可信性。所谓可信性检验就是对数学描述的真理程序的研究。,2.1 系统数学建模方法学,2.1.3 建立数学模型的基本方法,7,2.1.4 模型可信度,可信性本身是一个十分复杂的问题，它一方面取决于模型的种类
4、，另一方面又取决于模型的构造过程。模型本身可通过试验在不同的水平上建立，所以我们可以区别不同的可信度水平。一个模型的可信性可以根据获得它的困难程度分为：,（1）在行为水平上的可信性，即模型是否能复现真实系统的行为；,（2）在状态结构水平上的可信性，即模型能否与真实系统在状态上互相对应。通过这样的模型可以对未来的行为作唯一的预测；,（3）在分解结构水平上的可信性，即模型能否表示出真实系统内部的工作情况，而且是唯一的表示出来。,2.1 系统数学建模方法学,8,不论研究的是哪一个可信性水平，可信性的考虑在整个建模阶段以及以后各个阶段是恰当的，人们必须考虑以下几点：,（1）在演绎中的可信性：演绎分析应
5、在一个逻辑上正确、数学上严格的含义上进行。数学表示的可信性将取决于先验知识的可信性。可信性能从两个途径来进行分析，即通过对前提的正确性的研究来验证模型本身是否可信；通过对前提的其它结果的检验来分析信息以及由此可得到的模型的可信性。,（2）在归纳中的可信性：首先可以检验归纳程序是否按照数学上和逻辑上正确的途径进行。所以进一步的可信性分析都归结为模型行为与真实系统行为之间的比较。,2.1.4 模型可信度,2.1 系统数学建模方法学,9,（3）在目的方面的可信性：从实践的观点出发，假如运用一个模型能达到预期的目标，那么这个模型就是成功的、可信的。一个模型只有在它用于原定的目标时，它才真正的发出光来。
6、,2.1.4 模型可信度,2.1 系统数学建模方法学,（2）在归纳中的可信性：首先可以检验归纳程序是否按照数学上和逻辑上正确的途径进行。所以进一步的可信性分析都归结为模型行为与真实系统行为之间的比较。,10,图2.2 建模过程总框图,2.1 系统数学建模方法学,2.1.5 建模过程,11,2.2数学模型的表达形式,将一个模型描述看作是与真实世界中的物体或过程相联系的信息进行凝缩后的结果，从这个角度来看，建模不外乎是用一个适当的形式来凝集和浓缩信息。而选择不同的模型形式就对应有特殊的建模技术。,2.2.1 差分方程和微分方程的模型形式,动力学系统的常规数学模型形式是众所周知的非线性连续状态空间模
7、型，其常微分方程组形式为,（2.1）,（2.3）,（2.2）,其中：X- n维状态矢量；u- m维输入；p- np维未知常数；y- p维输出矢量,12,我们将随机过程向量 ， 引入到模型中。即,这样，向量 和 也就变成了随机过程向量。,2.2数学模型的表达形式,13,方程（2.1）-（2.4）具有很强的“描述能力”，很多系统的行为都满足上述方程。然而，微分方程模型有它的局限性，在这个模型中，时间是唯一的独立变量，空间的性质必须加以离散和浓缩。如果觉得这个近似过于粗糙，那么就得转向偏微分方程。,目前，还没有一个简单的、统一的理论可以用来解决非线性系统问题。我们介绍的基本建模理论和模型的处理及计算
8、是针对线性系统理论的知识，所以我们要提出“线性化”的要求。,对于小扰动的线性化及其连续系统的离散化是众所周知的，这里不讨论其详细的过程，但要注意的是，可以通过一组线性微分方程对系统在小扰动下的行为进行描述 。,2.2数学模型的表达形式,14,这里的 ， 分别表示状态向量、输出向量和某个平衡点 ， 之间的差值； 表示对应于平衡点的输入扰动。 ， ， 及 表示相应维数的系数矩阵。,2.2数学模型的表达形式,15,2.2.2 偏微分方程的模型形式,前面讲过，微分方程中时间是唯一的独立变量，空间的性质必须加以离散和浓缩，这种处理是粗糙的。为得到更精确的描述采用偏微分方程形式是很自然的。,2.2数学模型
9、的表达形式,16,偏微分方程的描述能力比常微分方程的描述能力强。在许多情况下，使用偏微分方程描述似乎更“自然”一些。事实上，人类宇宙是由空间和时间组成的，因而其特性将随这些变量的变化而变化。在集中参数系统理论中，认为真实世界系统是由一个以某种特定方式相互连接的不同元素的阵列组成的。连结这些元素的链路仅表明元素之间的拓扑关系。因此，元素的物理维数和位置并不直接影响系统性能的分析。集中参数模型总是近似的，但是这些近似已足够精确，通常不值得去作更详细的描述。,2.2数学模型的表达形式,17,2.3 过程单元动态数学模型的建立,在过程控制与仿真中，对象是指正在运行中的多种多样的工艺生产设备。例如热工过
10、程中的加热炉、换热器、锅炉、储液罐；化工过程中的精馏塔、化学反应器；冶金过程中的高炉、回转炉；机械工业中的热处理炉等等。在过程对象中，一般总有某些物质或能量的输入和输出，而一般对象都具有储存物质和能量的能力。对象的数学模型是指对象在各输入量的作用下，其相应输出量变化的函数关系的数学表达式。如微分方程式、微分方程组、传递函数表达式或频率特性表达式等。,对原料进行物理的或化学的加工处理称作过程。,18,2.3.1 机理模型的建立,从过程对象的机理和生产设备的具体结构出发，通过物料平衡和能量守恒关系，推导出对象的数学模型的方法亦即是机理建模。,如有可能，应对所得的数学模型进行验证，即与实际过程的响应
11、曲线相比较。可以认为响应曲线的形状，特别是中频或高频段的形状能反映系统模型的本质。,2.3 过程单元动态数学模型的建立,19,2.3.1.1 有自衡能力对象的数学模型,所谓有自衡能力，是指对象在扰动作用下，平衡状态被破坏后，不需要操作人员或仪表等干预，就能依靠自身重新恢复平衡的能力。,1液位对象的数学模型,2.3.1 机理模型的建立,2.3 过程单元动态数学模型的建立,图2.4 (a) 液体对象,20,2.3.1 机理模型的建立,2.3 过程单元动态数学模型的建立,21,（2.22）,式中 ， ， 分别为偏离某一平衡状态 ， ， 的增量； 表示贮罐的横截面积。,式中 比例系数。,22,液体流出
12、量 是随液位 的变化而变化的， 越高， 的出口静压越大，流出量 就越大。,式中 阀门2对流体的阻力，称为液阻。其物理意义是：产生单位流量变化所必需的液位变化量。,流体在一般流动（紊流）情况下，液位 和流量 之间的关系是非线性的，如图2.4（b）所示。因此液阻 在不同的流量 值时是不同的。为了简化问题，通常在静态特性曲线工作点a附近不大的范围内，用切于a点的一段切线 代替曲线上的一段曲线 ，进行线性化处理。通过线性化后，液阻 则可认为是常数，可用式（2.25）来表示。,23,图2.4 (b) 液体对象,h,24,将式（2.24）、（2.25）代入式（2.23）可得,25,式中 对象的时间常数，
13、；对象的放大系数， 。可见液位对象在平衡点附近的线性化数学模型是一个一阶常微分方程，是众所周知的一阶惯性环节。,26,2温度对象的数学模型,图2.5 电加热炉温度对象,27,根据能量平衡关系，可以建立电加热炉的微分方程式，即在单位时间内进入加热器的热量与单位时间内流出加热器热量之差，应等于加热器热量贮存的变化率。于是可得,（2.29）,式中 加热器内水的总重量；,28,29,将式（2.30）、（2.31）代入式（2.29），利用增量表示并整理得到微分方程式,（2.32）,30,31,3压力对象的数学模型,图2.6所示为气体贮罐压力对象。,图2.6 压力对象,32,式中 对象的时间常数， ；对象
14、的放大系数， 。,33,以上讨论了液位对象、温度对象和压力对象。它们的工艺生产设备是完全不同的，其物理过程也不一样。但是，它们的微分方程式或传递函数式均为一阶惯性环节，都有阻力和容量，它们都有相似的阶跃响应曲线。,4具有纯滞后单容对象的数学模型,2.3.1.1 有自衡能力对象的数学模型,2.3.1 机理模型的建立,2.3 过程单元动态数学模型的建立,34,图2.7 (a) 有纯滞后的单容对象,如图2.7（a）所示，流体通过较长的管道进入水槽。当阀门开度变化引起流量 变化时，需要经过一段传输时间 才能使 产生变化，从而使水槽液位 发生变化。如图2.7（b）所示的曲线1为单容对象的阶跃响应曲线，而
15、曲线2为具有纯滞后的单容对象的阶跃响应曲线。它与曲线1的形状完全相同，只是相差一个纯滞后时间 。,35,图2.7 (b) 有纯滞后的单容对象,2.3.1.1 有自衡能力对象的数学模型,2.3.1 机理模型的建立,2.3 过程单元动态数学模型的建立,36,具有纯滞后单容对象的微分方程和传递函数为,对象的滞后是由于信号的传输和测量所致。,2.3.1.2 无自衡能力对象的数学模型,37,图2.8 液位对象,38,该液位对象的微分方程为（2.45）,式中 贮罐的横截面积。,其传递函数形式为（2.46）,当对象具有纯滞后时，则其传递函数为（2.47）,39,2.3.1.3 多容对象的数学模型,单容对象是
16、指只有一个贮罐容积的对象。在实际生产过程中的许多对象是由多个容积和阻力构成的，这种对象称为多容对象。现在，以具有自衡能力的双容对象为例来讨论其数学模型的建立方法。图2.9所示为两只水箱串联工作的双容对象。其被控量是第二只水箱的液位 ，输入量为 。与前述的分析过程相类似，根据物料平衡关系可以列出下列方程：,40,41,（2.48）,42,将上式写成传递函数，有,（2.50）,式中： 表示第一个水箱的时间常数；表示第二个水箱的时间常数；表示对象的放大系数；、 分别表示两个水箱的容量系数。,43,图2.9 双容对象及其响应曲线,44,于是，一般来说多容对象的传递函数为,（2.52）,如果对象具有纯滞
17、后，则其传递函数为（2.53）,若是无自衡能力的双容对象，如图2.10所示。,45,46,图2.10 无自衡能力的双容对象,47,48,49,2.3.2 求取对象数学模型的实验方法,如前所述，对于一些简单的过程对象可以通过分析其过程的机理，根据物料平衡和能量守恒的关系，应用数学描述的方法，建立对象的数学模型。这种方法虽具有较大的普遍性。但是，由于很多工业对象内部的工艺过程较复杂，对某些物理、化学过程尚不完全清楚，所以，有些复杂过程的数学模型较难建立；另外，工业对象多半有非线性因素，在推导时常常作了一些近似和假设，虽然这些近似和假设具有一定的实际依据，但并不能完全反映实际情况，甚至会带来估计不到
18、的影响。因此，即使用解析法得到对象的数学模型，仍然希望采用实验方法加以检验。当推导不出对象数学模型时，更需要通过实验的方法来求得所需的数学模型 。,50,求取过程对象数学模型的实验测定方法很多，下面介绍目前用来测定对象动态特性的几种主要实验方法。,2.3.2.1 响应曲线法,这种方法主要是测取对象的阶跃响应曲线或矩形脉冲响应曲线。,1阶跃响应曲线的实验测定,当对象的输入量做阶跃变化时，其输出量是随时间而变化的曲线，则称为阶跃响应曲线。,51,图2.11 响应曲线,52,采用阶跃响应曲线的实验方法，必须注意以下事项：,在输入阶跃信号前，对象必须处于平衡工况。但是，当对象长时间处于较大扰动量作用下
19、，被控量的变化幅度可能超出实际生产所允许的范围。这时，就要把对象输入信号改用矩形脉冲的形式，测出对象的矩形脉冲响应曲线，如图2.11（c）所示。当测到了对象的矩形脉冲响应曲线后，就可以转换成阶跃响应曲线，其转换方法如下。,阶跃信号不能太大，以免影响正常生产。但是阶跃信号也不能太小，以防止对象特性的不真实性。在一般情况下，取阶跃信号约为正常输入信号的5%15%。,53,式中： 矩形脉冲响应曲线；正阶跃响应曲线；负阶跃响应曲线。,54,图2.12 矩形脉冲响应分解为两个阶跃响应示意图,55,56,2数据处理,为了研究和分析过程系统，为过程控制和优化等的设计提供依据，需要将实验所得的结果进行数据处理
20、，即由阶跃响应曲线求出对象的微分方程式或传递函数。在工业生产中，大多数对象特性常常可以近似地以一阶、二阶以及一阶、二阶加纯滞后特性之一来描述，即在下列模型中选择其一。,（2.63）,（2.64）,57,58,（1）根据对象自衡的阶跃曲线确定一阶环节的 、,如图2.14所示，当 时，阶跃响应曲线的斜率最大，然后逐渐上升到稳态值 ，则该响应曲线可以用一阶惯性环节来近似，因而需要确定 和 。,设对象的输入信号的阶跃量为 ，由图2.14的阶跃响应曲线上可定出 ，则 和 可按以下步骤求得：,59,图2.14 求取一阶惯性环节 和 的作图法,A,T,通过 这一点作阶跃响应曲线的切线，交稳态值的渐近线 于点
21、A，则OA在时间轴上的投影即为时间常数 。,60,（2）根据对象阶跃响应曲线确定一阶加纯滞后环节的 、 和,如图2.15所示，当阶跃响应曲线在 时，斜率为零；随着 的增加，其斜率逐渐增大；当达到拐点后斜率又慢慢减小，可见该曲线的形状为S形，可以用一阶惯性加纯滞后环节来近似。确定参数 、 及 的方法如下：,图2.15 求取一阶惯性加纯滞后环节 、 和 的 作图法,61,图2.15 求取一阶惯性加纯滞后环节 、 和 的 作图法,在阶跃响应曲线变化速率最快处作一切线，交时间轴于B点，交稳态值的渐近线于A点。OB即为对象的滞后时间 ，BA在时间轴上的投影BC即为对象的时间常数 。对象放大系数 的求法同上。,62,由于在响应曲线上的拐点处作切线时，其拐点位置不易选准，切线方向也难以准确定位，因此，测定的 和 的数值有可能因人而异。于是可用下面的方法。,63,64,（3）根据阶跃响应曲线上两个点的位置，确定二阶或 阶环节对象的近似传递函数,65,(2.78),图2.16 阶跃响应曲线,66,本次课内容总结,系统数学建模方法学,数学模型的表达形式,过程单元动态数学模型的建立,求取对象数学模型的实验方法,机理模型的建立,
