1、4.4 矩阵的逆,一、可逆矩阵的定义：,设A为n级方阵，若有n级方阵B，使,B为A的逆矩阵.,AB=BA=En,则称A为一个可逆矩阵，,注：, 若A 可逆，则A的逆唯一，记为A1, E 1=E ,对于n级矩阵A，如果存在n级矩阵B，使得AB=E，则A是可逆矩阵吗？,问题：,二、可逆矩阵的判定、求法,称为A的伴随矩阵,伴随矩阵,定义： 设Aij矩阵A=(aij)nn中元素aij的代数余子式，矩阵,性质 若A为n级方阵，则AA*=A*A=|A|En。,可逆判定定理,定理3 矩阵A可逆的充要条件是A非退化， 且A可逆时，A1=A*/|A|,例1,例2,例3,推论,设A,B为n级方阵, 若AB=E，则
2、A, B都可逆，且 A1=B， B1= A,三、逆矩阵的性质,1) 若A可逆，则A1可逆，且(A1) 1=A,2) 若A可逆,0,则A可逆,且(A) 1= 1A1.,3) 若A,B为n级可逆方阵,则AB可逆,且(AB) 1=B 1A1.,问题：3）能否推广到有限个的情况?,6) 若A可逆, 则Ak可逆，且(Ak) 1 =(A1)k.,5) 若A可逆, 则A*可逆且(A*) 1 =A/|A,注：当|A|0时，定义A0=E，Ak =( A1)k。,当A, B可逆时，A+B不一定可逆。,4) 若A可逆，则A可逆,且(A ) 1=(A1).,设方阵A满足A2 3A 10E=0，证明：A，A 4E都可逆,并求它们的逆矩阵,例3,解：因为A(A3E)=10E, 所以A可逆,且,又(A+E)(A4E)=6E ,所以A4E可逆,且,(A4E)1=(A+E)/6,A1=(A-3E)/10,四、矩阵方程,对于方程AX=B, 若A可逆，则X=A1B.,XA=B, 若A可逆，则X=BA1,AXB=C, 若A , B可逆，则X=A1CB1,例4,例5,五、矩阵积的秩,定理4：设A是sn矩阵，P是s级可逆阵，Q是n级可逆阵, 则R(A)=R(PA)=R(AQ) ,
