1、1. 电场力、磁场力、洛伦兹力,4. 微分形式的麦克斯韦方程,重点：,第2章 电场、磁场与麦克斯韦方程,3. 麦克斯韦方程的导出及意义,2. 电磁场中的三种电流以及电流连续性原理,7. 电磁场的能量与坡印廷矢量,5. 积分形式的麦克斯韦方程,6. 时谐形式的麦克斯韦方程,2.1 电场力、磁场力与洛伦兹力,1. 电场力,库仑定律,适用条件, 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;,结论：电场力符合矢量叠加原理,当真空中引入第三个点电荷 时，试问 与 相互间的作用力改变吗? 为什么？,施力电荷的要求？,库仑定律还可以换一种方式来阐述：假定电荷q=1C，于是电场力 即为q1对单位电荷的作用 力,我
2、们将这个特定大小的电场力 称为电场强度矢量,由电场强度矢量可以得出两个或多个彼此相对静止的电荷之间的作用力，所以可用电场强度描述电场。,结论,电位,电场的特征可以用电场强度来描述，并且可以由给定电荷分布计算场强，场强是一个矢量。 但由场强计算可看出，均是矢量积分与矢量求和，要化为标量积分，计算比较复杂，有时根本无法得出积分结果，即使是使用计算机，有时也未必行。 如果能用一标量函数来描述电场，计算起来便会简便，看是否可行？,电位- 静电场的无旋性,称为无旋性 ， 而： 即需证明： （为什么？） 从点沿路径到所作的功应为 空间两点的电位差只和场点所在位置有关，而和积分路径无关。因此，在静电场中，电
3、场强度沿闭合路径积分恒等于。 由Stokes定理 ，因为是任意回路，所以说明静电场是无旋场：当一个矢量的旋量处处为时可以表示为一个标量函数的梯度,电位-定义及与电场强度的关系,电场中P、Q两点的电位差为 若将点作为参考点，那么点的电位 参考点的选择是任意的，工程上经常选大地作参考点或公共点，在理论分析中，常将无穷远处作为电位参考点。电位的计算： 电场强度与电位的关系 ：其中： 。负号是因为电位函数梯度的负值为电场强度,2. 磁场力,当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷即电流之间的作用力，我们称其为磁场力 。,假定一个电荷q以速度 在磁场中
4、运动，则它所受到磁场力为,这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以用一个磁感应强度 来描述。,3.洛伦兹力,当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用时，我们称这样的合力为洛伦兹力。,我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的定义式。,即,载流导线产生的磁场,比奥-萨法尔定律,矢量磁位-磁通连续性原理 -,磁通连续性原理: 穿过该曲面的磁通量是穿过任一曲面的磁感应强度的通量，即磁力线总数目，定义为：当为空间闭合曲面时，则穿过此曲面的磁通量为 如果这个磁场是一载流导线产生的，由毕沙定律，将 代入得到：化简后可以得到上积分是为零。即 再由高斯散度定理，可得磁感应强度的散度为零。,矢量磁
5、位-定义及与磁感应强度的关系,因为 ，由恒等式： 则可得： 其中 就称为矢量磁位。 要确定一个矢量必须同时确定散度和旋度，现只确定了旋度。电磁场规定在静态磁场中： 称为库尔规范 所以有矢量磁位的表达式 矢量磁位的方向与电流元的方向相同，大小与电流元到场点的距离成反比。 矢量磁位给磁场的计算提供了新的方法,法拉第电磁感应定律,法拉第通过大量实验总结：当穿过导体回路的磁通发生变化时，回路就要产生感应电动势和感应电流。感应电动势的大小正比于磁通对时间的变化率的负值。 负号表示感应电动势所产生的感应电流的磁通是阻止原来磁通的变化。实验还证明感应电动势的方向和磁力线的方向之间符合右手螺旋关系 当 则 表
6、示感应电流产生的磁场会阻止原磁场增大的趋势 因为 则 为闭合回路所界定的曲面。该闭合导体回路中的感应电动势： ， 为感应电场 在时变场中，变化的磁场要产生感应电动势,l,B,表明穿过导体回路的磁通发生变化时，回路中就要产生感应电动势,引起磁通变化的途径是什么呢？,引起磁通变化的途径是什么呢？,1、变化的磁场：导体回路是静止的，磁场随时间变化，引起磁通的变化 变压器的工作原理 2、导体在恒定磁场中的运动。产生感应电动势满足右手掌定则 3、导体回路在时变磁场中运动时总的感应电动势为 根据Stokes定理,微分形式,法拉第定律的推广 -麦克斯韦方程组之一,法拉第提出的电磁感应定律是在有导体回路的情况
7、下，从实验中总结出来的 ：变化的磁场产生电场 推广到非导体回路：介质或真空中的任意闭合曲线的情况：只要穿过此曲线所限定曲面的磁通量发生变化，那么沿着该曲线将产生感应电动势，尽管这时不一定会有感应电流，但若把闭合导线原样放在介质中闭合曲线的位置上，感应电动势将在导体回路中产生感应电流。 只要存在感应电动势，空间就存在感应电场 推广后的法拉第电磁感应定律，说明了电场和磁场紧密联系的一个方面：变化的磁场产生电场。电荷是电场的源，变化的磁场也是电场的源 在时变情况下，电场的环量不等于零，这和静电场问题不同，此时感应电场不再是一个位场。,安培环路定律 -局限性,安培环路定理：安培环路定律是用来描述磁场和
8、与直流电流（传导电流）之间的关系。回路中传导电流连续是安培环路定律成立的前提。 当电流和磁场随时间变化时，传导电流可能不连续，安培环路定律如何适用于时变场呢？ 麦克斯韦为了解决这一问题，提出了位移电流的假设。假设：在电容器两极板之间，由于电场随时间的变化而在两极板之间存在位移电流Id，其数值等于流向极板的传导电流。,全电流定律,引入了位移电流的概念，如何才能将安培环路定律推广到时变场的情况下使用呢？ 在考虑了位移电流之后，穿过面的总电流 即在时变电磁场中，不仅有传导电流，而且有位移电流。 为传导电流， 为位移电流， 总电流为两者之和，其相应的电流密度为：全电流 考虑全电流后，安培环路定律为,表
9、明磁场不仅可由传导电流产生，也能由变化的电场产生，即位移电流产生。推广后的安培环路定律是宏观电磁场的基本方程之一。,高斯定律,磁通连续性方程，即磁场高斯定律为为麦克斯韦方程组之一 电场的高斯定律 ：若是电荷连续分布：所以：,为麦克斯韦方程组之一,电流连续性方程,根据电荷守恒定律，电荷既不能产生，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者在一个物体内部移动。正负两种电荷可以分离而呈现带电现象，也可以中心重新结合而发生中和现象 若电荷从一封闭曲面S移动出来，封闭曲面内部必然减少同样数量的电荷量。 电荷的定向运动形成电流，因而从封闭曲面向外流出的电流，必然等于封闭曲面内正电荷的减少率，反
10、之亦然。 写成数学表达式：,为电流连续性方程,为什么叫电流连续性方程呢？,电流连续性方程-,因为： 所以： 又根据： 所以所以积分形式：,微分形式：,2.2 由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程,定义,穿过一个单位有向面积dS的矢量线的数目为 电通密度(electric flux density)，用 表示。,在自由空间中，穿过有向面积S的电通量为,电通密度与电场强度的关系为,根据高斯定律,可得麦克斯韦第一方程 ：,或,2.3 由法拉第电磁感应定律与斯托克斯定律 导出麦克斯韦第二方程,法拉第电磁感应定律,可得麦克斯韦第二方程 ：,感应电动势,闭合路径所包围的磁通,根据斯托克斯定律,2.4 由
11、磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程,磁通连续性原理,可得麦克斯韦第三方程 ：,穿过开表面积S的磁通,根据高斯定律,1. 传导电流、运流电流和位移电流,此式说明传导电流密度服从于欧姆定律(ohms law)，并且传导电流为,自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成,传导电流,2.5 由安培环路定律与斯托克斯定律 导出麦克斯韦第四方程,传导电流的电流密度 与电场强度 的关系为：,形成运流电流的电荷在运动时并不受到碰撞阻滞作用，即使存在与其它粒子发生碰撞的机率，其作用也微乎其微，可忽略不计，因此运流电流不服从于欧姆定律。,电荷在无阻力空间作有规则运动而形成,运流电流,假设存在一个电荷体密度为 的区域
12、，在电场作用下，电荷以平均速度 运动，则运动电荷垂直穿过面积S 的运流电流为,式中运流电流密度为,通常，传导电流与运流电流并不同时存在。,则穿过闭合面S的位移电流为：,电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成,位移电流,作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为q，根据高斯定律可知,式中位移电流密度,2.电流连续性原理,麦克斯韦假设， S面内自由电量q的增长应与穿出的位移电流相一致，并且若指定穿出S面的电流为正，则,在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面S，则穿入的传导电流和运流电流应等于S面内自由电量q的增加率，即,于是可得,此式称为电流连续性原理,即,电流连续性原理表明：在时变场中，在传导
13、电流中断处必有运流电流或位移电流接续。,其中,称为全电流密度,通常，又将电流连续性原理称为全电流定律，该定理揭示了不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。,麦克斯韦由此预言电磁波的。,或,解： 忽略极板的边缘效应和感应电场,位移电流密度,位移电流,例: 已知平板电容器的面积为 S , 相距为 d , 介质的介电常数 ,极板间电压为 u(t)。试求位移电流 iD；传导电流 iC与 iD 的关系是什么?,电场,传导电流与位移电流,3.磁场强度与安培环路定律,静电场的环流为零,稳恒磁场的环流如何呢？,说明静电场是保守场；,对任何矢量场基本性质的
14、研究，就是考察它的通量和环流。,对稳恒磁场环流的研究形成了安培环路定理。,安培环路定理,与环路成右旋关系的电流取正。,在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 沿任意闭合曲线的线积分（也称 的环流）, 等于穿过该闭合曲线的所有电流强度 （即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流强度）的代数和的0倍。,磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路上一点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。,安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场是有旋场，是非保守场，故磁场中不能引入势能的概念。,讨论,当电流呈体分布时,定义自由空间用磁场强度 表示的磁通密度为,则安培环路定律可写成,4.麦克斯韦第四方程,在时变
15、场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电流，即,其中,麦克斯韦第四方程,由斯托克斯定律得,即,或,2.6 微分形式的麦克斯韦方程组,将上面推导出的麦克斯韦方程列写在一起，就得到了微分形式的麦克斯韦方程组 。,或,将电场与其场源电荷密度联系了起来，实际上，它是库仑定律的另一种形式。,第一方程,表明了随时间变化的磁场会产生电场 这是法拉第电磁感应定律的微分形式 。,第二方程,表明了在形成磁场的源中，不存在“点磁荷磁力线始终闭合 。,第三方程,表明了产生磁场的源是电流或变化的电场安培定律的另一种表现形式。,第四方程,2.7 积分形式的麦克斯韦方程组,根据高斯定理和斯托克斯定理，可将微分形式的麦克斯韦
16、方程转化为积分形式的麦克斯韦方程。,转化为,其中引出了三个媒质特性方程,以上即为麦克斯韦所总结的微分形式（包括三个媒质特性方程）与积分形式（包括三个媒质特性方程）的电磁场方程组，又称为电磁场的完整方程组。其所以称为“完整”方程组，是因为方程组全面地描述了作为统一的电磁场的两个方面电场与磁场的相互关系，以及电场、磁场本身所具有的规律，和电场、磁场与其所处空间的媒质的关系。具体地说，第一方程表明，电场是有散度场，即电场可以由点源电荷所激发；第三方程表明，磁场为无散度场，即磁场不可能由单极磁荷所激发；而第二和第四方程则描述了电场与磁场相互依存、相互制约并且相互转化。,2.8 麦克斯韦方程的时谐形式,
17、时变电磁场的一种最重要的类型是时间简谐场（time harmonic field）,简称时谐场。所谓时谐场即激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的场。在线性系统中，一个正弦变化的源在系统中所有的点都将产生随时间按照同样规律（正弦）变化的场。对于时谐场，我们可以用相量分析获得单频率（单色）的稳态响应。,微分形式的时谐表示,积分形式的时谐表示,时谐变电磁场,设电场强度的每个分量都是t的函数，则其分量可表示为：所以 若令 则：称为复振幅矢量。,时谐变电磁场的复数表示,在时谐变电磁场中，用复数形式表示场矢量，对运算带来方便,2.9 电磁场的能量与坡印廷矢量,电磁能量符合自然
18、界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印亭定理，坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。 由麦克斯韦方程组可以导出电磁场能量的守恒方程，该方程中包含了这样一项，它可以用电磁场中任何一点处的能量流动速率来表示。 电场与磁场的能量 在静态场中：电场中某一点能量密度，即电场能量密度 磁场中某一点的能量密度，即磁能密度 在时变场中的电场、磁场都随时间变化，因而电场能量密度，磁场能量密度也要随时间变化、空间各点的电磁能量密度的变化就要引起能量流动，这是时变电磁场中出现的一个重要现象，即电磁波动伴随着电磁能量的转移，能量的流动,电磁场能量,为了研究时变电磁场的能量关系，麦克斯韦假设 ： 在任一时刻，空间任一
19、点的电磁能量密度应为此时的电场能量密度与磁场能量密度之和，即 电磁场中任一体积V内储存的总电磁能量为 波印廷定理 设空间某一点的电磁能量密度 该点电磁能量密度随时间的变化率为 利用麦克斯韦方程组进行变换得到,坡印廷定理的数学表达式,坡印廷定理中的各项物理意义,左端代表在体积V中电磁能量随时间减少的速率。单位时间体积V内电磁场能量的减少率，即单位时间体积V内电磁场减少的储能。,等式右端第二项表示单位时间内用于维持导电流而转换为焦耳热的能量,即表示体积V内的电阻的功率热损耗,其大小等于单位时间内穿过与波的传播方向相垂直的单位面积上的能量，就是单位时间内穿出闭合曲面S的电磁能流的数学表示式,坡印廷矢
20、量,坡印廷定理物理意义：体积V内电磁贮能在减少，一部分被转化成热损耗，另一部分被外力引入的能量补偿，剩余的穿过界面S流向外面。表示单位时间内穿出闭合曲面S的电磁能流 代表单位时间内穿过所组成微小面元的单位面积上的功率 ，即能流密度矢量 ： 定义 为坡印廷矢量，即功率流密度 平均值,三者满足右手螺旋法则,2.9 电磁场的能量与坡印廷矢量,电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印亭定理，坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。由麦克斯韦方程组可以导出电磁场能量的守恒方程，该方程中包含了这样一项，它可以用电磁场中任何一点处的能量流动速率来表示。,麦克斯韦方程组如下,两式相减，可得,此式
21、称为 坡印廷定理,式中，令,称其为坡印廷矢量,上式可写成,因为 这一项可以看作是某一点上的单位体积能量的变化率，所以如果要上式中的纲量统一的话，则该式中所有的项必须都具有相同的意义，,用 点乘方程（4）,用 点乘方程（2）,因此，式中的另一项即为电磁能量密度,也具有电磁能量密度的量纲。即，瞬时坡印廷矢量表示了单位面积的瞬时功率流或功率密度。功率流的方向与电场和磁场的方向垂直 。,坡印廷矢量,对于正弦电磁场，计算一个周期内的时间平均值更有实际意义，坡印廷矢量的时间平均值即平均坡印廷矢量定义为,例： 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为a和b。,解： 理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。,电场强度, 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。, 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。,单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为,磁场强度,坡印亭矢量,图 同轴电缆中的电磁能流,这表明,在时谐形式下,于是可以定义在时谐形式下的复坡印廷矢量,积分后得,利用复坡印廷矢量可以方便地计算出平均坡印廷矢量,
