1、第三章 流体力学,第一节 液体的压强,第二节 理想流体及其连续性方程,第三节 伯努利方程,第一节 液体的压强,PA=PBPC -PB=gh,静压强 pressure,重要结论：在连通的同种流体中,（1）定义：,（2）单位：帕斯卡 （Pa）,（3）物理意义：单位面积上所受到的力,液体静止时各点的压强。,例1: 水在下图装置内做定常流动。若压强计用水银做测量液体 求：p1-p2= ? （忽略1点与2点的高度差）,解：当定常流动时，U形压强计中的流体是静止的，符合静压强的有关规律。,水=103kg/m3银=13.6103kg/m3 即：银水,P3=P4P3=P1+水gh+水ghP4=P2+水gh+银
2、gh,联立求解得：P1 -P2=(银 -水）gh,银gh,P1 P2=水gh,P1 P2=水gh,P1 P2=银gh,理想流体及其连续性方程,一、基本概念,1. 理想流体（ideal fluid）,2. 稳定流动（steady flow）,不可压缩的没有黏滞性的流体称理想流体,3. 流线（stream line）,在流速场中人为想象的一些曲线，这些曲线上每一点的切线方向均与该点速度方向一致。,飞流直下三千尺，疑是银河落九天。,定常流动时流线的特点：,（1）与流体质点的运动轨迹相同,（2）形状不随时间的推移而改变,（3）任何两条流线都不可能相交,（4）流线疏的地方，流速小；流线密的地方流速大,例
3、题2.画出例1四个装置中的流线.,例题3:下列说法哪个对？,理想流体做定常流动时,A.流经空间中各点速度相同；,B.流速一定要很小；,C.其流线是一组平行线；,D.流线上各点速度不随时间变化。,答案： D,4. 流管（flow tube）,通过液体内部某一截面的流线所围成的细管,定常流动时流管的特点：,（1）形状不随时间的推移而改变,（2）流管内外无物质交换,（3）生活中的水管，河道即是流管,例题4.下列说法哪个对？,研究流体运动时所取的流管,A.一定是直管;,B.一定是由许多流线组成的管状体；,C.一定是截面相同的管状体；,D.一定是截面不同的圆形管。,答案： B,5、流量（体积流量）（1）
4、定义：（2）单位 ：米3/秒 （m3s-1）（3）物理意义：单位时间内流过截面积为S的流管的流体的体积。,二 .理想流体及其连续性方程,(3)注意适用条件：不可压缩流体定常流动在同一流管,连续性方程,(2)物理表述:同一流管流量守恒。,重点,证明：,V1=V2 （不可压缩性）S11t=S22t S11=S22 1点与2点是任选的，则S =常数,流进流管的体积=流出流管的体积,若流管中某截面上的流速不是定值，则速度应用平均值：,证毕！,例5：请你列出下面2种流管分布的连续性原理方程,S11=S22S2 变小 2变大,S11=S22+S33+S44,截面积小的地方流速大,例题6,理想流体在同一流管
5、中定常流动时，对于不同截面的流量是,A.截面大处流量大；,B.截面小处流量小；,C.截面大处流量等于截面小处流量；,D.截面不知大小不能确定。,答案： C,证明：,有功能原理： 外力作功+非保守内力作功=机械能增量,(1)外力作功:,(2)机械能增量：,(3)功能原理：W=E,移项：,由于1点、2点的任意性，可得到伯努利方程,其中：,P 压强能密度, 动能密度, 重力势能密度,能量密度之和不变,证毕！,上圖(由左至右): 丹尼爾伯努利（次子）雅各布伯努利（伯父）約翰伯努利（父亲）,名人介绍(见文字资料),丹尼尔.伯努利(Daniel,公元17001782年)出生于荷兰的格罗宁根,1716年16
6、岁时获艺术硕士学位；1721年又获医学博士学位, 1725年,25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授 ,1734年,丹尼尔荣获巴黎科学院奖金,以后又10次获得该奖金.,出版了经典著作流体动力学(1738年) 研究弹性弦的横向振动问题(17411743年) 提出声音在空气中的传播规律(1762年). 他的论著还涉及天文学(1734年)、地球引力(1728年)、湖汐(1740年)、磁学(1743、1746年),振动理论(1747年)、船体航行的稳定(1753、1757年)和生理学(1721、1728年)等.凡尼尔的博学成为伯努利家族的代表.,主要贡献: 流体伯努力方程,(3)适用条件(考过！):理
7、想流体定常流动同一流线,(1) 数学表述：,(2)物理表述:同一流线，能量密度之和守恒,重点,第三节 伯努利方程,习题： 两个方 程 的 应 用,例7：一个很大的开口容器（SASB，两个数量级以上，或者A=0），器壁上距水面h处开有一小孔，截面积为SB。求：小孔处液体的流速B=?,解：求解步骤（1） 画流线（2） 列方程（3） 解方程,应用一：小孔流速,代入伯努利方程中，求解得：,此公式适用条件： （1）两头都开口：PA=PB=PO （2）大容器：A=0 （3）h是小孔到水面的距离,类似装置：,装置的特点： 大敞口容器下方开一小孔,例题8：一直立圆柱形容器，高0.2m，直径0.1m，顶部开启，
8、底部有一面积为10-4m2的小孔，水以每秒1.410-4m3的快慢由水管自上面放入容器中。问容器内水面可上升的高度？若达到该高度时不再放水，求容器内的水流尽需多少时间。,解：（1）求上升高度。,此时为定常流动，有流量连续和能量连续：,（2）求流尽的时间。,应用二：流速计原理,汾丘里流量计,皮托管,等高流线中流速与压强的关系,流速较小的地方，压强必然较大。水流抽气机、喷雾器、内燃机中的汽化器等都是利用这个原理制成的。,例9：汾丘里流量计是一根粗细不均匀的管子做成的，粗部和细部分别接有一根竖直的细管，如图所示。在测量时，两竖直管中的液体会出现高度差h。如果已知SA、SB、h。求：Q=?,解：画流线
9、，如图：,列方程：,求解：,汾丘里（Venturi）流量计装置的特点：,类似装置：,在粗细不等的两处接出压强计。,例10：皮托管测水流速度,A点即流体流动的速度,解：,B点是停滞区,A、B两点同高,装置的特点： 迎着流速开口A，顺着流速开口B， 两个开口分别与压强计联接。,例11：皮托管测飞机的飞行速度。,A、B两点近似为同高点,是液体密度 是气体密度,应用3：虹吸管,例12：,用如图所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动，求,(1)虹吸管内液体的流速,(2)虹吸管最高点B的压强,(3)B点距离液面的最大高度,解：（1）小孔流速,（2）PB=?,B点与C点列伯努力方程,（3）h3
10、的最大值？,D点与B点列伯努力方程：,即最大值,应用4：喷雾器原理,喷口处的截面小，流速大，该处压强小于大气压强，其吸入外界气体和下面的水，混合成雾状喷出。,讨论：五个日常现象,（1）水流随位置的下降而变细,（2）两船并行前进，不能靠得太近，易互相碰撞,(3)烟囱越高，拔火力量越大,（4）为什么在火车站的月台上有一条黄色的警示线,分析：,在很远的地方，近似有,空气是粘滞流体，贴近火车的空气层以火车的速度 流动，其它流层逐层流速减小,好象有一种力量推向火车一侧！,（5）帕斯卡实验:再加一杯水就可以使一个非常结实的酒桶破裂，为什么？,高处流体压强较小，低处压强大。如果水桶能承受2atm大气压的压强
11、，h为多高能使其破裂？设v=0p桶=p0+gh h=(p桶 p0)/g =1.033105 /1039.8 =10.54 (m),本章重点：,压强计端口：P1 P2=gh,小孔流速：,例题: 在密度为 的液体中沿竖直方向放置一个长为a、宽为b的长方形平板，板的上边与水面相齐，求此板面所受液体压力的大小（不考虑液面外的大气压）。,解：如图，在深度为y处取宽度为dy 的液层，液层的面积为dS=ady，该液层处液体的压强为,即,积分得板面所受到的压力为,例题:一个水桶绕自身的竖直轴以角速度 旋转，当水与桶一起转动时，求水面的形状。,解：如图在水下h处取底面积为dS，长为dr的液体元，沿径向可得,当r
12、=0时，z=0,可得,例题: 一个由旋转对称表面组成的水壶，其对称轴沿竖直方向，壶底开有一个半径为r的小孔。为使液体从底部小孔流出的过程中壶内液面下降的速率保持不变，壶应做成什么形状？,解：建立如图坐标系,r x,哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的一个很好例证.,人体血液循环示意图,血液循环blood cycle,血液流速与血管总截面积的关系,铜壶滴漏,“寸金难买寸光阴”对我们来说是再熟悉不过的诗句了,其中揭示了计量时间的方法. 我国古代用铜壶滴漏计时,使水从高度不等的几个容器里依次滴下来,最后滴到最低的有浮标的容器里,根据浮标上的刻度也就是根据最低容器里的水位来读取时间.,请说明其
13、计时原理.,铜壶滴漏,1. 高尔夫球表面光滑还是粗糙？ 高尔夫球运动起源于15世纪的苏格兰,当时人们认为表面光滑的球飞行阻力小,因此用皮革制球。,后来发现表面有很多划痕的旧球反而飞得更远,这个谜直到20世纪建立流体力学边界层理论才得以解开.,现代高尔夫球,早期高尔夫球,人类长期生活在空气和水环境中,逐渐地对流体运动现象有了认识,现举二例.,2. 汽车的阻力来自前部还是后部？ 汽车发明于19世纪末,当时人们认为汽车的阻力主要来自前部对空气的撞击,故制造的是箱型车.,后来认识到汽车阻力主要来自后部形成的尾流,便运用流体力学原理逐步地改进汽车尾部形状.,早期的箱型车,现代的流线型车,香蕉球原理,只平
14、动(向下),只旋转,平动加旋转,动物与流线型,黏性流体的运动规律,一、流体的粘滞性,黏性流体 流动时存在内摩擦力的流体,2、层流,（1）层层之间无质量交换,层流的特点：,（2）各层的流速大小不同,（3）流速的方向与层面相切,（4）层层之间存在摩擦力,3、速度梯度,物理意义：在垂直于流动方向上，每增加单位距离流体速度的增加量。,单位：s-1,定义：,4、雷诺数,一个区别层流与湍流的数字,其中：r-流体的密度 r-流管的半径-流体的平均流速 -流体的黏度Re-雷诺数（无单位）,0 2600 湍流,医学上雷诺数的临界范围：,雷诺数与流体相似率,层流（Laminar flow）,湍流（Turbulen
15、t flow）,各液层只作相对滑动而彼此不相互掺合的流动称层流。,液体紊乱的无规则运动称湍流,湍流,黏性流体作层流时,层与层之间仅作相对滑动而不混合.但当流速逐渐增大到某种程度时,层流的状态就会被破坏,出现各流层相互混淆,外层的流体粒子不断卷入内层,流动显得杂乱而不稳定,甚至会出现涡旋,这种流动称为湍流(turbulent flow).,核爆蘑菇云,火山爆发,雷诺在实验中发现,玻璃直圆管道中的黏性液体,其流动状态是层流还是湍流主要取决于比例系数(后人称之为雷诺数, Reynolds number)Re 的大小：,式中 为液体的密度, r 为管道的半径, v 是液体的平均流速, 是液体的黏性系数
16、.,雷诺数（Reynold number）,液体的流动状态可以通过雷诺数来表征,临界雷诺数并不是一个具体的数字，而是一个数值范围。,卡尔曼涡街(Karman vortex street),雷诺数是一个无量纲的纯数,它是鉴别黏性流体流动状态的唯一参数.,烟缕由层流转变为湍流,雷诺实验演示,湍流,层流,过渡流,Re 1,Re =1.54,Re9.6,Re=2000,不同雷诺数的圆柱绕流流场,生物体系中液体流动的雷诺数,流体相似率,例：已知血液黏度=410-3 pas ； 血液密度=1.0103kg/m3 ； 主动脉管半径 r=0.510-2 m 求：保持层流 Vmax=?,解：,、牛顿黏性定律 牛
17、顿流体,其中：, 流体内部相邻两流体层之间的黏力, 黏度 （Pas）, 速度梯度（s-1）, 两层之间的接触面积,牛顿黏性定律：,牛顿流体：满足牛顿黏滞定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。,6、黏度 （黏滞系数、内摩擦系数）,（）定义：,（）物理意义：液体的黏度 越大，说明该 液体流动时内摩擦力越大。,1泊.Pas,（）单位：Pas,（4）的特点：不同流体具有不同的特点；同种流体在不同温度下黏度 不同。,粘滞系数与物质本身性质有关，还与温度有关。液体的粘滞系数随温度升高而减小，气体的粘滞系数随温度升高而增大。影响液体和气体流动性的因素不同：,液体液体分子之间的引力作用；,气体气体分子之
18、间的相互摩擦。,另外，还与压强有关。,几种流体的黏度 （t=20 单位：Pas）,空气 1.8- 水 1.0- 血液 4.0- 甘油 8.3-,二、血液层流时的运动规律,、连续性方程,实际流体作稳定流动时，其粘滞性不可忽略。考虑粘滞力所引起的能量损耗，由伯努利方程经修正得到粘滞流体的运动规律,当流体在粗细均匀的管道中做稳定流动时，则沿着管道长度方向上，流速应处处相等,即：,为保持稳定流动，有三种情况：,1）必须保证管道两段的压强差；,2）必须保证管道两段的高度差；,3）二者兼有。,、伯努利方程, 内摩擦力引起的能量损耗,图中黏滞流体 h1=h2 1=2,P1=P2+,只有P1P2才能作匀速流动
19、,、泊肃叶定律 外周阻力,其中：, 流量（m3/s）, 圆管半径（m）, 圆管长度（m）, 圆管两端压强差（Pa）, 流体的黏度（Pas）,设有一半径为、长度为的圆形管道，在两端压强差P1-P2(P1P2)的作用下，粘滞性流体从左向右作稳定流动。,泊肃叶定律：,由流体作稳定流动可知流体元受合力为零，即,上式整理得：,而管壁处r，v=0，于是对上式积分,则：,可见，流速分布为一旋转抛物面。,下面求圆管中的流量。,在圆管中半径r处取一宽为dr的圆环，其面积为2rdr，其流量为,积分得：,泊肃叶定律：流体的流量与粘滞系数成反比，与沿管的压强梯度成正比，与管子半径的四次方成正比。,达西定理：,若令泊肃
20、叶公式中的,则有：,达西定理,黏性流体在等粗水平圆管中作层流时，流速V在截面S上各点而异，速度：,管轴（r =0）处流速最大.,实际流体的流量应为多少呢？ 1842年法国医学家泊肃叶得出结果：实际流体在等粗水平圆管中作片流时，流量为：,此式称为泊肃叶定律,反映实际流体的流量与管半径R、管两端压强差P成正比，与管的长度成反比。,上式可以写为：,(血压是血液的绝对压强P与大气压P0之差， 是高出大气压的值，称为计示压强）。,水在几种植物组织中的流动参数,黏性流体在圆管中的平均流速,例：已知血液在半径为r，长度为 L的圆管中流动，若两端的压强差 P1-P2已知。求（）血液流动的平均 速度（）能量损耗
21、是多少,解（1）,（2）能量损耗,、斯托克斯黏性公式：,小球在广延黏性流体中下降，除了受重力和浮力外，还有受到阻力（如下图）,其中：F 斯托克斯阻力（N） 流体黏度（Pas）r 小球的半径（m） 小球下降速度（m/s）,例：已知小球的密度球，黏性流体密度 （且球 ），小球半径r，小球下降 的收尾速度max求：黏性流体黏度=?,解：开始时=0，重力 浮力 加速下降,产生阻力F=6rv 变大，阻力变大,当 浮力+阻力=重力时 =max,此题为“用斯托克斯定律测流体黏度”实验原理。,三、应用,1、心脏作功,计算心脏作功的两种方法：,（1）心脏作功等于左、右心室作功之和。,（注意：静压强 ）,整个心脏
22、作功,一般正常人,（2）心脏作功等于血液流经心脏 前后的能量变化：,2、血流速度分布,血液在大动脉中流速最快，在毛细血管内流速最慢。为什么 ？,血液为不可压缩液体在管中作稳定流动。,3、血压分布,血压单位: k Pa，（1 kPa=7.5mmHg）正常人收缩压在100120mmHg即13.3 16.0 kPa ； 舒张压为6080mmHg即8.010.7 kPa。收缩压与舒张压之差称为脉压。,eg：0.25m深的大甘油槽中盛甘油，甘油密度0= 1.32 103 kgm-3，粘滞系数0.83kg ms-1，槽底接一长为0.25m、内半径为3 10-3m的竖直管。求稳定流动时竖直管管心流速大小。,解：在竖直管内取一半径为r的同心圆柱，其受力如图。,当液柱合力为 零时作稳定流动。,同时,两边同时积分,本章重点：,压强计端口：P1 P2=gh,小孔流速：,黏性流体的运动规律：,
